Ecuaciones exponenciales

En este artículo explicamos qué son y cómo resolver ecuaciones exponenciales con ejercicios desarrollados de los diferentes casos posibles.

¿Qué son las ecuaciones exponenciales?

Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita aparece solamente en el exponente de una o más potencias, con bases constantes.

Ejemplos:

*2^x=32*

*3^{2x+1}=27*

*3^{x+2}+9^{x+1}=810*

*9^{x+2}=50*

Las ecuaciones como *x^2=4,~ x^3+3=5~* o *~\sqrt{x}=4* no son exponenciales, pues la incógnita no está en un exponente sino en una base.

¿Cómo se resuelven?

Para resolver ecuaciones logarítmicas se puede recurrir a las propiedades de la potenciación, la radicación y al uso de logaritmos. Explicaremos a continuación tres formas de resolver con ejemplos.

Propiedades de las potencias:

• Producto de potencias de igual base: *a^m\cdot a^n=a^{m+n}*
• Cociente de potencias de igual base: *\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}*
• Potencia de otra potencia: *(a^m)^n=a^{m\cdot n}*
• Exponente negativo: *a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}*
• Denominador con exponente negativo: *\dfrac{1}{a^{-m}}=a^m*
• Potencia de un cociente: *\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^n}{b^n}*
• Inverso de un número: *\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}*
• Raíces: *\sqrt[n]{a}=a^{1/n}*
• Potencias fraccionarias: *\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}*

Igualación de bases

Ejemplo 1

Resolver la ecuación *2^x=32*

Solución: la potencia con incógnita tiene base 2, buscamos expresar al otro miembro como una potencia de esa misma base. El número 32 se puede factorizar como *2^5,* sustituyendo en la ecuación:

*2^x=2^5*

Se tiene una igualdad de potencias: como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales, entonces:

*x=5*

Comprobación: si *x=5,* entonces

*2^5=32*

*32=32*

Ejemplo 2

Resolver la ecuación exponencial *3^x-3=240*

Solución: primero, aislamos en un solo miembro al término con incógnita.

*3^x-3=240*

*3^x=240+3*

*3^x=243*

El valor 243 puede factorizarse como *3^5,* sustituimos esto en la ecuación:

*3^x=3^5*

De la igualdad de potencias de la misma base, se extrae que: 

*x=5*

Ejemplo 3

Resolver *3^{2x+1}=27*

Solución: se puede expresar al segundo miembro como una potencia de 3, pues *3^3=27.* Sustituyendo en la ecuación:

*3^{2x+1}=27*

*3^{2x+1}=3^3*

Ahora, igualando los exponentes:

*2x+1=3*

*2x=3-1*

*2x=2*

*x=1*

Ejemplo 4

Resolver *-40+7^{3x-1}=9*

Solución: comenzamos dejando en un solo miembro a la potencia con incógnita

*-40+7^{3x-1}=9*

*7^{3x-1}=9+40*

*7^{3x-1}=49*

Ahora, como *49=7^2,* sustituimos esta expresión en la ecuación:

*7^{3x-1}=7^2*

Por igualdad de potencias de la misma base:

*3x-1=2*

*3x=2+1*

*3x=3*

*x=1*

Ejemplo 5

Resolver la ecuación *4^x=2^{x+2}*

Solución: se tiene que los dos miembros de la ecuación tienen incógnitas. Podemos expresar a 4 como *2^2,* entonces se tendrá la misma base.

*4^x=2^{x+2}*

*(2^2)^x=2^{x+2}*

Por potencia de otra potencia, los exponentes se multiplican:

*2^{2x}=2^{x+2}*

Ahora podemos aplicar lo mismo que en los casos anteriores:

*2x=x+2*

*2x-x=2*

*x=2*

Ejemplo 6

Resolver *\sqrt[x]{25}=5*

Solución: en esta ecuación, la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, sin embargo, la raíz puede escribirse como un exponente fraccionario:

*\sqrt[x]{25}=5*

*25^{1/x}=5*

Como *25=5^2,* reemplazamos esto en la ecuación y usamos propiedad de potencia de otra potencia:

*(5^2)^{1/x}=5*

*5^{2/x}=5*

Ahora igualamos lo exponentes, como el segundo miembro no se ve nada, su exponente es 1:

*\dfrac{2}{x}=1*

*x=2*

Ejemplo 7

Resolver *\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+3}=\left(\dfrac{1}{8}\right)*

Solución: en esta ecuación las bases son fraccionarias. Sabemos que *2^3=8,* por tanto podemos escribir el segundo miembro como *\dfrac{1}{2^3}.* Como *1^3=1,* llegamos a la expresión equivalente *\dfrac{1^3}{2^3}.* Dado que numerador y denominador tienen el mismo exponente, este puede escribirse como un exponente de toda la fracción, entonces, expresamos el segundo miembro así: *\left(\dfrac{1}{2}\right)^3.* Reemplazando en la ecuación:

*\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+3}=\left(\dfrac{1}{8}\right)*

*\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3*

Ahora podemos igualar los exponentes y despejar la incógnita.

*x+3=3*

*x=3-3*

*x=0*

Ejemplo 8

Resolver *7^{2x}=\dfrac{1}{49}*

Solución: este caso es similar al anterior, buscaremos expresar a la fracción del segundo miembro como una potencia de 7. Nótese que *7^2=49,* entonces el segundo miembro es *\dfrac{1}{7^2}.* Usando la propiedad de los exponentes negativos, podemos escribir *7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}.* Reemplazando en la ecuación:

*7^{2x}=\dfrac{1}{49}*

*7^{2x}=7^{-2}*

Igualando los exponentes:

*2x=-2*

*x=-1*

Ejemplo 9

Resolver la ecuación exponencial *3^x\cdot (3^2)^x=9^3*

Solución: podemos usar la propiedad de potencia de otra potencia y producto de potencias de igual base para reescribir el primer miembro. En el segundo miembro, podemos reemplazar *9=3^2.*

*3^x\cdot (3^2)^x=9^3*

*3^x\cdot 3^{2x}=(3^2)^3*

*3^{x+2x}=3^{2\cdot 3}*

*3^{3x}=3^6*

Ahora podemos igualar los exponentes y despejar la incógnita:

*3x=6*

*x=\dfrac{6}{3}*

*x=2*

Ejemplo 10

Resolver la ecuación *100\cdot 10^x=\sqrt[x]{1000^5}*

Solución: en este caso se presenta una raíz en el segundo miembro que podemos escribir como una potencia fraccionaria. Además, es posible escribir a todos términos como potencias de 10 y aplicar propiedades.

*100\cdot 10^x=\sqrt[x]{1000^5}*

*10^2\cdot 10^x=\sqrt[x]{(10^3)^5}*

*10^{2+x}=\sqrt[x]{10^{15}}*

*10^{2+x}=10^{15/x}*

Ahora es posible igualar los exponentes:

*2+x=\dfrac{15}{x}*

*x(2+x)=15*

*2x+x^2=15*

*x^2+2x-15=0*

Usando la fórmula resolvente para hallar las soluciones de esta cuadrática, se obtiene que *x=3~* o *~x=-5.* Comprobando las soluciones, ambas son válidas.

Limitaciones de este método: la igualación de bases solo puede aplicarse cuando los dos miembros de la ecuación pueden expresarse como potencias de la misma base. Por ejemplo, en ecuaciones como *2^x=5* o *2^{x-3}=3^{x+1},* la igualación de bases no puede utilizarse. 

