Números enteros

En este artículo explicamos los números enteros pasando por su concepto, definición, ejemplos, utilidad, representación, operaciones en este campo y las propiedades y características del mismo.

¿Qué son los números enteros?

Los números enteros son los elementos del conjunto que incluye a los números naturales (1, 2, 3, ...), los opuestos de los naturales (-1, -2, -3, ...) y al número cero (0).

Los opuestos de los naturales se llaman enteros negativos y se identifican con el símbolo menos (-) delante de ellos, el cual se debe leer; por ejemplo, -10 se lee como "menos diez". Los números naturales se llaman enteros positivos y se pueden identificar con el signo más (+) delante de ellos; aun así, si no se escribe nada delante, se asume que el número es positivo. El cero no es positivo ni negativo, sino neutro.

Algunos ejemplos de números enteros son: -40, 2, 0, 27, -34, 18, -245, 5, -9, 14. Los números fraccionarios como 1/2 o los reales como π no son números enteros.

¿Para qué sirven?

El concepto de los números enteros surgió por la necesidad de representar cantidades que no pueden expresarse con números naturales, como la ausencia de objetos o las cantidades por debajo de cero. De este modo, se extiende la utilidad de los números para contar cosas.

Algunos ejemplos de su utilización en la vida cotidiana son:

  • Temperaturas: los números enteros son usados comúnmente para representar temperaturas. Por ejemplo, 5°C representa una temperatura por encima de cero, positiva, mientras que -5°C representa una temperatura más fría que está por debajo de 0°C, o sea, es negativa.
  • Saldo bancario: un saldo positivo indica que hay dinero en la cuenta, por ejemplo, $100. Sin embargo, un saldo negativo indica que hay una deuda, por ejemplo, -$50 significa que se le está debiendo al banco la cantidad de $50.
  • Ganancias y pérdidas: si una empresa tiene una ganancia de $1000, esto se representa con el entero positivo +1000 o directamente 1000; en cambio, si tiene una pérdida de $500, se expresa con el entero negativo -500.
  • Altitudes: los números enteros son usados para representar altitudes respecto al nivel del mar. Por ejemplo, el Monte Aconcagua es la montaña más alta de América del Sur y su altitud es de aproximadamente 6960 metros sobre el nivel del mar. El Mar Muerto, ubicado entre Israel y Jordania, se encuentra 430 metros por debajo del nivel del mar, que se puede representar con el entero negativo -430 metros.

Desde el lado matemático, los números enteros permiten realizar restas donde el minuendo es menor que el sustraendo, es decir, la operación *a-b* donde *a* es menor que *b,* por ejemplo: *5-10=-5.* Esto era algo que no podía hacerse con números naturales.

Conjunto de los números enteros

El conjunto cuyos elementos son los enteros positivos, los enteros negativos y cero, se llama conjunto de los números enteros y se lo simboliza con la letra Z:

*\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}*

Todo número natural es también un número entero, esto se simboliza como *\mathbb{N}⊆\mathbb{Z}.* Todo número entero es racional y real, pero no todos los racionales y reales son números enteros. Por ejemplo, los números *2/3,* *-7/2,* *\sqrt{2}* y *\pi* no son números enteros.

Existen dos maneras habituales de hacer una clasificación de los números enteros:

  • Positivos, negativos y cero: los enteros positivos son aquellos mayores a cero, por ejemplo: 1, 7, 24, 5, 30, etc. Los enteros negativos son aquellos menores a cero, por ejemplo: -1, -30, -17, -12, -75, etc. El cero es el número entero que no es positivo ni negativo.
  • Pares e impares: si un número entero puede dividirse entre 2 de manera exacta, es decir, dejando resto cero, se dice que es un entero par, por ejemplo: -4, -2, 0, 2, 4, 6, etc. Si la división no es exacta, se dice que el número es un entero impar, por ejemplo: -3, -1, 1, 3, 5, etc.

