Conectivos lógicos en matemáticas

En este artículo explicamos qué son los conectivos lógicos del cálculo proposicional. Veremos cuántos tipos hay y la lista completa de ellos con sus símbolos y tablas de verdad.

¿Qué son los conectivos lógicos?

Los conectivos lógicos (también llamados conectores u operadores) son símbolos o palabras que permiten formar nuevas proposiciones a partir de otras existentes. En lógica proposicional, los conectivos lógicos más comunes son la negación (no), la conjunción (y), la disyunción (o), el condicional (si… entonces) y el bicondicional (si y sólo si). Para cada uno de ellos existen símbolos específicos que veremos a continuación.

Tabla de los conectivos lógicos

Negación

La negación de la proposición p es la proposición ¬p (se lee "no p"). El negador tiene el mismo significado que la partícula «no» del lenguaje ordinario. Al negar un enunciado, nuestra intención es decir que ese enunciado es falso. 

• Si una proposición es verdadera, su negación es falsa.
• Si una proposición es falsa, su negación es verdadera.

Representamos las condiciones de verdad de esta conectiva mediante una tabla. La columna inicial recoge los posibles valores de verdad de un determinado enunciado p. La columna siguiente indica los valores de verdad que corresponden a la negación del enunciado. 

Ejemplo 1:

p: "La Luna orbita a la Tierra"

¬p: "La Luna no orbita a la Tierra"

V(p)=V

V(¬p)=F

Ejemplo 2:

q: "Los peces pueden respirar fuera del agua"

¬q: "No es cierto que los peces pueden respirar fuera del agua"

V(q)=F

V(¬q)=V

La negación de una proposición puede leerse de las siguientes formas:

• no p.
• no es cierto que p.
• no ocurre que p.
• es falso que p.

Más información, ejemplos y propiedades de la negación

Conjunción

La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pʌq (se lee "p y q"). El significado del conjuntor es idéntico al de «y» en lenguaje ordinario. Una conjunción es verdadera cuando sus componentes son verdaderos; es falsa en cualquier otro caso. 

Representamos las condiciones de verdad mediante una tabla análoga a la anterior. En las primeras dos columnas se indican ordenadamente las cuatro combinaciones posibles de verdad y falsedad de las proposiciones p y q. La tercera columna indica los valores de verdad que corresponden a cada caso.

Ejemplo 1:

p: "El piano es un instrumento musical"

q: "2 es un número par"

pʌq: "El piano es un instrumento musical y 2 es un número par"

V(pʌq)=V porque ambas proposiciones son verdaderas.

Ejemplo 2:

r: "El color del cielo es rojo"

s: "2+2 es 4"

rʌs: "El cielo es rojo y 2+2 es 4"

V(rʌs)=F porque solo es verdadera la segunda proposición, la primera no lo es.

La conjunción de dos proposiciones puede leerse de las siguientes formas:

• p y q.
• p aunque q.
• p pero q.
• p sin embargo q.
• p no obstante q.
• p a pesar de q.

Más información y ejemplos de la conjunción lógica

Disyunción incluyente (o inclusiva)

Disyunción de p y q es la proposición p∨q (se lee "p o q"). El disyuntor se puede considerar parcialmente como una traducción al lenguaje formal de la partícula del lenguaje ordinario «o». La disyunción de dos proposiciones es verdadera cuando al menos una de esas proposiciones es verdadera (y cuando ambas lo son); es falsa cuando ambas son falsas.

Es fácil ver que las condiciones de verdad de la disyunción son la "contraparte" de las condiciones de verdad de la conjunción. También que el símbolo de la disyunción (∨) es la imagen invertida del conjuntor (ʌ).

Para probar la verdad de una conjunción hace falta probar la de todos sus miembros; para probar la verdad de la disyunción, basta probar la de uno. Recíprocamente ocurre con la falsedad: la falsedad de una conjunción se establece con probar la de uno de sus miembros; mientras que la falsedad de la disyunción requiere probar la de todos.

Ejemplo 1:

p: "El Sol es un planeta"

q: "La Tierra es un planeta"

p∨q: "El Sol es un planeta o la Tierra es un planeta"

V(p∨q)=V porque la segunda proposición es verdadera.

Ejemplo 2: 

r: "Los peces pueden volar"

s: "3 es un número par"

r∨s: "Los peces pueden volar o 3 es un número par"

V(r∨s)=F porque ambas proposiciones son falsas.

La disyunción incluyente de dos proposiciones puede leerse de las siguientes formas:

• p o q o ambos.
• o bien p o bien q.

Disyunción excluyente (o exclusiva)

Disyunción excluyente de p y q es la proposición p⊻q (se lee "p o q, pero no ambos"). Es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones es verdadera; es falsa si ambas son falsas o si ambas son verdaderas en simultáneo.

Este conectivo puede considerarse como la traducción al lenguaje formal de la partícula «o» en sentido excluyente, es decir, cuando se quiere indicar que ocurre una cosa o ocurre otra, pero no ambas a la vez. Se diferencia de la otra disyunción principalmente por eso. 

Ejemplo 1:

p: "4 es un número par"

q: "6 es un número par"

p⊻q: "4 es un número par o 6 es un número par, pero no ambos"

V(p⊻q)=F porque ambas proposiciones son verdaderas simultáneamente.