Cambio de variables

Ejemplo 1

Resolver la ecuación *3^{x+2}+9^{x+1}=810*

Solución: en la ecuación aparecen dos términos con incógnitas en exponentes y tienen diferentes bases, sin embargo, usando propiedades se pueden reescribir todas como potencias de base 3. Buscamos que en los dos términos aparezca *3^x.*

*3^{x+2}+9^{x+1}=810*

*3^x\cdot 3^2+9^x\cdot 9^1=810*

*9\cdot 3^x+9\cdot (3^2)^x=810*

*9\cdot 3^x+9\cdot (3^x)^2=810*

Ahora podemos cambiar de variable haciendo *y=3^x* y reemplazar en la ecuación:

*9\cdot y+9\cdot y^2=810*

*9\cdot y^2+9\cdot y-810=0*

Dividiendo ambos miembros entre 9:

*y^2+y-90=0*

Ahora resolvemos la ecuación para y. Aplicando la fórmula resolvente de ecuaciones cuadráticas se llega a que *y=9~* o *~y=-10.* Recordando que *y=3^x,* la expresión *3^x=-10* no tiene solución, por tanto, tomamos a *y=9.*

Deshaciendo el cambio de variable, como *3^x=y→3^x=9,* resolviendo por igualación de bases, se obtiene que *x=2.*

Ejemplo 2

Resolver *9^x+2\cdot 3^{x+1}=27*

Solución: este caso es similar al anterior, buscamos que la incógnita aparezca con una base 3 y utilizamos propiedades para reescribir la expresión. 

*9^x+2\cdot 3^{x+1}=27*

*(3^2)^x+2\cdot 3^x\cdot 3^1=27*

*(3^x)^2+6\cdot 3^x=27*

Cambiando de variable: *y=3^x*

*y^2+6y=27*

*y^2+6y-27=0*

Resolviendo esta ecuación cuadrática se llega a *y=-9~~* o *~~y=3.* Como la solución negativa no tiene sentido en los números reales, consideramos *y=3.*

Como *3^x=y,* entonces *3^x=3* de donde se extrae que *x=1.*

Ejemplo 3

Resolver *3^{x-1}+3^{x+1}-3^x=63*

Solución: aplicando propiedades de los exponentes podemos expresar de forma conveniente el primer miembro.

*3^{x-1}+3^{x+1}-3^x=63*

*3^x\cdot 3^{-1}+3^x\cdot 3^1-3^x=63*

Por propiedades, sabemos que *3^{-1}=\dfrac{1}{3}.* Haciendo *y=3^x* y reemplazando:

*\dfrac{1}{3}y+3y-y=63*

Resolviendo para y:

*\dfrac{1}{3}y+3y-y=63*

*\dfrac{7}{3}y=63*

*y=27*

Deshaciendo el cambio de variables, como *3^x=y,* entonces *3^x=27,* y por igualación de bases extraemos que *x=3.*

Ejemplo 4

Resolver *e^{2x}-2e^{x+1}+e^2=0 *

Solución: este ejercicio es similar al anterior, solo que la base es el número irracional e. Aplicamos propiedades para reescribir el primer miembro de forma conveniente.

*e^{2x}-2e^{x+1}+e^2=0*

*(e^x)^2-2e^x\cdot e^1+e^2=0*

*(e^x)^2-2e\cdot e^x+e^2=0*

Haciendo *y=e^x:*

*y^2-2e\cdot y+e^2=0*

El primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto que puede factorizarse como el cuadrado de un binomio:

*(y-e)^2=y^2-2e\cdot y+e^2*

Reemplazando en la ecuación y despejando:

*(y-e)^2=0*

*y-e=0*

*y=e*

Deshaciendo el cambio de variables: *y=e^x→e^x=e,* de donde extraemos que *x=1.*

Ejemplo 5

Resuelva la ecuación exponencial *2^{x+2}+2^{x+3}+2^{x+4}+2^{x+5}+2^{x+6}=31*

Solución: aplicando propiedades de los exponentes, reescribimos el primer miembro de forma conveniente.

*2^{x+2}+2^{x+3}+2^{x+4}+2^{x+5}+2^{x+6}=31*

*2^x\cdot 2^2+2^x\cdot 2^3+2^x\cdot 2^4+2^x\cdot 2^5+2^x\cdot 2^6=31*

*4\cdot 2^x+8\cdot 2^x+16\cdot 2^x+32\cdot 2^x+64\cdot 2^x=31*

Haciendo *y=2^x* y resolviendo la ecuación:

*4\cdot y+8\cdot y+16\cdot y+32\cdot y+64\cdot y=31*

*124y=31*

*y=\dfrac{31}{124}*

*y=\dfrac{1}{4}*

Como *y=2^x,* entonces *2^x=\dfrac{1}{4}.* Haciendo igualación de bases se tiene que *x=-2.*

Ejemplo 6

Resolver *5^{x-1}=2+\dfrac{3}{5^{x-2}}*

Solución: comenzamos moviendo a un miembro los términos con incógnitas y luego reescribiendo de forma conveniente.

