Potenciación de fracciones

En este artículo explicamos qué es la potenciación de fracciones y cómo resolver fracciones elevadas a exponentes positivos o negativos con ejemplos completos paso a paso. También veremos las propiedades de la potenciación y cómo aplicarlas a problemas.

Qué es la potenciación de fracciones

La potenciación de fracciones es una operación que consiste en multiplicar por sí misma una fracción, llamada base, tantas veces como lo indique un número llamado exponente.

Potencias de fracciones

La fracción *\dfrac{a}{b}* es llamada base, el número entero *n* es el exponente.

Entonces, podemos entender a la potenciación como una multiplicación abreviada, pero sabemos que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, entonces:

Algoritmo de la potenciación de fracciones

El resultado de la multiplicación tiene como numerador al numerador de la fracción original multiplicado por sí mismo *n* veces, o sea, *a^n.* El denominador es el denominador de la fracción original multiplicado por sí mismo *n* veces, o sea, *b^n.* Con esto hemos encontrado un algoritmo para elevar una fracción a un exponente: elevar el numerador y denominador a dicho exponente.

Nota: al indicar que una fracción tiene un exponente, es importante el uso de paréntesis en la base, pues de otro modo el exponente solo se aplicará al numerador (o denominador). O sea, escribir *\left(\dfrac{a}{b}\right)^n* no es lo mismo que *\dfrac{a}{b}^n* ni *\dfrac{a}{b^n}.*

Cómo resolver las potencias de fracciones

Para elevar una fracción a un exponente, se elevan el numerador y el denominador a dicho exponente.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}*

Un caso particular es cuando el exponente vale 2. Para elevar una fracción al cuadrado, se elevan el numerador y el denominador al cuadrado.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}*

Para elevar una fracción al cubo, se elevan el numerador y el denominador al cubo.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a^3}{b^3}*

Siguiendo un razonamiento inverso, cuando tenemos fracciones con exponentes en numerador y denominador, y esos exponentes son iguales, podemos escribir la expresión de forma equivalente elevando a ese exponente toda la fracción, la cual quedará encerrada entre paréntesis:

*\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n*

Fracciones con exponente positivo

La potenciación de fracciones sigue las mismas reglas que los otros números:

  • Si la base es positiva, el resultado es positivo.
  • Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo.
  • Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.

Ejemplos:

*\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{3^2}{4^2}=\dfrac{9}{16}*

*\left(\dfrac{5}{9}\right)^3=\dfrac{5^3}{9^3}=\dfrac{125}{729}*

*\left(-\dfrac{4}{15}\right)^{2}=+\dfrac{4^2}{15^2}=\dfrac{16}{225}*

*\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4}=\dfrac{5^4}{6^4}=\dfrac{625}{1296}*

*\left(-\dfrac{4}{3}\right)^{5}=-\dfrac{4^5}{3^5}=-\dfrac{1024}{243}*

Puede resultar conveniente utilizar una propiedad de las fracciones que nos dice que es igual colocar el signo negativo en el numerador, el denominador o delante de la fracción. De este modo, por ejemplo, la fracción *-\dfrac{2}{9}* es igual a *\dfrac{-2}{9}* y *\dfrac{2}{-9}.* Aplicando esto, podemos mover el signo al numerador o denominador y resulta más evidente si la potencia saldrá positiva o negativa.

A continuación se muestran algunos ejemplos específicos de potenciación de fracciones negativas:

*\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2=\dfrac{(-2)^2}{9^2}=\dfrac{4}{81}*

*\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{(-1)^5}{2^5}=-\dfrac{1}{32}*

*\left(-\dfrac{6}{8}\right)^{3}=\dfrac{6^3}{(-8)^3}=-\dfrac{216}{512}*

*\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{(-3)^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}*

Fracciones con exponente negativo 

Para elevar una fracción a un exponente negativo, se invierte la fracción base y se eleva al exponente cambiado de signo. 

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}=\dfrac{b^n}{a^n}*

donde *-n* es un número negativo.

Ejemplos:

*\left(\dfrac{7}{8}\right)^{-3}=\left(\dfrac{8}{7}\right)^3=\dfrac{8^3}{7^3}=\dfrac{512}{343}*

*\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{5^2}{2^2}=\dfrac{25}{4}*

*\left(-\dfrac{3}{8}\right)^{-2}=\left(-\dfrac{8}{3}\right)^{2}=\dfrac{8^2}{(-3)^2}=\dfrac{64}{9}*

*\left(\dfrac{7}{2}\right)^{-4}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^4=\dfrac{2^4}{7^4}=\dfrac{16}{2401}*

*\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-3}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3=-\dfrac{2^3}{3^3}=-\dfrac{8}{27}*

Elevar una fracción a -1 es igual a la fracción inversa.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{1}=\dfrac{b}{a}*

Ejemplos:

