Función cuadrática

En este artículo explicamos qué es una función cuadrática y cuáles son sus elementos y propiedades. Además, veremos ejemplos y las diferentes formas en la que se puede escribir su ecuación.

Definición

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y tiene la siguiente forma:

*f(x)=ax^2+bx+c*

siendo *a,* *b* y *c* números reales y *a≠0.*

Algunos ejemplos de funciones cuadráticas son:

*f(x)=-2x^2+8x-5*

*g(x)=x^2+3*

*h(x)=6x^2*

*y=2x-x^2*

*v=-1+u^2+2u*

Una función como *k(x)=2x-9,* no es cuadrática, puesto que no tiene término cuadrático. Tampoco lo es *m(x)=x^3+3x^2-8x+5,* porque, aunque tiene posee término cuadrático, no es un polinomio de segundo grado, sino de tercero.

Elementos y propiedades

Las funciones cuadráticas tienen una serie de elementos que determinan sus características y nos permiten estudiarla, estos elementos son:

  • Coeficientes.
  • Dominio y rango.
  • Gráfica.
  • Vértice.
  • Eje de simetría.
  • Raíces.
  • Intersección con el eje y.

Describiremos a continuación cada una de estas componentes.

Coeficientes

Los coeficientes de una función cuadrática son los números reales a, b y c que aparecen en la fórmula general de la función, *f(x)=ax^2+bx+c.* Cada uno de ellos tiene un nombre especial:

  1. a es el coeficiente del término cuadrático o coeficiente principal. Nunca puede ser cero.
  2. b es el coeficiente del término lineal. Puede ser cero.
  3. c es el término independiente o constante. Puede ser cero.

De forma similar, el término *ax^2* se llama término cuadrático o principal, el término *bx* se denomina término lineal, y *c* se llama término independiente.

Dominio y rango

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente (generalmente denotada con x). El rango de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente (generalmente denotada como y o f(x)).

El dominio de una función cuadrática es siempre el conjunto de los números reales, es decir, *\mathbb{R}.* El rango, en cambio, depende de los coeficientes, ya que estos determinarán los valores que tomará la función.

Gráfica

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual es simétrica respecto a una recta vertical que llamamos eje de simetría.

Dos parábolas gráficas de funciones cuadráticas

Cuando la parábola se abre "hacia arriba", se dice que la función es convexa. Si la parábola se abre "hacia abajo", la función es cóncava. Que sea un caso u otro depende del signo del coeficiente principal, el cual, si es positivo, provocará una parábola hacia arriba; y si es negativo, provocará una parábola hacia abajo.

Dada una función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c:*

La parábola abre hacia arriba si *a>0*
La parábola abre hacia abajo si *a<0*

Vértice

Si la parábola se abre hacia arriba, podemos ver que existe un punto que es más bajo que todos; si abre hacia abajo, hay un punto que está más alto que todos. El punto más bajo o más alto de la parábola se llama vértice. Este punto, por definición, es mínimo o máximo de la función, respectivamente.

Vértice de funciones cuadráticas

El vértice V de la función *f(x)=ax^2+bx+c* tiene coordenadas *(h,k)* donde:

*h=\dfrac{-b}{2a}*

*k=f(h)*

Si *a>0,* el vértice es un mínimo de la función. Si *a<0,* el vértice es un máximo.

Eje de simetría

Decíamos anteriormente que la parábola es simétrica respecto a una recta vertical que llamamos eje de simetría (a veces se abrevia como "eje"). Debido a esta simetría es posible encontrar otros puntos de la curva.

Eje de simetría de una parábola, función cuadrática

El eje de simetría es la recta paralela al eje *y* que pasa por el vértice y su ecuación es *x=\dfrac{-b}{2a}*

Raíces

Las raíces o ceros de una función son los valores de x donde ella se anula, es decir, *f(x)=0.* En estos puntos la gráfica de la función corta al eje x.