Al conjunto de los enteros positivos se lo representa mediante la letra Z con un exponente "+". Este conjunto es idéntico al de los números naturales, *\mathbb{N}.*

*\mathbb{Z}^+=\{1,2,3,4,5,6,...\}*

Al conjunto de los enteros negativos se lo representa usando la letra Z con un exponente "-":

*\mathbb{Z}^-=\{-1,-2,-3,-4,-5,-6,...\}*

En cualquiera de estos dos subconjuntos se puede incluir al cero mediante el subíndice "0", quedando *\mathbb{Z}^+_0~* y *~\mathbb{Z}^-_0.*

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Características y propiedades

El conjunto de los números enteros cumple con las siguientes propiedades:

  • Es ordenado e infinito, esto significa que siempre podrán encontrarse nuevos números enteros y comparar entre dos diferentes para saber cuál de ellos es menor o mayor.
  • No tiene primer elemento ni último elemento, es decir, no existe entero que sea más pequeño que todos ni uno que sea el más grande. Esto lo diferencia del conjunto de los números naturales, el cual sí tiene primer elemento, el número 1.
  • Todo número entero tiene sucesor y un antecesor. Un entero y su sucesor se dicen consecutivos. En sucesor de un entero puede obtenerse sumándole 1, y su antecesor, restándole 1. Por ejemplo, el entero -5 tiene por sucesor a -4 y por antecesor a -6.
  • Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso se dice que es un conjunto discreto, o que no es denso. Entre un número entero y su sucesor no existe ningún número natural.

Representación gráfica

Podemos representar a los números enteros en una recta numérica. Para esto, se coloca al cero en un punto, a la derecha de él se ubican los enteros positivos con una distancia igual entre ellos, a la izquierda del cero se ubican los números enteros negativos.

Recta numérica de números enteros
Recta numérica de enteros. Los enteros positivos están a la derecha del cero y los negativos a la izquierda del cero.

Los enteros se hacen cada vez más grandes a medida que avanzamos hacia la derecha, y más pequeños a medida que avanzamos hacia la izquierda. Los enteros positivos son más grandes mientras más lejos del cero estén, en cambio, los enteros negativos son más grandes cuanto más cerca del cero estén.

Un número entero es más grande que otro si se encuentra a la derecha de él en la recta numérica. Por ejemplo, *3* es más grande que *-4,* simbólicamente *3>-4,* porque *3* está a la derecha de *-4.*

Se define al valor absoluto de un número entero como su distancia respecto al cero en la recta numérica y se simboliza con dos barras verticales alrededor del número. El valor absoluto puede calcularse de la siguiente forma:

  • Si el entero es positivo o cero, entonces su valor absoluto es el mismo número.
  • Si el entero es negativo, entonces su valor absoluto es su número opuesto.

Por ejemplo: *|0|=0,* *~~|5|=5,* *~~|-7|=7.*

Operaciones

Las operaciones básicas con números enteros son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Veremos la forma de hacerlas y sus propiedades a continuación.

Suma (adición)

Para realizar la suma de dos números enteros debemos fijarnos en sus signos:

Igual signo: si los dos enteros tienen el mismo signo (positivo o negativo), el resultado es otro entero con el mismo signo cuyo valor absoluto es igual a la suma de los valores absolutos de los números originales. Por ejemplo:

*2+3=5*

*-4+(-2)=-6*

Distinto signo: si los enteros tienen diferentes signos, el resultado se obtiene restando al valor absoluto del número más grande el valor absoluto del número más pequeño. El signo del resultado es igual que el signo del número mayor.

*8+(-9)=-1*

*-6+9=3*

Propiedades de la suma

  1. Propiedad conmutativa: el orden de los números no altera el resultado de la suma. Si *a* y *b* son dos enteros, entonces se cumple que *a+b=b+a.*
  2. Propiedad asociativa: el agrupamiento de los números no altera el resultado de la suma. Si *a, b* y *c* son tres enteros, entonces se verifica que *a+(b+c)=(a+b)+c*
  3. Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, lo que significa que sumar cualquier número entero con cero no altera su valor original. Si *a* es un entero, entonces *a+0=a.*
  4. Inverso aditivo: Cada número entero tiene un inverso aditivo, que es el número que, sumado a él, da como resultado cero. El inverso aditivo de un entero *a* es *-a* porque *a+(-a)=0.*

Resta (sustracción)

Si *a* y *b* son dos enteros, la resta de *a* menos *b* se representa como *a-b;* *a* es el minuendo y *b* es el sustraendo. La resta se puede ver como la suma del minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Así, la resta *a-b* se resuelve calculando *a+(-b)* y se utilizan las reglas de la suma que vimos recién.