*\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{3}*

*\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{1}=3*

*\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{-1}=-\dfrac{7}{3}*

*\left(\dfrac{8}{4}\right)^{-1}=\dfrac{4}{8}*

Fracciones con exponente cero

Toda fracción, distinta de cero, elevada a la cero es igual a 1:

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^{0}=1*

Ejemplos:

*\left(\dfrac{4}{19}\right)^0=1*

*\left(-\dfrac{20}{7}\right)^0=1*

*\left(\dfrac{7}{5}\right)^0=1*

*\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{0}=1*

Fracción elevada a otra fracción

Los exponentes fraccionarios son otra forma de escribir a las raíces. En el caso de que sean el exponente de una fracción, habrá que extraer la raíz correspondiente del numerador y el denominador.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m/n}=\sqrt[n]{\left(\dfrac{a}{b}\right)^m}=\dfrac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}}*

Ejemplos:

*\left(\dfrac{1}{9}\right)^{1/2}=\sqrt[2]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}*

*\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2/3}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\dfrac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{25}}*

Propiedades de la potenciación

Las potencias de números racionales cumplen las mismas propiedades que con otros conjuntos numéricos.

Producto de potencias de igual base: al multiplicar dos potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Por ejemplo:

*\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^6=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3+6}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^9*

Cociente de potencias de igual base: al dividir dos potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes. Por ejemplo:

*\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^5}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5-3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}*

Potencia de una potencia: al elevar una potencia a un exponente, se conserva la base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo:

*\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\right]^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3\cdot 2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^6*

Potencia de un producto: al elevar un producto a un exponente, se eleva cada factor a dicho exponente. Por ejemplo:

*\left(\dfrac{5}{7}\cdot \dfrac{2}{9}\right)^2=\left(\dfrac{5}{7}\right)^2\cdot \left(\dfrac{2}{9}\right)^2*

Potencia de un cociente: al elevar un cociente a un exponente, se eleva el dividendo y el divisor a dicho exponente. Por ejemplo:

*\left(\dfrac{7}{3}:\dfrac{1}{11}\right)^3=\left(\dfrac{7}{3}\right)^2:\left(\dfrac{1}{11}\right)^2*

Ejercicios para practicar

Ejercicio 1: calcular las siguientes potencias.

  1. *\left(-\dfrac{5}{9}\right)^{2}*
  2. *\left(-\dfrac{4}{7}\right)^{3}*
  3. *\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{6}*
  4. *6^{-2}*
  5. *-\left(\dfrac{3}{8}\right)^{-2}*
  6. *\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3}*
  7. *\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{-4}*

Soluciones:

  1. *\left(-\dfrac{5}{9}\right)^{2}=\dfrac{25}{81}*
  2. *\left(-\dfrac{4}{7}\right)^{3}=-\dfrac{64}{343}*
  3. *\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{6}=\dfrac{1}{64}*
  4. *6^{-2}=\dfrac{1}{6^2}=\dfrac{1}{36}*
  5. *-\left(\dfrac{3}{8}\right)^{-2}=-\left(\dfrac{8}{3}\right)^2=-\dfrac{64}{9}*
  6. *\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3}=4^3=64*
  7. *\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{-4}=\left(-\dfrac{6}{5}\right)^{4}=\dfrac{1296}{625}*

Ejercicio 2: determinar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas y justificar por qué.

  1. *\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}=\dfrac{2}{5}*
  2. *\dfrac{3^{-1}}{2}=\dfrac{2}{3}*
  3. *\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{-2}=100*
  4. *(-3)^{-1}=-3*
  5. *\left(-\dfrac{4}{3}\right)^{-1}=-\dfrac{4}{3}*
  6. *-\dfrac{1}{6^{-2}}=-36*

Soluciones:

  1. Falso. Elevar una fracción a -1 invierte la fracción. El cálculo correcto es *\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{2}*
  2. Falso. El exponente solo aplica al numerador. El cálculo correcto es *\dfrac{3^{-1}}{2}=\dfrac{1}{6}*
  3. Verdadero.
  4. Falso. El exponente -1 invierte el número. El cálculo correcto es *(-3)^{-1}=-\dfrac{1}{3}*
  5. Falso. El exponente -1 invierte la fracción. El resultado correcto es *\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-1}=-\dfrac{3}{4}*
  6. Verdadero. Aplicando la ley de extremos y medios: *-\dfrac{1}{6^{-2}}=-\dfrac{1}{\frac{1}{6^2}}=-6^2=-36*

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa cuando una fracción tiene potencia?

Cuando una fracción tiene un exponente, hay que multiplicarla por sí misma tantas veces como indique ese exponente.

¿Cómo se resuelven las fracciones elevadas al cuadrado?

Para elevar una fracción al cuadrado, se elevan el numerador y el denominador al cuadrado. Dicho de otro modo: se multiplica la fracción por sí misma una vez.

¿Cómo se resuelve una fracción elevada a un exponente negativo?

Una fracción elevada a un exponente negativo se resuelve elevando la fracción inversa al exponente cambiado de signo.

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Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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