Funciones proposicionales y cuantificadores
Una parte de la lógica matemática es la llamada lógica de predicados, en donde trabajamos con expresiones que son factibles de convertirse en proposiciones. En este artículo veremos en detalle qué son estas expresiones y cuáles son los caminos para convertirlas en proposiciones.
Índice
Función proposicional
Definición: Una función proposicional (también llamado esquema proposicional) es toda expresión factible de ser una proposición.
Por ejemplo: "x tiene cabello negro" es una función proposicional, no es una proposición porque no sabemos quién es x.
Usamos una notación con letras mayúsculas y la variable entre paréntesis: *P(x), Q(x), R(x), etc.* También podríamos tener más de una variable, por ejemplo *P(x,y), Q(x,y,z), etc.* En este artículo trabajaremos más con funciones proposicionales de una variable. Veamos algunos ejemplos de funciones proposicionales con su correspondiente notación:
- P(x): x tiene cabello negro.
- Q(x): x es un gato.
- R(x, y): x es hermano de y.
Existen dos formas de convertir una función proposicional en una proposición: por sustitución o por cuantificación.
La sustitución consiste en reemplazar la variable por una palabra. Por ejemplo en P(x): x tiene cabello negro, podríamos reemplazar la x por «Juan», de ese modo llegamos a la proposición p: "Juan tiene cabello negro". Todas las palabras por la cuales puede ser reemplazada la variable pertenecen a lo que se llama un universo de discurso, donde están todas las personas, ideas, símbolos y demás que afectan a la variable. Los elementos del universo de discurso se denominan individuos.
Cuantificación
La cuantificación consiste en anteponer un elemento llamado cuantificador a una función proposicional, de modo que esta se transforme en una proposición. Existen dos cuantificadores lógicos: el cuantificador universal (∀) y el cuantificador existencial (∃).
Siendo P(x) una función proposicional, las convertimos en proposición escribiendo de la siguiente manera:
- *∀x: P(x)* se lee "para toda x se verifica P(x)" o "cualquiera sea x, se verifica P(x)".
- *∃x/ P(x)* se lee "existe x tal que verifica P(x)" o "existe al menos un x tal que se verifica P(x)".
La primera proposición es verdadera cuando todos los individuos del universo de discurso cumplen la afirmación. La segunda proposición es verdadera cuando existe al menos un individuo que cumple la afirmación.
Por convención, para el cuantificador universal usamos dos puntos y para el cuantificador existencial usamos una barra. También podemos cuantificar una función proposicional de modo que digamos que solo existe un individuo que cumple la afirmación, en ese caso escribimos *∃!x/P(x)* y se lee "existe solo un x tal que se verifica P(x)". A este cuantificador se le conoce como cuantificador de existencia única.
Por ejemplo con la función proposicional P(x): x es un gato, si queremos decir que todos los individuos del universo de discurso son gatos, anteponemos un cuantificador universal: ∀x: x es un gato. Se lee "para todo x se verifica que x es un gato" o en lenguaje común "todos los x son gatos".
Si queremos decir que algunos individuos del universo de discurso son gatos, anteponemos un cuantificador existencial: ∃x/ x es un gato. Se lee "existe x tal que x es un gato" o en lenguaje más natural "existen x que son gatos".
Alcance de un cuantificador
Los cuantificadores, tanto el universal como el existencial, alcanzan a la función proposicional que tengan más cerca, salvo que lo modifiquen paréntesis. Por ejemplo: ∀x: P(x) ∨ Q(x) se interpreta como [∀x: P(x) ] ∨ Q(x). Si quisiéramos que el cuantificador alcance a las dos funciones, debemos escribir ∀x: [ P(x) ∨ Q(x) ].
Negación de un cuantificador
Del lenguaje natural podemos deducir que para negar una propiedad universal, por ejemplo “todas las personas son rubias”, bastaría con hacer ver que existen personas que no son rubias. Tomando un caso general P(x), en simbología de cuantificadores estamos diciendo lo siguiente:
¬∀x: P(x) ↔ ∃x/ ¬P(x) (el bicondicional se interpreta como equivalencia). Es decir, no es cierto que toda x verifica P(x) es equivalente a decir que existen x que no verifican P(x).
Del mismo modo con el cuantificador existencial: ¬∃x: P(x) ↔ ∀x/ ¬P(x). Es decir, no es cierto que existen x que verifican P(x) es equivalente a decir que ninguna x verifica P(x), o para toda x se verifica que no es cierto P(x).
Básicamente, negar una proposición con cuantificador consiste en cambiar el cuantificador y negar la función proposicional.
- Para negar el cuantificador universal se lo cambia por el cuantificador existencial y se niega la función proposicional.
- Para negar el cuantificador existencial se lo cambia por el cuantificador universal y se niega la función proposicional.
Preguntas frecuentes
¿Qué son los cuantificadores lógicos?
Los cuantificadores lógicos son símbolos utilizados en matemática discreta para expresar de manera concisa proposiciones que involucran variables y conjuntos de elementos. Los cuantificadores permiten especificar la cantidad de elementos que satisfacen una determinada propiedad.
¿Cuál es la diferencia entre el cuantificador universal (∀) y el cuantificador existencial (∃)?
El cuantificador universal (∀) se lee como "para todo" o "para cada" y se utiliza para expresar que una propiedad es verdadera para todos los elementos de un conjunto.
El cuantificador existencial (∃) se lee como "existe" y se utiliza para expresar que al menos un elemento en un conjunto tiene una determinada propiedad.
¿Cómo se niegan enunciados que contienen cuantificadores?
Para negar un enunciado con cuantificador universal (∀), se utiliza la negación lógica y se cambia la cuantificación universal por existencial. La negación de "para todo x, P(x)" es "existe algún x para el cual no se cumple P(x)".
Para negar un enunciado con cuantificador existencial (∃), se utiliza la negación lógica y se cambia la cuantificación existencial por universal. La negación de "existe algún x tal que P(x)" es "para todo x, no se cumple P(x)".
¿Pueden usarse dos cuantificadores en una misma proposición lógica?
Sí, es posible usar dos o más cuantificadores en una misma proposición lógica. Por ejemplo, se puede tener una afirmación como "para todo x, existe y tal que P(x, y)," que significa que para cada elemento x hay al menos un elemento y que satisface la propiedad P. La combinación de cuantificadores puede expresar relaciones más complejas y detalladas sobre conjuntos y variables.
