Propiedades de los logaritmos naturales

En este artículo explicamos todas las propiedades de los logaritmos naturales juntos con ejemplos y las demostraciones de cada una.

Propiedades básicas

Las siguientes son propiedades que surgen a partir de la propia definición de logaritmo:

  • El logaritmo natural de uno es cero: ln(1)=0, porque e0=1. 
  • El logaritmo natural de e es uno: ln(e)=1, porque e1=e.
  • El logaritmo natural es un exponente: eln(a)=a.
  • El logaritmo natural de cero o de números negativos no existe.

Logaritmo natural de un producto

El logaritmo natural de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos naturales de los factores: $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$$

Ejemplos

  • *\ln(2\cdot 5)=\ln(2)+\ln(5)*
  • *\ln(6x^2)=\ln(6)+\ln(x^2)*
  • *\ln(5e)=\ln(5)+\ln(e)*

Demostración

Comenzamos llamando x al logaritmo natural de ab:

*x=\ln(ab)*

Por definición de logaritmo, debe ocurrir que *e^x=ab.* Además, por propiedad básica:

*a=e^{\ln(a)}~~* y *~~b=e^{\ln(b)}*

Multiplicando a y b y usando producto de potencias de igual base:

*a\cdot b=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}*

*ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}*

Pero *ab=e^x,* entonces:

*e^x=e^{\ln(a)+\ln(b)}*

Como las bases son iguales, para que se cumpla la igualdad los exponentes deben ser iguales, lo que resulta en:

*x=\ln(a)+\ln(b)*

*\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)*

Como se quería demostrar.

Logaritmo natural de un cociente

El logaritmo natural de una división es igual a la resta de los logaritmos naturales del dividendo y divisor: $$\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$$

Ejemplos

  • *\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)=\ln(5)-\ln(3)*
  • *\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)=\ln(1)-\ln(e)*
  • *\ln\left(\dfrac{2x}{9}\right)=\ln(2x)-\ln(9)*

Demostración

Comenzamos llamando x al logaritmo natural de a/b:

*x=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)*

Por definición de logaritmo, debe ocurrir que *e^x=\dfrac{a}{b}.* Además:

*a=e^{\ln(a)}~~* y *~~b=e^{\ln(b)}*

Dividiendo a entre b y usando la propiedad del cociente de potencias de igual base:

*\dfrac{a}{b}=\dfrac{e^{\ln(a)}}{e^{\ln(b)}}*

*\dfrac{a}{b}=e^{\ln(a)-\ln(b)}*

Pero *\dfrac{a}{b}=e^x,* entonces:

*e^x=e^{\ln(a)-\ln(b)}*

Como las bases son iguales, para que se cumpla la igualdad los exponentes deben ser iguales:

*x=\ln(a)-\ln(b)*

*\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)*

Como se quería demostrar.

Logaritmo natural de una potencia

El logaritmo natural de una potencia es igual al exponente por el logaritmo natural de la base: $$\ln(a^n)=n\cdot \ln(a).$$

Ejemplos

  • *\ln(8^2)=2\cdot \ln(8)*
  • *\ln(3^x)=x\cdot \ln(3)*
  • *\ln(y^2)=2\cdot \ln(y)*

Propiedades derivadas

A partir de la propiedad de la potencia se pueden deducir otras dos relacionadas con potencias:

  • El logaritmo natural de una potencia de e es igual a la potencia: *\ln(e^n)=n.* Se demuestra rápidamente porque *\ln(e^n)=n\cdot \ln(e)=n\cdot 1=n.*
  • El logaritmo natural del recíproco de un número a es igual al negativo del logaritmo natural de a: *\ln(\frac{1}{a})=-\ln(a).* Se prueba sencillamente porque *\ln(\frac{1}{a})=\ln(a^{-1})=-1\cdot \ln(a)=-\ln(a).*

Demostración

Llamamos x al logaritmo natural de *a^n:*

*x=\ln(a^n)*

Por definición de logaritmo, *e^x=a^n.* Además, usando la propiedad de potencia de otra potencia:

*a^n=(e^{\ln(a)})^n*

*a^n=e^{n\ln(a)}*

Pero *a^n=e^x,* entonces:

*e^x=e^{n\ln(a)}*

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

*x=n\cdot \ln(a)*

*\ln(a^n)=n\cdot \ln(a)*

Como se quería demostrar.

Cambio de base

El logaritmo natural de un número se puede obtener dividiendo el logaritmo del mismo número en otra base entre el logaritmo de e en esa nueva base: $$\ln(a)=\dfrac{\log_c(a)}{\log_c(e)}$$

Ejemplos

  • *\ln(7)=\dfrac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(e)}*
  • *\ln(10)=\dfrac{\log_2(10)}{\log_2(e)}*
  • *\ln(2y)=\dfrac{\log_9(2y)}{\log_9(e)}*

Demostración

Comenzamos con la definición de logaritmo natural:

*\ln(a)=x~~* si y solo si *~~e^x=a*

Aplicando logaritmos en base c, positiva y distinta de 1, a la última expresión y por propiedad del logaritmo de una potencia:

*\log_c (e^x)=\log_c (a)*

*x\cdot \log_c (e)=\log_c (a)*

Despejando x:

*x=\dfrac{\log_c (a)}{\log_c (e)}*

Pero *x=\ln(a),* entonces:

*\ln(a)=\dfrac{\log_c (a)}{\log_c (e)}*

Como se quería demostrar.

Bibliografía

  • Abálsamo, R., Berio, A., Mastucci, S., Quirós, N. y De Rossi, F. (2013). Matemática 5. Puerto de Palos.
  • Leithold, L. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Oxford University Press.
  • Rojas Hincapié, C. (2022). Matemáticas de secundaria: grados 8-9. Fondo Editorial RED Descartes.
  • Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación.
  • Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.
  • Zill, D. y Dewar, J. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica (3ra edición). McGraw Hill.
Propiedades de los logaritmos naturales fórmulas

Daniel Machado

Profesor de Matemáticas graduado en la Universidad Nacional de Misiones, Argentina.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Subir