Raíces de una función cuadrática de forma gráfica.

Sustituyendo *f(x)* por *0* en una función cuadrática se obtiene la ecuación *ax^2+bx+c=0.* Esta puede ser resuelta mediante la fórmula resolvente para ecuaciones cuadráticas, también llamada fórmula general o de Bhaskara:

*x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*

Habiendo una raíz cuadrada en esta fórmula, sabemos que solo existe si su radicando es no negativo, siendo en caso contrario un número imaginario. Este radicando recibe el nombre de discriminante, y se lo denota con la letra griega delta mayúscula:

*Δ=b^2-4ac*

La importancia del discriminante radica en que nos dirá si la función cuadrática tiene o no raíces reales. Pueden darse tres casos, los cuales vemos a continuación.

Sea *f(x)=ax^2+bx+c* una función cuadrática y *Δ=b^2-4ac* su discriminante:

  1. Si el discriminante es positivo, la función tiene dos raíces reales diferentes. Es decir, la gráfica cruza el eje x en dos puntos.
  2. Si el discriminante es cero, la función tiene una raíz real de multiplicidad 2. Es decir, la gráfica toca al eje x en un punto.
  3. Si el discriminante es negativo, la función no tiene raíces reales. Es decir, la gráfica no cruza ni toca al eje x.
Casos posibles del discriminante de una función cuadrática

Intersección con el eje y

La intersección de la gráfica de una función con el eje y, si existe, es única y se da cuando *x=0.* Como el dominio de una función cuadrática es *\mathbb{R},* el cero está en el dominio y su imagen es:

*f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c*

Entonces, el corte de la gráfica de una función cuadrática con el eje y se da en el punto *(0,c).* Algunas veces este punto es llamado ordenada al origen, aunque este nombre está reservado para las funciones lineales.

Existen tres formas de expresar una función cuadrática que tienen diferentes utilidades dependiendo de para qué las estemos usando.

Forma polinómica o general

Esta es la forma que venimos trabajando hasta ahora y corresponde a un polinomio de segundo grado:

*f(x)=ax^2+bx+c*

Forma factorizada

Una función cuadrática puede escribirse en forma factorizada, utilizando sus raíces, de la siguiente forma:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

donde *a* es el coeficiente principal y *x_1,x_2* son las raíces de *f.* Si el discriminante es cero, ocurrirá que *x_1=x_2* y la ecuación adquiere la forma:

*f(x)=a(x-x_1)^2*

Es de esperar que, si una función cuadrática no tiene raíces reales, entonces no puede escribirse en forma factorizada.

Forma normal o canónica

Si el vértice de una función cuadrática tiene coordenadas *(h,k)* podemos escribir la ecuación como:

*f(x)=a(x-h)^2+k*

Esta recibe el nombre de forma normal o canónica.

Si sabemos cuál es el vértice, podemos llegar rápidamente a esta expresión; si no lo sabemos, podemos operar con la forma polinómica en un proceso conocido como completar el cuadrado para llegar a la forma canónica.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función algebraica polinómica de segundo grado y tiene la forma f(x)=ax^2+bx+c donde a, b y c son números reales y el coeficiente principal (a) no puede ser cero.

¿Cuáles son los elementos de una función cuadrática?

Los elementos principales de una función cuadrática son: coeficientes, dominio, rango, gráfica, vértice, eje de simetría, raíces e intersección con el eje y.

¿Cómo se llama la gráfica de una función cuadrática?

La gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Esta curva es simétrica respecto a un eje vertical, puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo de los coeficientes de la función, y tiene un punto máximo o mínimo llamado vértice.

¿Cuál es la diferencia entre función cuadrática y ecuación cuadrática?

Una función cuadrática es un tipo específico de función matemática que describe una relación entre dos variables. En cambio, una ecuación cuadrática es una igualdad que involucra expresiones algebraicas de segundo grado.

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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