Leyes lógicas: lista completa con fórmulas
En este artículo veremos una lista de las leyes lógicas más importantes y utilizadas en lógica proposicional.
Índice
¿Qué es una ley lógica?
En matemática discreta conocemos a una ley lógica o tautología como una proposición compuesta que siempre es verdadera independientemente del valor de verdad de las proposiciones componentes. Para demostrar una ley lógica es suficiente confeccionar la tabla de verdad correspondiente donde se evidenciará lo dicho anteriormente. Veremos a continuación las más importantes.
Leyes lógicas básicas
Las leyes básicas de la lógica son aquellas con las que solemos trabajar habitualmente. Las veremos todas a continuación.
Involución
La negación de la negación de una proposición es equivalente a la proposición:
*¬(¬p) ↔ p*
Ejemplo: “No es cierto que no está lloviendo” es equivalente a “Está lloviendo”
Leyes de De Morgan
La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones:
*¬(p∧q) ↔ ¬p ∨ ¬q*
La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones:
*¬(p∨q) ↔ ¬p ∧ ¬q*
Conmutatividad
Podemos permutar el orden de escritura de las proposiciones de una conjunción o una disyunción.
*p ∨ q ↔ q ∨p*
*p ∧ q ↔ q ∧ p*
Asociatividad
Está permitido asociar proposiciones en una cadena de conjunciones o de disyunciones:
*p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r*
*p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r*
Distributividad
La conjunción es distributiva respecto a la disyunción:
*(p ∨ q) ∧ r ↔ (p∧r) ∨ (q∧r)*
La disyunción es distributiva respecto a la conjunción:
*(p ∧ q) ∨ r ↔ (p∨r) ∧ (q∨r)*
Ley del tercer excluido
Sabemos que en lógica una proposición puede ser verdadera o falsa, sin posibilidad de una tercera opción, esto lo escribimos simbólicamente de la siguiente manera:
*p ∨ ¬p*
Ejemplo: “Ese animal o es un perro o no es un perro”
Ley de la no contradicción
No puede ocurrir que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo:
*¬ (p ∧ ¬p)*
Idempotencia
*p ∧ p ↔ p*
*p ∨ p ↔ p*
Leyes de identidad
*p →p*
*p ↔p*
Leyes de transposición
*(p → q) ↔ (¬q ↔¬p)* (también conocida como ley de contrarrecíproco)
*(p ↔ q) ↔ (¬q↔¬p)*
Definiciones
El condicional y el bicondicional pueden escribirse en términos de conjunciones o disyunciones. Estas son conocidas como las definiciones de ambos conectivos.
Definición de condicional: *p→q ↔ ¬p ∨ q*
Definición de bicondicional o equivalencia:
*(p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)]*
*(p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]*
Reglas de inferencia
Modus Ponens: *[(p → q) ∧ p] → q*
Modus Tollens: *[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p*
Silogismo: *(p→q)→[(q→r)→( p→r)]*
Silogismo disyuntivo:
*[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q*
*[(p ∨ q) ∧ ¬q] → p*
Transitividad o silogismo hipotético:
*[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)*
*[(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)*
Simplificación:
*p∧q → p*
*p∧q → q*
Adición:
*p → p∨q*
*q → p∨q*
Dilema constructivo: *[( p ∨ q) ∧ ( p→r) ∧ (q→r)]→r*
Segunda ley del dilema constructivo: *[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)*
Dilema destructivo: *[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s) ] → (¬p ∨ ¬r)*
Ley de casos: *[(p → q) ∧ (¬p → ¬q)] → q*
Exportación: *[(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q ∧ r)]*
Otras leyes
Negación del condicional: *¬(p→q) ↔ p ∧ ¬q*
Leyes de absorción:
*p ∨ (p ∧ q) ↔ p*
*p ∧ (p ∨ q) ↔ p*
Ley de permutación: *[ p→(q→r)]↔[q→( p→r)]*
Leyes de expansión:
*(p → q) ↔ [(p ∨ q) ↔ q]*
*(p → q) ↔ [(p ∧ q) ↔ p]*
Cuando se conoce que una proposición es verdadera (V) o falsa (F):
*V∨p ↔ V*
*F∨p ↔p*
*V∧p↔p*
*F∧p↔F*
*p∧¬p↔ F*
*p∨¬p ↔ V*
