Proposiciones lógicas
En este artículo explicamos qué son las proposiciones lógicas y algunos ejemplos de las mismas, cómo es su simbología y clasificación.
Índice
Concepto
En nuestro lenguaje expresamos hechos o ideas mediante oraciones, por ejemplo, “Saturno es un planeta”. Esta declaración expresa un hecho y se puede evaluar si es verdadera o no. En lógica, los enunciados de este tipo reciben el nombre de proposiciones.
Definición: una proposición es un enunciado declarativo que tiene sentido completo y que puede ser verdadero o falso.
Algunos ejemplos de proposiciones son:
- “Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar”
- “A los gatos no les gusta el agua”
- “La Tierra órbita alrededor del Sol”
- “2 es un número par”
- “El Támesis es caudaloso”
- “El café contiene cafeína”
- “El piano es un instrumento musical”
La lógica clásica sigue un supuesto básico según el cual todo enunciado es verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Este principio recibe el nombre de bivalencia. A la verdad y falsedad de las proposiciones se les da el nombre de valores de verdad.
Una proposición es verdadera cuando coincide con los hechos, caso contrario es falsa. Por ejemplo, el enunciado "el Támesis es caudaloso" será verdadero si el río Támesis posee realmente la propiedad de ser caudaloso, y será falso si ese no es el caso. En este caso será la experiencia la que nos permitirá decidir la veracidad de la proposición.
Las proposiciones se utilizan para construir argumentos y razonamientos válidos. Pueden combinarse mediante conectivas lógicas como "y", "o", "si... entonces", para formar proposiciones más complejas. El estudio de éstas es fundamental en el campo de la lógica y la matemática.
No todas las oraciones son proposiciones, por ejemplo, las expresiones “¿cuánto cuesta esto?” o “gire a la izquierda” no son proposiciones, porque no podemos decir si son verdaderas o falsas.
Simbología
Denotamos a las proposiciones genéricas con las letras p, q, r, s, etc. Por ejemplo:
p: “El sol sale por el oeste”
q: “4+1 es igual a 5”
r: “El color del cielo es rojo”
s: “El hierro se derrite a temperatura ambiente”
Para denotar el valor de verdad de una proposición se utiliza V() encerrando entre paréntesis la proposición que tratemos. El verdadero se denota con V y el falso con F. Aplicando esto a las proposiciones anteriores:
V(p)=F
V(q)=V
V(r)=F
V(s)=F
Proposiciones simples y compuestas
Las proposiciones simples, atómicas o primitivas son aquellas mínimas unidades de las que podemos obtener un valor de verdad.
Ejemplos:
- “Juan es un gran músico”.
- “Los perros son cariñosos”
- “El Sol es una estrella”
Como dijimos antes, dos o más proposiciones pueden combinarse mediante conectivas lógicas como "y", "o", "si... entonces", etc, para formar proposiciones más complejas.
Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas que surgen de la composición de proposiciones simples. Su valor de verdad depende de ellas.
Ejemplos:
- “Marte es un planeta y Venus también”
- “El chocolate es blanco o negro”
- “Si está lloviendo, entonces el techo está mojado”
El valor de verdad de estas proposiciones depende de las simples que la componen porque, en función de si estas son verdaderas o falsas, la proposición compuesta tendrá un valor u otro. Por ejemplo, la primera proposición será verdadera si son ciertos los enunciados “Marte es un planeta” y “Venus es un planeta”, ambas proposiciones atómicas. Estudiamos esto más a fondo mediante tablas de verdad de conectivos lógicos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la proposición en matemáticas?
En matemáticas, una proposición es una afirmación que es clara, precisa y que puede ser clasificada como verdadera o falsa, pero no ambas al mismo tiempo. Las proposiciones son la base de la lógica matemática y son utilizadas para construir argumentos y teoremas.
¿Qué no es una proposición en matemáticas?
No son proposiciones las expresiones ambiguas, las preguntas, las órdenes ni las declaraciones que no pueden ser evaluadas como verdaderas o falsas de manera definitiva. Por ejemplo, "¿Cómo estás?" no es una proposición en el contexto de la lógica matemática.
¿Cuáles son los tipos de proposiciones lógicas?
Hay dos tipos de proposiciones lógicas:
1. Atómicas o simples: Son proposiciones que no se pueden descomponer en proposiciones más simples.
2. Compuestas: Se forman combinando proposiciones atómicas mediante conectivos lógicos como "y" (conjunción), "o" (disyunción), "no" (negación), etc.
¿Cómo se identifican las proposiciones compuestas?
Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por proposiciones más simples (atómicas) mediante conectivos lógicos. Estas se identifican al observar la presencia de palabras clave como "y", "o", "si… entonces", etc., que indican la relación entre las proposiciones.
¿Puede una proposición ser verdadera y falsa al mismo tiempo?
No, según los principios fundamentales de la lógica clásica, una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Una proposición debe tener un valor de verdad bien definido: verdadero o falso. Esto se conoce como el principio del tercero excluído.
¿Una ecuación matemática es una proposición?
Sí, una ecuación matemática es una proposición. El valor de verdad de la ecuación depende de los valores asignados a las variables. Por ejemplo, la ecuación x+2=5 es verdadera si x=3, pero es falsa si x=2.
