Números naturales
En este artículo explicamos el conjunto de los números naturales. Partimos de su concepto y definición y veremos su forma de representación, propiedades, las operaciones que se pueden realizar y las restricciones que las mismas tienen.
Índice
¿Qué son los números naturales?
Los números naturales son aquellos que usamos para contar y ordenar: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Todos los números naturales son enteros positivos, es decir, las fracciones y los negativos no son números naturales.
Estos números los utilizamos generalmente para contar cantidades, por ejemplo: el alfabeto tiene 27 letras, el arcoíris tiene 7 colores, etc. También los usamos para indicar un orden, por ejemplo, en una carrera de diez participantes, los ordenamos según el tiempo de llegada a la meta desde el primer puesto hasta el décimo puesto.
Además de los mencionados al principio, algunos ejemplos de números naturales son: 10, 15, 50, 92, 103, 245, 444, 13, 1000, 4560. Si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Los siguientes son ejemplos de números que no son naturales: -70, 2/3; 6,5; π, √2.
Conjunto de los números naturales
Al conjunto de los números naturales lo designamos con la letra N:
*\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...\}*
Los números naturales son el conjunto más básico de números a partir del cual se pueden construir los demás: enteros, racionales, reales, complejos. Los números naturales son un subconjunto de los números enteros, que a su vez es subconjunto de los racionales y éste de los reales. Entonces, todos los números naturales son enteros, racionales y reales.
Dependiendo del uso que quiera darse, puede considerarse al 0 como un número natural o no. Este número tiene la utilidad de indicar la no existencia de objetos para contar u ordenar. Además, como veremos enseguida, si se admite que el cero sea un número natural, se permite que la suma tenga un elemento neutro.
Cuando se quiere indicar explícitamente que se considera al cero como un número natural, se coloca el subíndice cero al símbolo del conjunto:
*\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,4,5,...\}*
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Características y propiedades
Algunas características y propiedades de los números naturales son:
- El conjunto de los números naturales es ordenado e infinito, esto significa que siempre podrán encontrarse nuevos números naturales y comparar entre dos diferentes para saber cuál de ellos es menor (o mayor).
- El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento, el cual es el 1 (o el cero, si se lo considera natural), este número es el más pequeño de todos los naturales. Por el hecho de ser un conjunto infinito, no existe un número natural que sea el más grande de todos.
- Todo número natural tiene sucesor. Un natural y su sucesor se dicen consecutivos. El sucesor de un natural puede obtenerse sumándole 1.
- Todo número natural, excepto el primero, tiene un antecesor. El antecesor de un natural puede obtenerse restándole 1.
- Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso se dice que es un conjunto discreto, o que no es denso.
- Entre un número natural y su sucesor no hay ningún número natural.
- Los números naturales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, con algunas restricciones.
Representación en la recta numérica
Los números naturales se pueden representar usando la recta numérica. Para ello, se ubica cada número dejando el mismo espacio de separación entre ellos:
Como el conjunto de los números naturales es ilimitado, la recta se extiende en infinitamente hacia la derecha, como indica la flecha.
Operaciones entre números naturales
Entre números naturales podemos definir las operaciones de suma (o adición), resta (o sustracción), multiplicación (o producto), división (o cociente), potenciación y radicación.
Sean *a, b* y *c* números naturales. La suma y la multiplicación de números naturales cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura: la suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
*a+b~* es un número natural
*a\cdot b~* es un número natural
Propiedad asociativa: el orden en que se agrupan los números no altera el resultado final.
*(a+b)+c=a+(b+c)*
*(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)*
Propiedad conmutativa: el orden en que se ubican los números en la operación no altera el resultado.
*a+b=b+a*
*a\cdot b=b\cdot a*
Elemento neutro: el número 0, sumado a cualquier otro natural, no altera su valor: *a+0=a.* El número 1, multiplicado por otro natural, no altera su valor: *a\cdot 1=a.*
Se ha considerado que el cero es un número natural, ya que este número tiene la propiedad de ser elemento neutro de la suma. Si no se considera al 0 como natural, solo existe neutro para la multiplicación.