*5^{x-1}=2+\dfrac{3}{5^{x-2}}*

*5^{x-1}-\dfrac{3}{5^{x-2}}=2*

*5^x\cdot 5^{-1}-\dfrac{3}{5^x\cdot 5^{-2}}=2*

*\dfrac{1}{5}~5^x-\dfrac{3\cdot 5^2}{5^x}=2*

*\dfrac{1}{5}~5^x-\dfrac{75}{5^x}=2*

Haciendo un cambio de variables: *y=5^x.*

*\dfrac{1}{5}~ y-\dfrac{75}{y}=2*

Sumando las expresiones fraccionarias:

*\dfrac{y^2-375}{5y}=2*

*y^2-375=2(5y)*

*y^2-375=10y*

*y^2-10y-375=0*

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que *y=-15~* o *~y=25,* como la solución negativa carece de sentido, resulta que *y=25.*

Deshaciendo el cambio de variables: *y=5^x→5^x=25,* por igualación de bases se obtiene que *x=2.*

Usando logaritmos

Aunque es conveniente usar logaritmos adecuados (por ejemplo, si la base es 2, aplicar logaritmos con esa misma base), en realidad cualquier logaritmo es válido. La mayoría de calculadoras científicas permiten calcular logaritmos decimales (de base 10 y simbolizados log) y logaritmos naturales (de base e y simbolizados ln). Usar cualquiera de ellos dará el mismo resultado.

Propiedades de los logaritmos:

• Logaritmo de 1: *\log_b(1)=0*
• Logaritmo de la base: *\log_b(b)=1*
• Logaritmo como exponente: *b^{\log_b{a}}=a*
• Logaritmo de una potencia de la base: *\log_b(b^n)=n*
• Logaritmo de un producto: *\log_b (xy)=\log_b(x)+\log_b(y)*
• Logaritmo de un cociente: *\log_b (x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)*
• Logaritmo de una potencia:  *\log_b (a^n)=n\cdot \log_b(a)*
• Cambio de base: *\log_b(a)=\dfrac{\log_k(a)}{\log_k(b)}*

La propiedad más usada para resolver ecuaciones exponenciales es la del logaritmo de una potencia, ya que si se tiene una ecuación de la forma *a^x=b,* aplicando logaritmos a ambos lados se tiene que *x\cdot \log (a)=\log(b)* de donde *x=\dfrac{\log(b)}{\log (a)}.*

Ejemplo 1

Resolver *2^x=5*

Solución: como es imposible escribir 5 como una potencia racional de 2, debemos usar logaritmos. Aplicando logaritmos decimales a ambos lados de la ecuación:

*2^x=5*

*\log (2^x)=\log(5)*

Usando la propiedad del logaritmo de una potencia, podemos escribir a la incógnita multiplicando al logaritmo de la base y luego despejar la incógnita. Usaremos una calculadora para aproximar el resultado.

*x\cdot \log (2)=\log(5)*

*x=\dfrac{\log(5)}{\log (2)}*

*x≈2,32*

Cómo calcular logaritmos con y sin calculadora

Ejemplo 2

Resolver la ecuación *e^{2x}=7*

Solución: este caso es similar al anterior, pero en lugar de usar logaritmos decimales, usaremos logaritmos naturales porque su base es e. 

*e^{2x}=7*

*\ln (e^{2x})=\ln(7)*

*2x\cdot \ln(e)=\ln(7)*

*2x\cdot 1=\ln(7)*

*x=\dfrac{\ln(7)}{2}*

*x≈0,97*

Nota: usar logaritmos decimales o de otro tipo daría el mismo resultado, solo que no podría simplificarse *\ln(e)=1.*

Ejemplo 3

Resuelva la ecuación exponencial *9^{x+2}=50*

Solución: aplicamos logaritmos a ambos lados de la expresión y despejamos la incógnita como en una ecuación algebraica común.

