Funciones reales de variable real

En esta sección estudiaremos un grupo de funciones importantes en el análisis matemático: las funciones reales de variable real (o funciones real valuadas), es decir, aquellas donde las variables son números reales. Analizaremos su definición, dominio y rango, gráficas y veremos algunos ejemplos de las mismas.

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¿Qué es una función?

Recordemos que una función o aplicación es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto, llamado dominio, un único elemento de otro conjunto, llamado codominio. Entonces, en las funciones reales lo que ocurrirá es que el dominio y el rango serán subconjuntos de números reales.

Definición

Sean A y B dos subconjuntos de números reales. Una función real de variable real o función escalar f es una regla que asigna a cada número real del conjunto A, un único número real del conjunto B. 

El conjunto A se llama dominio de la función, el conjunto B se llama codominio. El recorrido o rango se define como el subconjunto de B formado por todas las imágenes de los elementos de A. Puede ocurrir que existan elementos del codominio que no están en el rango de la función.

Diagrama de flechas de una función real de variable real
Diagrama de una función

La simbología habitual utilizada en análisis matemático es $$f: A\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ que se lee como "f es una función definida de reales en reales". También podríamos escribir $$f: A\rightarrow B, A\subseteq \mathbb{R}, B\subseteq \mathbb{R}$$ que se interpreta como "f es una función definida de A en B, A y B son subconjuntos de números reales".

Para la función escalar f, a cada elemento x del dominio A le corresponde un elemento y del rango. Este elemento y se llama valor de la función f en x, o imagen de x a través de f, y se denota como f(x), léase "f de x". Entonces, podemos decir que *y=f(x).* Como el valor de y depende de la elección de x, se la denomina variable dependiente; a x se la llama variable independiente. Entendido así, el dominio es el conjunto de todos los valores posibles de x y el rango es el conjunto de valores de y que corresponden a cada x.

Nota: al elemento x del dominio de la función se le suele llamar "argumento" o "preimagen" de la función. 

La notación de funciones puede confundir al principio. Recordemos que f es el nombre de la función escalar, y f(x) es la imagen del elemento x del dominio de f. Entonces, resulta que f(x) es un elemento del rango de la función, por esa razón podemos escribir *y=f(x).*

Con frecuencia las funciones se definen mediante una fórmula o ecuación que nos da la relación que cumplen los elementos del dominio y el rango. Puede pasar que se utilice una única regla para calcular la imagen de cada uno de los elementos del dominio o bien que según sea el valor de la variable independiente se utilice una regla u otra para calcular su imagen (función definida por partes). 

Por ejemplo: *y=6x^2+x+1 *

Utilizando la notación de funciones, podemos escribir esta ecuación como 

*f(x)=6x^2+x+1*

Esta notación es útil porque nos informa de varias cosas:

  1. La variable independiente es x.
  2. La variable dependiente es f(x), que podemos escribir como y.
  3. El nombre de la función es f.
  4. Un elemento x del dominio tiene por imagen a *f(x)=6x^2+x+1.*

Si nos interesa, por ejemplo, conocer cuánto es el valor de la función cuando x=3, bastará preguntar “¿cuánto vale *f(3)*?”.  El proceso de hallar el valor de y que corresponde a un x dado se conoce como evaluar la función

El papel de la variable x en la ecuación puede entenderse como un hueco a llenar. Por ejemplo, la función *f(x)=6x^2+x+1* puede describirse como *f(~~~)=6(~~~)^2+(~~~)+1,* donde usamos paréntesis en lugar de x, y podría leerse como "f de algo es igual a seis veces ese algo al cuadrado, más el algo, más uno". Para evaluar *f(-2),* bastará con colocar *-2* en cada par de paréntesis:

*f(-2)=6(-2)^2+(-2)+1*

*=6\cdot 4-2+1*

*=23*

Nota: aunque es frecuente usar f como símbolo para denotar una función y x para la variable independiente, se pueden utilizar otros símbolos. Siempre que una función esté bien definida, no tienen mucha importancia los símbolos que se usen para escribirla. A modo de ejemplo, las siguientes ecuaciones definen todas la misma función:

*f(x)=x^2-4x+5*

*f(t)=t^2-4t+5*

*g(s)=s^2-4s+5*

Las letras utilizadas habitualmente para nombrar funciones son F, G, H, f, g, h, p, q, etc; para las variables suelen usarse r, s, t, u, v, w, x, y, z.

Dominio y rango

El dominio o campo de existencia de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente. El conjunto imagen, rango o recorrido es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. En las funciones reales, como es de esperarse, el dominio y el rango son subconjuntos de números reales.