Ejemplo 2:

r: "La Tierra es plana"

s: "La Tierra es esférica"

r⊻s: "La Tierra es plana o es esférica, pero no ambos"

V(r⊻s)=V porque solo es verdadera la segunda proposición.

La disyunción excluyente de dos proposiciones puede leerse de las siguientes formas:

• p o q, pero no ambos.
• o bien p o bien q, pero no ambos.

Condicional (o implicación)

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p → q (se lee "si p entonces q" o "p implica q"). El implicador puede ser considerado como una formalización parcial de la partícula del lenguaje ordinario «si..., entonces...». La expresión que precede al símbolo se denomina antecedente (p), y la que sucede, consecuente o consiguiente (q).

Una implicación es verdadera cuando su antecedente es falso o cuando su consecuente es verdadero; es falsa cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso.

La definición que se acaba de dar parece chocar con el uso ordinario de la partícula «si..., entonces...», que suele envolver la idea de que existe algún tipo de relación interna entre el contenido del antecedente y del consecuente. 

Esto puede aclararse si se entiende que la lógica de los conectores se basa únicamente en el valor de verdad de las proposiciones y no tiene en cuenta el contenido de estas. 

Ejemplo 1:

p: "2 es un número par"

q: "3 es un número par"

p→q: "Si 2 es un número par, entonces 3 es un número par"

V(p→q)=F porque el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo 2:

r: "Juan aprueba el examen"

s: "La madre de Juan le dará un regalo"

r→s: "Si Juan aprueba el examen, su madre le dará un regalo"

Si suponemos que Juan aprobó su examen pero su madre no le dio el regalo, entonces V(r→s)=F porque el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Si Juan aprobó y su madre sí le dio el regalo, entonces V(r→s)=V, porque tanto antecedente como consecuente son verdaderos.

Si suponemos que Juan no aprobó su examen, no importa lo que ocurra con el consecuente, siempre pasará que V(r→s)=V. Su madre puede decidir si darle o no el regalo. 

La implicación de dos proposiciones puede leerse de las siguientes formas:

• si p, entonces q.
• solo si p entonces q.
• p es suficiente para q.
• q es necesario para p.
• no p a menos que q.

La implicación es muy utilizada en la enunciación de teoremas y propiedades matemáticas, por ello resulta interesante conocer las implicaciones asociadas a p → q. Entonces, dada la implicación p → q

q→p es la implicación recíproca, donde permutamos las proposiciones.

¬p →¬q es la implicación contraria, donde negamos ambas proposiciones sin cambiar su orden.

¬q→¬p es la implicación contrarrecíproca, donde permutamos y negamos ambas proposiciones.

Puede demostrarse que cualquier implicación es equivalente a su contrarrecíproca.

Ejemplo:

p: "Llueve"

q: "El patio está mojado"

p→q: "Si llueve, entonces el patio está mojado"

Recíproca: q→p: "Si el patio está mojado, entonces llueve"

Contraria: ¬p→¬q: "Si no llueve, entonces el patio no está mojado"

Contrarrecíproca: ¬q→¬p: "Si el patio no está mojado, entonces no llueve"

Nótese que las implicaciones recíproca y contraria no son equivalentes a la original, pues el patio podría estar mojado aun cuando no esté lloviendo (alguien puede mojarlo echando agua). En cambio, si el patio no está mojado, sí podemos asegurar que no está lloviendo. 

Bicondicional (o doble implicación)

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q (se lee "p si y sólo si q"). Este conectivo puede considerarse como la traducción al lenguaje formal de la partícula «cuando y solamente cuando» y también de «equivale». Se emplea en el establecimiento de definiciones de equivalencias y en la expresión de condiciones necesarias y suficientes.

Una doble implicación es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad, esto es, cuando ambos son verdaderos o ambos son falsos; y es falsa en caso contrario, o sea, cuando alguno de ellos es verdadero y el otro falso.

Ejemplo:

p: "Un triángulo es equilátero"

q: "Los tres lados de un triángulo son iguales"

p↔q: "Un triángulo es equilátero si y sólo si sus tres lados son iguales"

V(p↔q)=V

La doble implicación de dos proposiciones puede leerse de las siguientes formas:

• p si y solo si q.
• p suficiente y necesario para q.
• p es equivalente a q.

Para reemplazar al símbolo "↔" y a la expresión "si y solo si" es comúnmente usada la forma abreviada "sii". Por ejemplo: "Un triángulo es equilátero sii sus tres lados son iguales".

Jerarquía de los conectivos lógicos

Al usar los símbolos lógicos establecemos una jerarquía entre ellos para evitar el uso excesivo de paréntesis. La convención indica el siguiente orden:

1. ↔
2. →
3. ∧ ∨
4. ¬

Ejemplos: 

¬p → q ↔ r ∧ s → t debe entenderse como (¬p → q) ↔ [(r ∧ s) → t]

p ↔ ¬q ∨ r es p ↔ (¬q ∨ r)

¬p ∧ q es (¬p) ∧ q

Nótese que la negación sólo afecta a la proposición inmediata, salvo que un paréntesis lo modifique, por ejemplo, ¬(p ∧ q).

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