Conjunto vacío

En este artículo explicamos qué es el conjunto vacío con ejemplos. Además, veremos las propiedades de este conjunto.

Índice

¿Qué es el conjunto vacío?

El conjunto vacío o nulo es aquel que no contiene ningún elemento. Se lo simboliza como Ø o con dos corchetes sin nada dentro { }.

Ejemplos

El conjunto vacío puede expresarse por comprensión indicando una propiedad que ningún elemento cumple. También puede surgir como solución a operaciones entre conjuntos.

Ø = {x | x ≠ x}
Ø = {x | *0\cdot x = 4*}
Ø = {x | *x=2* y *x=8*}
Ø = {x | x es un número real y *x^2=-1*}
Ø = {x | x es un número real y *|x|<0*}
Ø = {x | x es un número entero y *5<x<6*}, porque entre dos números enteros consecutivos no existe ningún entero.
Si A = {a, b} y B = {1, 2} entonces A ∩ B = Ø
El conjunto de planetas que orbitan alrededor de la luna es Ø.

Propiedades

Algunas propiedades importantes del conjunto vacío incluyen:

El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, hasta de sí mismo. Es decir, Ø ⊆ A para cualquier conjunto A, también Ø ⊆ Ø. Esto se debe a que no existen elementos en el conjunto vacío que no estén en A.
El conjunto vacío es finito y su cardinal es cero: |Ø| = 0
El conjunto vacío es único. Si suponemos que además de Ø existe Ø’ también vacío, por la primera propiedad ocurrirá que Ø⊆Ø’ y Ø’⊆Ø. Como se da la inclusión mutua, ambos conjuntos son iguales: Ø=Ø’.
El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo. Simbólicamente, A ⊆ Ø si y solo si A = Ø. En otras palabras, el único elemento del conjunto de partes del vacío es el mismo vacío: P(Ø)={Ø}.
El conjunto vacío es elemento del conjunto de partes de cualquier conjunto: Ø ∈ P(A) para cualquier conjunto A. Esto se debe a la primera propiedad enunciada.
La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es simplemente A: A ∪ Ø = A.
La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto vacío. A ∩ Ø = Ø.
La diferencia de cualquier conjunto consigo mismo es el conjunto vacío: A - A = Ø
La diferencia de cualquier conjunto con el vacío es el mismo conjunto: A - Ø = A
El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal: Ø’=U; y el complemento del conjunto universal es el conjunto vacío: U’=Ø.
El producto cartesiano de cualquier conjunto con el conjunto vacío es el conjunto vacío. Esto se debe a que no hay pares ordenados que se puedan formar cuando uno de los conjuntos es vacío.

Bibliografía

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