Logaritmos naturales

En este artículo explicamos qué son los logaritmos naturales, vemos ejemplos de ellos, sus aplicaciones y cómo calcularlos.

¿Qué son los logaritmos naturales?

Los logaritmos naturales son aquellos que tienen como base al número irracional “e”, el cual es aproximadamente 2,7182. Es decir, el logaritmo natural de un número positivo a es el exponente al que se debe elevar e para que el resultado sea a y se simboliza como ln(a):

*\ln(a)=b~~* si y solo si *~~e^b=a*

El logaritmo natural también puede escribirse como loge(a) para dejar clara cuál es la base. Con frecuencia se usa el término “logaritmos neperianos” para referirse a los logaritmos naturales, pero se tratan de conceptos diferentes.

Ejemplos

A continuación, vemos algunos ejemplos de logaritmos de base e:

  • El logaritmo natural de 1 es 0, pues e0=1, entonces ln(1)=0.
  • El logaritmo natural de e es 1, pues e1=e, por tanto ln(e)=1.
  • ln(1/e)=-1 porque e-1=0.
  • ln(e5)=5.
  • ln √e=1/2 porque e1/2=√e.
  • El logaritmo natural de cero o de números negativos no existe.

Si el argumento no es una potencia racional de e, el resultado del logaritmo natural será un número irracional, es decir, con infinitas cifras decimales que no siguen un patrón:

  • El logaritmo natural de 2 es ln(2)=0,6931…
  • El logaritmo natural de 3 es ln(3)=1,0986…
  • El logaritmo natural de 5 es ln(5)=1,6094…

Cómo calcular logaritmos naturales

Las calculadoras científicas poseen una función particular para calcular logaritmos naturales que se puede usar presionando la tecla “ln” y luego escribiendo el número del cual se quiere obtener el logaritmo. 

También es posible convertir de logaritmo natural a logaritmo decimal calculando primero el logaritmo decimal del argumento y luego dividiendo el resultado entre el logaritmo decimal de e:

*\ln(a)=\dfrac{\log (a)}{\log (e)}*

Aplicaciones

El logaritmo natural tiene aplicaciones en diversas áreas, desde matemáticas y ciencias naturales hasta ingeniería, economía y más. Algunas de ellas son:

  • Crecimiento y decaimiento exponencial: el logaritmo natural se utiliza para modelar fenómenos de crecimiento y decaimiento exponencial en campos como la biología (crecimiento de poblaciones), la física (decaimiento radioactivo) y la economía (interés compuesto).
  • Análisis de circuitos eléctricos: en ingeniería eléctrica, el logaritmo natural se utiliza en el análisis de circuitos para representar la relación entre la corriente y el voltaje en dispositivos no lineales, como los diodos.
  • Ecuaciones diferenciales: en matemáticas y física, el logaritmo natural aparece con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, especialmente en problemas de crecimiento y decaimiento.
  • Finanzas y economía: en finanzas, el logaritmo natural se utiliza en la modelización de procesos financieros como la volatilidad de los precios de los activos financieros. También se utiliza en la determinación de tasas de interés continuamente compuestas.

Propiedades

Los logaritmos de base e cumplen las mismas propiedades que los demás logaritmos:

  • El logaritmo natural de uno es cero: ln(1)=0.
  • El logaritmo natural de e es uno: ln(e)=1.
  • El logaritmo natural de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos naturales de los factores: ln(ab)=ln(a)+ln(b).
  • El logaritmo natural de una división es igual a la resta de los logaritmos naturales del dividendo y divisor: ln(a/b)=ln(a) - ln(b).
  • El logaritmo natural de una potencia es igual al exponente por el logaritmo natural de la base: ln(a^n)=n⋅ln(a).
  • El logaritmo natural de una potencia de e es igual a la potencia: ln(e^n)=n.
  • El logaritmo natural de un número se puede obtener dividiendo el logaritmo del mismo número en otra base entre el logaritmo de e en esa nueva base: ln(a)=logc(a)÷logc(e).

Función logaritmo natural

En el contexto del Análisis Matemático se puede obtener la función logaritmo natural si se considera a su argumento como una variable independiente. De este modo, se obtiene la función *y=\ln(x),* la cual es la inversa de la función exponencial natural *y=e^x.*

Gráfica de la función logaritmo natural, base e, neperiano
Gráfica de la función logaritmo natural

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la base del logaritmo natural?

La base del logaritmo natural es el número irracional e, que es aproximadamente igual a 2,71828.

¿Cómo convertir logaritmo natural a decimal?

Para convertir un logaritmo natural (ln) a decimal (log), se puede usar la relación: ln(a)=log(a) / log(e)

¿Cuál es la diferencia entre logaritmo natural (ln) y decimal (log)?

La principal diferencia radica en la base utilizada. El logaritmo natural (ln) tiene una base de e, mientras que el logaritmo decimal (log) tiene una base de 10.

¿Logaritmo natural y logaritmo neperiano son lo mismo?

No. Aunque se suelen usar como sinónimos, logaritmo natural y neperiano son conceptos diferentes.

Definición de logaritmo natural
Ejemplos de logaritmos naturales

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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