Dominio: es el conjunto de números reales para los que la función está definida, o sea, que tienen imagen real a través de la función. Se lo denota como *D_f* o *Dom(f)*

*D_f=\{x\in \mathbb{R}~|~\exist~ f(x)\}*

El dominio de una función puede venir explícito con la misma; caso contrario, se tomará como dominio el conjunto más grande de números reales que arrojan como imagen un número real. En este último caso puede ser necesario hacer algunos cálculos usando la ecuación. 

Ejemplos:

  • La función *f(x)=\dfrac{1}{x^2-4},* *4≤x≤5* tiene un dominio definido explícitamente como *D_f=\{x~|~4≤x≤5\}=[4,5]*
  • La función *g(x)=\dfrac{1}{x-1}* tiene un dominio implícito que es *D_g=\{x~|~x≠1\}=\mathbb{R}-\{1\},* porque un denominador no puede ser cero. 

Es conveniente repasar la notación de intervalos reales y conjuntos para expresar los dominios de funciones. 

Rango: es el conjunto de todos los números reales que son imágenes de los elementos del dominio de la función. Se lo denota como *R_f.*

*R_f=\{y\in \mathbb{R}~|~\exist~ x\in D_f\land y=f(x)\}*

Ejemplos:

  • La función *f(x)=x^2* tiene por rango *R_f=\{x~|~x≥0\}* porque un número elevado al cuadrado siempre es no negativo.
  • La función *g(x)=-3x+5* tiene por rango *R_g=\mathbb{R}* porque la variable dependiente puede tomar el valor de cualquier número real.

Gráficas de funciones escalares

Las funciones reales de variable real pueden representarse gráficamente en un plano donde se ha introducido un sistema de coordenadas cartesianas. El dominio se considera sobre el eje de abscisas (horizontal) y el rango sobre el eje de ordenadas (vertical). Dado que ambos ejes están formados por números reales, el plano se denomina como *\mathbb{R}\times \mathbb{R}* o abreviadamente *\mathbb{R}^2.*

La representación gráfica de una función f está dada por los puntos *(x;y)* del plano para los cuales x está en el dominio de la función e *y=f(x).* Es decir, la gráfica de una función es el conjunto de puntos cuya primera coordenada es un elemento del dominio y la segunda es la imagen correspondiente. La gráfica se denota como *G_f.*

*G_f=\{(x;y)\in \mathbb{R}^2~|~x\in D_f\land y=f(x)\}*

La gráfica nos aporta una idea útil del comportamiento de una función, además, permite comprender conceptos abstractos. Como la coordenada y de cualquier punto de la gráfica es *y=f(x),* podemos leer el valor de *f(x)* directamente desde el gráfico. También, el dominio y el rango de la función pueden extraerse del gráfico. 

El valor de f(x) puede obtenerse gráficamente
El valor de la función puede leerse desde la gráfica.
Obtener dominio y rango a partir de la gráfica de una función real de variable real
El dominio y el rango de una función pueden obtenerse desde su gráfica.

Habitualmente, la gráfica de una función es una curva en el plano cartesiano, pero no todas las curvas del plano son gráficas de funciones. Las gráficas de funciones tienen la propiedad de que una recta vertical puede cortarlas a lo sumo en un punto, pues en caso contrario significa que un mismo número tiene más de una imagen, no cumpliendo con la definición de función

Este principio se aplica para verificar si una curva es gráfica de una función o no, y se conoce como la prueba de la recta vertical.

Prueba de la recta vertical para determinar si una curva del plano es gráfica de una función
Prueba de la recta vertical para determinar si una curva del plano es gráfica de una función

Al construir el gráfico de cualquier función es conveniente encontrar, si existen, las intersecciones del mismo con los ejes de coordenadas.

La intersección con el eje y, si existe, es única y se obtiene para *x=0.* Es decir, si existe un punto de intersección de la gráfica con el eje de ordenadas, dicho punto es *(0;f(0)).*

Intersección de una función con el eje y
Intersección de una función con el eje y

Las intersecciones con el eje x corresponden, si existen, a los puntos donde el valor de la función es cero. Los puntos del dominio donde ocurre esto reciben el nombre de ceros de la función. O sea: el número real *a* es cero de la función si *f(a)=0,* el gráfico de f corta al eje x en el punto *(a;0).*

Intersecciones de una función con el eje x
Intersecciones de una función con el eje x

Según el gráfico, *a_1* y *a_2* son ceros de la función f.