Propiedad distributiva: la multiplicación se distribuye con respecto a la suma.
*a\cdot (b+c)=ab+ac*
Como dijimos, los números naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones
es también un número natural. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la resta y la división, en estos casos:
- La resta de dos números naturales es un número natural solo si el minuendo es mayor que el sustraendo. En otro caso, el resultado no es natural. Por ejemplo: el resultado de *2-3* no es un número natural.
- La división de dos números naturales solo es natural cuando el dividendo es múltiplo del divisor, en otras palabras, cuando la división es exacta. Por ejemplo, el resultado de *7:4* no es un número natural.
Limitaciones de los números naturales
La principal limitación de los números naturales es que no son capaces de representar magnitudes negativas o fraccionarias. En otras palabras, no pueden usarse para medir cantidades que son "menos que nada" o que son partes no enteras de un todo. Por ejemplo:
- No se puede usar un número natural para representar una deuda, una pérdida o una temperatura bajo cero.
- No se puede usar un número natural para representar cantidades como la mitad de una manzana, un tercio de una pizza o medio metro.
A nivel de operaciones, estas dos limitaciones las vimos en la resta y la división. No es posible resolver en el conjunto de los números naturales las operaciones *a-b* cuando *a<b* ni *a:b* cuando *a* no es múltiplo de *b.* Tampoco existen elementos simétricos para la suma y la multiplicación.
Para superar las limitaciones de los números naturales, se crearon otros conjuntos numéricos, como los números enteros, los números racionales y los números reales.
Preguntas frecuentes
¿Qué son los números naturales y para qué sirven?
Los números naturales son aquellos de la sucesión infinita 1, 2, 3, 4, ... y nos sirven para contar cantidades y ordenar elementos.
¿Por qué se llaman números naturales?
Los números naturales se llaman así porque representan las cantidades naturales y conteos de elementos que se encuentran de manera intuitiva en la naturaleza. Desde tiempos antiguos, los humanos han utilizado números naturales para contar objetos, personas, animales y otras entidades cuantificables que existen naturalmente en el mundo que nos rodea.
¿Con qué letra se representan los números naturales?
Los números naturales se representan con la letra mayúscula N. Si se considera al cero como número natural, se agrega un subíndice con ese número a la misma letra: N0.
¿Cuáles son las propiedades de los números naturales?
El campo de los números naturales cumple las siguientes propiedades.
1. Es un conjunto infinito y ordenado.
2. Tiene primer elemento, pero no tiene último elemento.
3. Todo número natural tiene un sucesor.
4. Todo número natural, excepto el primero, tiene un antecesor.
5. Entre dos números naturales existe una cantidad finita de números naturales.
6. Entre un número natural y su sucesor no existe ningún número natural.
¿El cero es un número natural?
Dependiendo del uso que quiera darse, el cero es o no un número natural. Por ejemplo, si se requiere contar los elementos de un conjunto, el cero se incluye en los naturales, pues pueden existir conjuntos sin elementos.
¿Por qué los números naturales no son densos?
Los números naturales no son densos porque entre cualquier par de números naturales, siempre hay una cantidad finita de números naturales intermedios, sin importar qué tan grandes sean los números en cuestión.
¿Qué relación tienen los números naturales con otros conjuntos numéricos?
Los números naturales son la base de otros conjuntos numéricos más amplios, como los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Cada conjunto numérico más amplio incluye a los números naturales y agrega nuevas clases de números para abarcar una gama más amplia de valores.
¿Cuál es el primer número natural?
El primer número natural es el número 1. Si se considera que el 0 es un número natural, entonces 0 es el primer número natural.
¿Cuál es el mayor número natural?
No existe un número natural que sea mayor que todos, ya que los números naturales se extienden infinitamente en dirección positiva.
