Función cúbica

En este artículo explicamos qué son las funciones cúbicas y cuáles son sus características y aplicaciones con ejemplos y gráficas.

¿Qué es una función cúbica?

Una función cúbica es una función polinómica de tercer grado, es decir, que puede ser escrita de la forma f(x)=ax³+bx²+cx+d donde a, b, c y d son números reales llamados coeficientes y a≠0. El número a que está multiplicando a x³ se llama coeficiente principal.

Algunos ejemplos de funciones cúbicas son:

1. *y=x^3*
2. *y=-x^3*
3. *y=x^3+3*
4. *y=-x^3-3x*
5. *y=2x^3+5x^2-3x+2*
6. *y=-6x^3-3x^2+1*
7. *y=-x^3-2x+6*

Las funciones cúbicas tienen diversas aplicaciones, por ejemplo, para calcular volúmenes de objetos y estructuras que tienen una forma cúbica o que están compuestos por formas cúbicas, como cajas, habitaciones o contenedores. Asimismo, son útiles en el diseño de estructuras, ya que una relación cúbica puede ofrecer tanto estética como funcionalidad.

Características

Las características y propiedades de una función cúbica son las siguientes:

• Dominio y rango: toda función cúbica tiene por dominio y rango al conjunto de los números reales.
• Gráfica: la gráfica de una función cúbica es una curva suave y continua.
• Intersección con el eje y: ocurre en el punto (0, d), donde d es el término independiente.
• Ceros o raíces: las funciones cúbicas pueden de uno a tres cortes con el eje x.
• Continuidad: las funciones cúbicas son continuas en todo su dominio.
• Simetría: las funciones cúbicas de la forma y=ax³+cx son impares, es decir, simétricas respecto al origen de coordenadas. 
• Concavidad: toda función de tercer grado tiene un intervalo donde es cóncava hacia arriba (convexa) y otro donde es cóncava hacia abajo (cóncava). 
• Punto de inflexión: toda función cúbica tiene un punto de inflexión que es donde cambia su concavidad.
• Máximos y mínimos: las funciones cúbicas pueden tener un punto máximo local en su sección cóncava y un punto mínimo local en su sección convexa, aunque no se da en todos los casos.
• Crecimiento y decrecimiento: una función de tercer grado puede tener intervalos donde es creciente y otros donde es decreciente, también puede ser creciente o decreciente en todo su dominio.
• Asíntotas: las funciones cúbicas no tienen asíntotas horizontales, verticales ni oblicuas.

Para encontrar los ceros de una función cúbica se puede recurrir a una factorización o a la regla de Ruffini. Lo que se busca es resolver la ecuación cúbica ax³+bx²+cx+d=0. Si se conocen las raíces de una función de tercer grado, esta puede escribirse en forma factorizada así:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)* 

donde *x_1, x_2, x_3* son las raíces de f.

Cuando a una función de tercer grado le faltan uno o varios términos, se llama función cúbica incompleta. Algunos casos que pueden darse son:

• Falta el término cuadrático: *y=ax^3+cx+d*
• Falta el término lineal: *y=ax^3+bx^2+d*
• Falta el término independiente: *y=ax^3+bx^2+cx*
• Faltan los términos cuadrático y lineal: *y=ax^3+d*

Para graficar una función cúbica se puede recurrir a una tabla de valores para conocer algunos puntos de la gráfica y luego trazar una curva suave que pase por ellos. Por ejemplo, para *y=-x^3+3x,* una tabla de valores sería la siguiente:

x	y	(x, y)
-2	2	(-2, 2)
-1	-2	(-1, -2)
0	0	(0, 0)
1	2	(1, 2)
2	-2	(2, -2)

Tal como sucede con cualquier otra función, es posible llevar a cabo operaciones algebraicas con funciones cúbicas como sumar, restar, multiplicar y dividir. Se debe tener en cuenta el dominio de las funciones originales para asegurar la existencia de la función resultante.

Ejemplos y gráficas

A continuación, veremos algunos ejemplos y gráficas de funciones cúbicas junto con su análisis correspondiente.

Ejemplo 1

*y=-x^3*

Análisis de la función:

• Dominio: *\mathbb{R}*
• Rango: *\mathbb{R}*
• Raíz: *x=0*
• Intersección con el eje y: *(0, 0)*
• Intervalos de crecimiento: la función no crece.
• Intervalo de decrecimiento: *(-\infty, +\infty)=\mathbb{R}*
• Simetría: la función es impar.
• Concavidad hacia arriba: *(-\infty, 0]*
• Concavidad hacia abajo: *[0, +\infty)*
• Punto de inflexión: en *x=0*
• Máximo: no tiene.
• Mínimo: no tiene.
• Asíntotas: no tiene.

Ejemplo 2

*y=x^3+2x^2*

Análisis de la función:

• Dominio: *\mathbb{R}*
• Rango: *\mathbb{R}*
• Raíces: *x=-2* y *x=0*
• Intersección con el eje y: *(0, 0)*
• Intervalos de crecimiento: *(-\infty, -\frac{4}{3})~* y *~(0,+\infty)*
• Intervalo de decrecimiento: *(-\frac{4}{3}, 0)*
• Simetría: la función no es par ni impar.
• Concavidad hacia abajo: *(-\infty, -\frac{2}{3}]*
• Concavidad hacia arriba: *[-\frac{2}{3}, +\infty)*
• Punto de inflexión: en *x=-\frac{2}{3}*
• Máximo local: en *x=-\frac{4}{3}*
• Mínimo local: en *x=0*
• Asíntotas: no tiene.

Ejemplo 3

*y=x^3-2x^2-x+2*

Análisis de la función:

• Dominio: *\mathbb{R}*
• Rango: *\mathbb{R}*
• Raíces: *x=-1, x=1, x=2*
• Intersección con el eje y: *(0, 2)*
• Intervalos de crecimiento: *(-\infty; -0,22)*  y *(1,55; +\infty)*
• Intervalo de decrecimiento: *(-0,22; 1,55)*
• Simetría: la función no es par ni impar.
• Concavidad hacia abajo: *(-\infty, \frac{2}{3}]*
• Concavidad hacia arriba: *[\frac{2}{3}, +\infty)*
• Punto de inflexión: en *x=\frac{2}{3}*
• Máximo local: en *x≈-0,22*
• Mínimo local: en *x≈1,55*
• Asíntotas: no tiene.

Otros ejemplos

Ejercicio para practicar

Bibliografía

• Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable (9na edición). McGraw Hill.
• Leithold, L. (1998). El Cálculo (7ma edición). Oxford University Press.
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• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
• Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.
• Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo, trascendentes tempranas (4ta edición). McGraw Hill.

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