Propiedades de los logaritmos naturales

En este artículo explicamos todas las propiedades de los logaritmos naturales juntos con ejemplos y las demostraciones de cada una.

Índice

Propiedades básicas

Las siguientes son propiedades que surgen a partir de la propia definición de logaritmo:

El logaritmo natural de uno es cero: ln(1)=0, porque e⁰=1.
El logaritmo natural de e es uno: ln(e)=1, porque e¹=e.
El logaritmo natural es un exponente: e^ln(a)=a.
El logaritmo natural de cero o de números negativos no existe.

Logaritmo natural de un producto

El logaritmo natural de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos naturales de los factores: $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$$

Ejemplos

*\ln(2\cdot 5)=\ln(2)+\ln(5)*
*\ln(6x^2)=\ln(6)+\ln(x^2)*
*\ln(5e)=\ln(5)+\ln(e)*

Demostración

Comenzamos llamando x al logaritmo natural de ab:

*x=\ln(ab)*

Por definición de logaritmo, debe ocurrir que *e^x=ab.* Además, por propiedad básica:

*a=e^{\ln(a)}~~* y *~~b=e^{\ln(b)}*

Multiplicando a y b y usando producto de potencias de igual base:

*a\cdot b=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}*

*ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}*

Pero *ab=e^x,* entonces:

*e^x=e^{\ln(a)+\ln(b)}*

Como las bases son iguales, para que se cumpla la igualdad los exponentes deben ser iguales, lo que resulta en:

*x=\ln(a)+\ln(b)*

*\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)*

Como se quería demostrar.

Logaritmo natural de un cociente

El logaritmo natural de una división es igual a la resta de los logaritmos naturales del dividendo y divisor: $$\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$$

Ejemplos

*\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)=\ln(5)-\ln(3)*
*\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)=\ln(1)-\ln(e)*
*\ln\left(\dfrac{2x}{9}\right)=\ln(2x)-\ln(9)*

Demostración

Comenzamos llamando x al logaritmo natural de a/b:

*x=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)*

Por definición de logaritmo, debe ocurrir que *e^x=\dfrac{a}{b}.* Además:

*a=e^{\ln(a)}~~* y *~~b=e^{\ln(b)}*

Dividiendo a entre b y usando la propiedad del cociente de potencias de igual base:

*\dfrac{a}{b}=\dfrac{e^{\ln(a)}}{e^{\ln(b)}}*

*\dfrac{a}{b}=e^{\ln(a)-\ln(b)}*

Pero *\dfrac{a}{b}=e^x,* entonces:

*e^x=e^{\ln(a)-\ln(b)}*

Como las bases son iguales, para que se cumpla la igualdad los exponentes deben ser iguales:

*x=\ln(a)-\ln(b)*

*\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)*

Como se quería demostrar.

Logaritmo natural de una potencia

El logaritmo natural de una potencia es igual al exponente por el logaritmo natural de la base: $$\ln(a^n)=n\cdot \ln(a).$$

Ejemplos

*\ln(8^2)=2\cdot \ln(8)*
*\ln(3^x)=x\cdot \ln(3)*
*\ln(y^2)=2\cdot \ln(y)*

Propiedades derivadas

A partir de la propiedad de la potencia se pueden deducir otras dos relacionadas con potencias:

El logaritmo natural de una potencia de e es igual a la potencia: *\ln(e^n)=n.* Se demuestra rápidamente porque *\ln(e^n)=n\cdot \ln(e)=n\cdot 1=n.*
El logaritmo natural del recíproco de un número a es igual al negativo del logaritmo natural de a: *\ln(\frac{1}{a})=-\ln(a).* Se prueba sencillamente porque *\ln(\frac{1}{a})=\ln(a^{-1})=-1\cdot \ln(a)=-\ln(a).*

Demostración

Llamamos x al logaritmo natural de *a^n:*

*x=\ln(a^n)*

Por definición de logaritmo, *e^x=a^n.* Además, usando la propiedad de potencia de otra potencia:

*a^n=(e^{\ln(a)})^n*

*a^n=e^{n\ln(a)}*

Pero *a^n=e^x,* entonces:

*e^x=e^{n\ln(a)}*

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

*x=n\cdot \ln(a)*

*\ln(a^n)=n\cdot \ln(a)*

Como se quería demostrar.

Cambio de base

El logaritmo natural de un número se puede obtener dividiendo el logaritmo del mismo número en otra base entre el logaritmo de e en esa nueva base: $$\ln(a)=\dfrac{\log_c(a)}{\log_c(e)}$$

Ejemplos

*\ln(7)=\dfrac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(e)}*
*\ln(10)=\dfrac{\log_2(10)}{\log_2(e)}*
*\ln(2y)=\dfrac{\log_9(2y)}{\log_9(e)}*

Demostración

Comenzamos con la definición de logaritmo natural:

*\ln(a)=x~~* si y solo si *~~e^x=a*

Aplicando logaritmos en base c, positiva y distinta de 1, a la última expresión y por propiedad del logaritmo de una potencia:

*\log_c (e^x)=\log_c (a)*

*x\cdot \log_c (e)=\log_c (a)*

Despejando x:

*x=\dfrac{\log_c (a)}{\log_c (e)}*

Pero *x=\ln(a),* entonces:

*\ln(a)=\dfrac{\log_c (a)}{\log_c (e)}*

Como se quería demostrar.

Bibliografía

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