Cambio de base de logaritmos

En este artículo explicamos la propiedad del cambio de base en logaritmos con ejemplos de aplicación y su demostración.

¿Qué es el cambio de base?

Este teorema es útil para calcular logaritmos en una calculadora científica. Dado que estas suelen traer solo funciones para logaritmos decimales (base 10) y naturales (base e), con la regla del cambio de base se puede convertir un logaritmo de cualquier base en uno decimal o natural y así obtener su valor.

Ejemplos

A continuación veremos algunos ejemplos de aplicación del cambio de base.

Ejemplo 1: calcular log₂(512).

Solución: Usamos la propiedad para cambiar de logaritmo binario a, por ejemplo, uno decimal, el cual se puede realizar en una calculadora. Identificamos que la base original es 2, la base nueva es 10 y el argumento del logaritmo es 512, entonces:

*\log_2(512)=\dfrac{\log_{10}(512)}{\log_{10}(2)}*

*\log_2(512)=9*

Podríamos haber usado cualquier otra base, como la de un logaritmo natural, y llegaríamos al mismo resultado. Es importante usar siempre la misma base en el numerador y el denominador.

*\log_2(512)=\dfrac{\ln(512)}{\ln(2)}*

*\log_2(512)=9*

Se comprueba que el resultado es correcto porque *2^9=512.*

Nota: en las calculadoras científicas, la tecla para calcular logaritmos decimales es “log” y para logaritmos naturales es “ln”.

Ejemplo 2: calcular el logaritmo en base 8 de 15.

Solución: buscamos obtener log₈(15), para esto utilizamos la regla del cambio de base convirtiendo este logaritmo en, por ejemplo, un logaritmo decimal:

*\log_8(15)=\dfrac{\log_{10}(15)}{\log_{10}(8)}*

*\log_8(15)≈1,3023*

Ejemplo 3: calcular log₅(125)

Solución: para aplicar el cambio de base, identificamos que la base original es 5 y el argumento es 125. Usaremos nuevamente un logaritmo decimal:

*\log_5(125)=\dfrac{\log_{10}(125)}{\log_{10}(5)}*

*\log_5(125)=3*

Comprobamos que el resultado es correcto porque *5^3=125.*

Ejemplo 4: obtener log₆(216)

Solución: convirtiendo el logaritmo en base 6 a uno en base 10:

*\log_6(216)=\dfrac{\log_{10}(216)}{\log_{10}(6)}*

*\log_6(216)=3*

Constatamos que el resultado es correcto ya que *6^3=216.*

Ejemplo 5: resolver la ecuación *3^x=1/9*

Solución: esta ecuación se puede escribir como en forma logarítmica como *x=\log_3(1/9),* es decir, buscamos el exponente que debe tener 3 para que el resultado sea 1/9. Como no podemos calcular logaritmos de base 3 directamente en una calculadora, usamos el cambio de base para reescribirlo como un logaritmo decimal:

*\log_3(1/9)=\dfrac{\log_{10}(1/9)}{\log_{10}(3)}*

*\log_3(1/9)=-2*

Entonces, *x=-2.* Verificamos que esto es correcto porque *3^{-2}=\dfrac{1}{9}.*

Ejemplo 6

Podemos usar la propiedad del cambio de base para pasar de un logaritmo natural a uno decimal y viceversa, o de uno binario a decimal o natural. Las siguientes fórmulas pueden ser de utilidad:

• Pasar de logaritmo natural a decimal: *\ln(a)=\dfrac{\log_{10}(a)}{\log_{10}(e)}*
• Pasar de logaritmo decimal a natural: *\log_{10}(a)=\dfrac{\ln(a)}{\ln(10)}*
• Pasar de logaritmo binario a decimal: *\log_2(a)=\dfrac{\log_{10}(a)}{\log_{10}(2)}*
• Pasar de logaritmo binario a natural: *\log_2(a)=\dfrac{\ln(a)}{\ln(2)}*

Demostración de la propiedad

Buscamos probar que el teorema del cambio de base es cierto. Comenzamos con la definición de logaritmo:

*\log_b(a)=x~~* si y solo si *~~b^x=a*

A la última expresión aplicamos logaritmos en base c positiva y distinta de 1: 

*\log_c (b^x)=\log_c (a)*

Por propiedad de logaritmo de una potencia:

*x\cdot \log_c (b)=\log_c (a)*

Despejando x:

*x=\dfrac{\log_c (a)}{\log_c (b)}*

Pero *x=\log_b (a),* entonces:

*\log_b (a)=\dfrac{\log_c (a)}{\log_c (b)}*

Como se quería demostrar.

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