Leyes lógicas: lista completa con fórmulas

0 - Votos: 0

En este artículo veremos una lista de las leyes lógicas más importantes y utilizadas en lógica proposicional.

Índice

¿Qué es una ley lógica?

En matemática discreta conocemos a una ley lógica o tautología como una proposición compuesta que siempre es verdadera independientemente del valor de verdad de las proposiciones componentes. Para demostrar una ley lógica es suficiente confeccionar la tabla de verdad correspondiente donde se evidenciará lo dicho anteriormente. Veremos a continuación las más importantes.

Leyes lógicas básicas

Las leyes básicas de la lógica son aquellas con las que solemos trabajar habitualmente. Las veremos todas a continuación.

Involución

La negación de la negación de una proposición es equivalente a la proposición:

*¬(¬p) ↔ p*

Ejemplo: “No es cierto que no está lloviendo” es equivalente a “Está lloviendo”

Leyes de De Morgan

La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones:

*¬(p∧q) ↔ ¬p ∨ ¬q*

La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones:

*¬(p∨q) ↔ ¬p ∧ ¬q*

Conmutatividad

Podemos permutar el orden de escritura de las proposiciones de una conjunción o una disyunción.

*p ∨ q ↔ q ∨p*
*p ∧ q ↔ q ∧ p*

Asociatividad

Está permitido asociar proposiciones en una cadena de conjunciones o de disyunciones:

*p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r*
*p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r*

Distributividad

La conjunción es distributiva respecto a la disyunción:

*(p ∨ q) ∧ r ↔ (p∧r) ∨ (q∧r)*

La disyunción es distributiva respecto a la conjunción:

*(p ∧ q) ∨ r ↔ (p∨r) ∧ (q∨r)*

Ley del tercer excluido

Sabemos que en lógica una proposición puede ser verdadera o falsa, sin posibilidad de una tercera opción, esto lo escribimos simbólicamente de la siguiente manera:

*p ∨ ¬p*

Ejemplo: “Ese animal o es un perro o no es un perro”

Ley de la no contradicción

No puede ocurrir que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo:

*¬ (p ∧ ¬p)*

Idempotencia

*p ∧ p ↔ p*
*p ∨ p ↔ p*

Leyes de identidad

*p →p*
*p ↔p*

Leyes de transposición

*(p → q) ↔ (¬q ↔¬p)* (también conocida como ley de contrarrecíproco)
*(p ↔ q) ↔ (¬q↔¬p)*

Definiciones

El condicional y el bicondicional pueden escribirse en términos de conjunciones o disyunciones. Estas son conocidas como las definiciones de ambos conectivos.

Definición de condicional: *p→q ↔ ¬p ∨ q*

Definición de bicondicional o equivalencia:
*(p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)]*
*(p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]*

Reglas de inferencia

Modus Ponens: *[(p → q) ∧ p] → q*

Modus Tollens: *[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p*

Silogismo: *(p→q)→[(q→r)→( p→r)]*

Silogismo disyuntivo:
*[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q*
*[(p ∨ q) ∧ ¬q] → p*

Transitividad o silogismo hipotético:
*[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)*
*[(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)*

Simplificación:
*p∧q → p*
*p∧q → q*

Adición:
*p → p∨q*
*q → p∨q*

Dilema constructivo: *[( p ∨ q) ∧ ( p→r) ∧ (q→r)]→r*

Segunda ley del dilema constructivo: *[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)*

Dilema destructivo: *[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s) ] → (¬p ∨ ¬r)*

Ley de casos: *[(p → q) ∧ (¬p → ¬q)] → q*

Exportación: *[(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q ∧ r)]*

Otras leyes

Negación del condicional: *¬(p→q) ↔ p ∧ ¬q*

Leyes de absorción:
*p ∨ (p ∧ q) ↔ p*
*p ∧ (p ∨ q) ↔ p*

Ley de permutación: *[ p→(q→r)]↔[q→( p→r)]*

Leyes de expansión:
*(p → q) ↔ [(p ∨ q) ↔ q]*
*(p → q) ↔ [(p ∧ q) ↔ p]*

Cuando se conoce que una proposición es verdadera (V) o falsa (F):
*V∨p ↔ V*
*F∨p ↔p*
*V∧p↔p*
*F∧p↔F*
*p∧¬p↔ F*
*p∨¬p ↔ V*

Bibliografía

Acevedo González, G. (2011). Lógica Matemática. Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD).
Castillo P, E. y Pinta, M. (2015). Lógica Matemática I: Proposiciones y Leyes de Inferencia (2da edición). Universidad Técnica de Machala.
Copi, I. y Cohen, C. (2013). Introducción a la Lógica (2da edición). Limusa.
Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
Daun, J. y Falcón, Y. (1995). Lógica matemática. Universidad Autónoma Metropolitana.
Garrido, M. (1974). Lógica simbólica (4ta edición). Tecnos.
Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
Moreno, A. (1969). Lógica matemática: antecedentes y fundamentos. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
Puyau, H. y Roetti, J. (1976). Elementos de Lógica Matemática. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.