Ejemplos de funciones escalares y sus gráficas

Veremos a continuación algunos ejemplos de funciones reales básicas junto con su representación gráfica.

Funciones lineales

Las funciones lineales son aquellas de la forma *f(x)=mx+b* donde m y b son números reales. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, *\mathbb{R}.*

Ejemplos:

*f(x)=x*

Gráfica de la función lineal f(x)=x
Gráfica de la función lineal f(x)=x

*f(x)=2x+1*

Gráfica de la función lineal f(x)=2x+1
Gráfica de la función lineal f(x)=2x+1

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son aquellas de la forma *f(x)=ax^2+bx+c* donde a, b y c son números reales y *a≠0.* El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, *\mathbb{R}.*

Ejemplos:

*f(x)=x^2*

Gráfica de la función cuadrática f(x)=x^2

*g(x)=-x^2+5*

Gráfica de una función cuadrática

Funciones cúbicas

Las funciones cúbicas son aquellas de la forma *f(x)=ax^3+bx^2+cx+d* donde a, b, c, d son números reales y *a≠0.* El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, *\mathbb{R}.*

Ejemplos:

*f(x)=x^3*

Gráfica de la función cúbica f(x)=x^3

*f(x)=-x^3+2x^2+1*

Gráfica de una función cúbica

Funciones racionales

Las funciones racionales son aquellas de la forma *f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}* donde p y q son funciones polinómicas, o sea, de la forma:

*p(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0*

*q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0*

donde *a_0,a_1,...,a_m~* y *~b_0, b_1,...,b_n* son números reales; *m* y *n* son números naturales.

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan al denominador *q(x).*

*D_f=\mathbb{R}-\{x~|~q(x)=0\}*

Ejemplos:

*f(x)=\dfrac{1}{x}*

Gráfica de la función racional 1/x

*g(x)=\dfrac{x^2}{1-x}*

Gráfica de una función racional

Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada es *f(x)=\sqrt{x}.* Su dominio y rango es el conjunto de los reales no negativos.

Gráfica de la función raíz cuadrada de x
Gráfica de la función raíz cuadrada

Función valor absoluto

La función valor absoluto es *f(x)=|x|.* Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los reales no negativos.

Gráfica de la función valor absoluto |x|
Gráfica de la función valor absoluto

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función real de variable real?

Una función real de variable real es una regla matemática que asigna a cada número real en su dominio exactamente un número real en su codominio. En otras palabras, para cada valor de entrada (variable independiente) en el dominio de la función, hay exactamente un valor correspondiente en el rango (variable dependiente).

¿Cómo se demuestra que una función es real?

Para demostrar que una función es real, se debe mostrar que la regla de correspondencia entre los elementos del dominio y del rango está bien definida y cumple la condición de asignar un único valor en el rango para cada valor en el dominio. Además, que el dominio y el rango sean subconjuntos de números reales.

¿Cuál es el símbología de una función de valor real?

La simbología utilizada para denotar funciones reales es f: A → R donde A es un subconjunto de los números reales y R es el conjunto de los reales.

¿Qué propiedades tiene una función real?

Las funciones reales pueden tener varias propiedades, como ser continuas, derivables, integrables, monótonas, acotadas, entre otras. Estas propiedades dependen de la naturaleza específica de la función y su comportamiento en su dominio.

¿Es toda función una función real?

No, las funciones no siempre son funciones reales. Hay diferentes tipos de funciones, como las funciones complejas, que asignan números complejos como valores, las funciones vectoriales, que asignan vectores como valores, entre otras.

¿Todas las funciones reales tienen inversa?

No, no todas las funciones reales tienen inversa. Para que una función tenga una inversa, debe ser biyectiva, es decir, debe ser tanto inyectiva (no hay elementos del dominio que tengan imagen repetida) como suprayectiva (cada elemento del codominio tiene un correspondiente el dominio). No todas las funciones reales cumplen estas condiciones.

¿Cuáles son los tipos de funciones reales?

Las funciones reales pueden clasificarse en dos categorías principales:

1. Funciones algebraicas: Estas funciones pueden ser expresadas mediante operaciones algebraicas básicas, tales como suma, resta, multiplicación, división, potenciación y raíces de polinomios. Ejemplos notables incluyen las funciones polinómicas y las funciones racionales.

2. Funciones trascendentes: Este grupo abarca aquellas funciones que no pueden ser representadas por un número finito de operaciones algebraicas. Incluye funciones como las exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas, así como combinaciones de estas.

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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