*4-3=4+(-3)=1*

*-5-(-3)=-5+3=-2*

*10-(-5)=10+5=15*

Multiplicación

La multiplicación de enteros sigue las reglas estándar de la multiplicación. El producto de dos enteros tendrá el signo positivo si ambos números tienen el mismo signo, y tendrá el signo negativo si los números tienen signos diferentes. Esto se conoce como regla de signos.

*7\cdot 2=14*

*(-7)\cdot 2=-14*

*3\cdot (-2)=-6*

*(-2)\cdot (-4)=8*

Propiedades de la multiplicación

  1. Propiedad conmutativa: el orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación. Si *a* y *b* son dos enteros, entonces se cumple que *a\cdot b=b\cdot a.*
  2. Propiedad asociativa: el agrupamiento de los números no altera el resultado de la multiplicación. Si *a, b* y *c* son tres enteros, entonces se verifica que *a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c*
  3. Elemento neutro: el uno es el elemento neutro de la multiplicación, lo que significa que multiplicar cualquier número entero por 1 no altera su valor original. Si *a* es un entero, entonces *a\cdot 1=a.*
  4. Propiedad distributiva: la multiplicación se puede distribuir con respecto a la suma. Así, si *a, b* y *c* son números enteros, se cumple que *a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.*

División

La división es una operación matemática que nos indica cuántas veces un número (llamado divisor) está contenido en otro número (llamado dividendo). El resultado de la división se llama cociente.

Al trabajar con números enteros, puede ocurrir que el resultado de una división no sea un número entero. Para garantizar que el resultado es entero, debe pasar que el dividendo sea un múltiplo del divisor. Si esto sucede, la división será exacta.

Se sigue la misma regla de signos que en la multiplicación: si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen distinto signo, el resultado es negativo. Por ejemplo:

*10÷2=5*

*6÷(-3)=-2*

*-8÷2=-4*

*-12÷(-6)=2*

Limitaciones de los números enteros

Los números enteros, a pesar de que resuelven el problema de la resta que surgió con los números naturales, siguen sin ser suficientes para ciertas situaciones relacionadas con la división:

  • No se puede realizar la división exacta de dos números enteros si el dividendo no es múltiplo del divisor, pues el resultado no es un entero. Por ejemplo, las divisiones *4÷3~* y *~7÷5* no tienen solución en los números enteros.
  • No se pueden usar números enteros para representar cantidades como la mitad de un chocolate, un tercio de pizza o medio metro.

Desde otro punto de vista, no se pueden resolver ecuaciones como *2x=3,* pues no existe ningún entero *x* que cumpla esa igualdad. Para superar esto, se introducen otros tipos de números: los números racionales y posteriormente los números reales.

Preguntas frecuentes

¿Qué son los números enteros?

Los números enteros son aquellos que incluyen todos los números naturales (positivos) junto con sus respectivos opuestos (negativos) y el cero. Algunos ejemplos de números enteros son: -40, 2, 27, -34, 18.

¿Los números enteros tienen decimales?

No. Los números enteros no tienen decimales, pues son números que no incluyen partes fraccionarias. En otras palabras, son números que pueden ser escritos sin punto decimal.

¿Qué son los enteros positivos y los enteros negativos?

Los enteros positivos son aquellos mayores que cero, es decir, todos los números naturales. Los enteros negativos son aquellos menores que cero y se representan con un signo negativo (-) delante de ellos.
Algunos ejemplos de enteros positivos son: 2, 5, 7, 18, 54, 256, 13, 21.
Algunos ejemplos de enteros negativos son: -7, -23, -200, -1, -4, -68, -35, -89.

¿Con qué letra se representan los números enteros?

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z.

¿Los números enteros tienen primer elemento?

No, los números enteros no tienen un primer elemento. Es decir, no hay un número que sea menor que todos los demás. Por ejemplo, si tomamos el número -1, siempre podemos encontrar un número menor, como -2, -3, -4, etc.

¿Cuántos números enteros hay entre dos enteros?

Entre dos números enteros siempre hay una cantidad finita de números enteros. Por ejemplo, entre 3 y 5 hay solo un número entero, que es 4.

Concepto y definición de números enteros como unión de conjunto de números enteros positivos, negativos y cero. Letra con la que se lo designa
Propiedades del conjunto de los números enteros: es infinito, todo entero tiene un sucesor y un antecesor, etc

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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