*9^{x+2}=50*

*\log (9^{x+2})=\log(50)*

*(x+2) \log (9)=\log(50)*

*x+2=\dfrac{\log(50)}{\log(9)}*

*x=\dfrac{\log(50)}{\log(9)}-2*

*x≈-0,22*

Ejemplo 4

Resolver *2^{x+1}+4=80*

Solución: aislamos en un solo miembro a la expresión con incógnita y aplicamos logaritmos.

*2^{x+1}+4=80*

*2^{x+1}=80-4*

*2^{x+1}=76*

*\log (2^{x+1})=\log(76)*

*(x+1) \log (2)=\log(76)*

*x+1=\dfrac{\log(76)}{\log(2)}*

*x=\dfrac{\log(76)}{\log(2)}-1*

*x≈5,25*

Ejemplo 5

Resolver la ecuación *e^{x-9}=\sqrt{73}*

Solución: aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación se puede despejar la incógnita.

*e^{x-9}=\sqrt{73}*

*\ln (e^{x-9})=\ln \sqrt{73}*

*(x-9)\ln (e)=\ln \sqrt{73}*

*x-9=\ln \sqrt{73}*

*x=\ln \sqrt{73}+9*

*x≈11,15*

Ejemplo 6

Resolver la ecuación *2^{x-3}=3^{x+1}*

Solución: en este caso se tienen potencias con incógnitas en los dos miembros, aplicamos logaritmos para despejarla.

*2^{x-3}=3^{x+1}*

*\log (2^{x-3})=\log (3^{x+1})*

*(x-3)\log (2)=(x+1)\log (3)*

Aplicando propiedad distributiva:

*x\log (2)-3\log (2)=x\log (3)+\log (3)*

*x\log (2)-x\log (3)=\log (3)+3\log (2)*

*x(\log (2)-\log (3))=\log (3)+\log (2^3)*

Por propiedades de los logaritmos:

*x(\log (2/3))=\log (3\cdot 2^3)*

*x\log (2/3)=\log (24)*

*x=\dfrac{\log (24)}{\log (2/3)}*

*x≈-7,84*

Ejemplo 7

Resolver *2^x-10\cdot 2^x+16=0*

Solución: en esta ecuación podemos aplicar primero un cambio de variables. Haciendo *y=2^x* y resolviendo la ecuación:

*2^x-10\cdot 2^x+16=0*

*y-10y+16=0*

*-9y=-16*

*y=\dfrac{16}{9}*

Deshaciendo el cambio de variable: *y=2^x→2^x=\dfrac{16}{9}.* Ahora bien, no es posible expresar 16/9 como una potencia racional de 2. En este caso es indispensable usar logaritmos. Aplicando logaritmos decimales a ambos lados y usando propiedades:

*\log (2^x)=\log\left(\dfrac{16}{9}\right)*

*x\cdot \log(2)=\log\left(\dfrac{16}{9}\right)*

*x=\dfrac{\log (16/9)}{\log(2)}*

*x≈0,83*

Ejercicio 8

Resolver la ecuación exponencial *4^x-2\cdot 2^{x-1}=6*

Solución: podemos aplicar un cambio de variables luego de expresar a las potencias con incógnitas de la misma forma.

*4^x-2\cdot 2^{x-1}=6*

*(2^2)^x-2\cdot 2^x\cdot 2^{-1}=6*

*(2^x)^2-2^x=6*

Haciendo *y=2^x:*

*y^2-y=6*

*y^2-y-6=0*

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que *y=-2~* o *~y=3.* Como la solución negativa no tiene sentido, tomamos *y=3. *

Como *y=2^x→2^x=3,* aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación:

*\log (2^x)=\log(3)*

*x\log (2)=\log(3)*

*x=\dfrac{\log(3)}{\log (2)}*

*x≈1,58*

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