Potenciación de fracciones

En este artículo explicamos qué es la potenciación de fracciones y cómo resolver fracciones elevadas a exponentes positivos o negativos con ejemplos completos paso a paso. También veremos las propiedades de la potenciación y cómo aplicarlas a problemas.

¿Qué es la potenciación de fracciones?

Entonces, podemos entender a la potenciación como una multiplicación abreviada, pero sabemos que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, entonces:

El resultado de la multiplicación tiene como numerador al numerador de la fracción original multiplicado por sí mismo *n* veces, o sea, *a^n.* El denominador es el denominador de la fracción original multiplicado por sí mismo *n* veces, o sea, *b^n.* Con esto hemos encontrado un algoritmo para elevar una fracción a un exponente: elevar el numerador y denominador a dicho exponente.

Nota: al indicar que una fracción tiene un exponente, es importante el uso de paréntesis en la base, pues de otro modo el exponente solo se aplicará al numerador (o denominador). O sea, escribir *\left(\dfrac{a}{b}\right)^n* no es lo mismo que *\dfrac{a}{b}^n* ni *\dfrac{a}{b^n}.*

Cómo resolver las potencias de fracciones

Un caso particular es cuando el exponente vale 2. Para elevar una fracción al cuadrado, se elevan el numerador y el denominador al cuadrado.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}*

Para elevar una fracción al cubo, se elevan el numerador y el denominador al cubo.

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a^3}{b^3}*

Siguiendo un razonamiento inverso, cuando tenemos fracciones con exponentes en numerador y denominador, y esos exponentes son iguales, podemos escribir la expresión de forma equivalente elevando a ese exponente toda la fracción, la cual quedará encerrada entre paréntesis:

*\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n*

Fracciones con exponente positivo

La potenciación de fracciones sigue las mismas reglas que los otros números:

• Si la base es positiva, el resultado es positivo.
• Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo.
• Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.

Ejemplos:

*\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{3^2}{4^2}=\dfrac{9}{16}*

*\left(\dfrac{5}{9}\right)^3=\dfrac{5^3}{9^3}=\dfrac{125}{729}*

*\left(-\dfrac{4}{15}\right)^{2}=+\dfrac{4^2}{15^2}=\dfrac{16}{225}*

*\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4}=\dfrac{5^4}{6^4}=\dfrac{625}{1296}*

*\left(-\dfrac{4}{3}\right)^{5}=-\dfrac{4^5}{3^5}=-\dfrac{1024}{243}*

Puede resultar conveniente utilizar una propiedad de las fracciones que nos dice que es igual colocar el signo negativo en el numerador, el denominador o delante de la fracción. De este modo, por ejemplo, la fracción *-\dfrac{2}{9}* es igual a *\dfrac{-2}{9}* y *\dfrac{2}{-9}.* Aplicando esto, podemos mover el signo al numerador o denominador y resulta más evidente si la potencia saldrá positiva o negativa.

A continuación se muestran algunos ejemplos específicos de potenciación de fracciones negativas:

*\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2=\dfrac{(-2)^2}{9^2}=\dfrac{4}{81}*

*\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{(-1)^5}{2^5}=-\dfrac{1}{32}*

*\left(-\dfrac{6}{8}\right)^{3}=\dfrac{6^3}{(-8)^3}=-\dfrac{216}{512}*

*\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{(-3)^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}*

Fracciones con exponente negativo 

Ejemplos:

*\left(\dfrac{7}{8}\right)^{-3}=\left(\dfrac{8}{7}\right)^3=\dfrac{8^3}{7^3}=\dfrac{512}{343}*

*\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{5^2}{2^2}=\dfrac{25}{4}*

*\left(-\dfrac{3}{8}\right)^{-2}=\left(-\dfrac{8}{3}\right)^{2}=\dfrac{8^2}{(-3)^2}=\dfrac{64}{9}*

*\left(\dfrac{7}{2}\right)^{-4}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^4=\dfrac{2^4}{7^4}=\dfrac{16}{2401}*

*\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-3}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3=-\dfrac{2^3}{3^3}=-\dfrac{8}{27}*

Ejemplos:

*\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{3}*

*\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{1}=3*

*\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{-1}=-\dfrac{7}{3}*

*\left(\dfrac{8}{4}\right)^{-1}=\dfrac{4}{8}*

Fracciones con exponente cero

Ejemplos:

*\left(\dfrac{4}{19}\right)^0=1*

*\left(-\dfrac{20}{7}\right)^0=1*

*\left(\dfrac{7}{5}\right)^0=1*

*\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{0}=1*

Fracción elevada a otra fracción

Ejemplos:

*\left(\dfrac{1}{9}\right)^{1/2}=\sqrt[2]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}*

*\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2/3}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\dfrac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{25}}*

Propiedades de la potenciación

Las potencias de números racionales cumplen las mismas propiedades que con otros conjuntos numéricos.

Producto de potencias de igual base: al multiplicar dos potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Por ejemplo:

*\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^6=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3+6}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^9*

Cociente de potencias de igual base: al dividir dos potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes. Por ejemplo:

*\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^5}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5-3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}*

Potencia de una potencia: al elevar una potencia a un exponente, se conserva la base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo:

*\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\right]^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3\cdot 2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^6*

Potencia de un producto: al elevar un producto a un exponente, se eleva cada factor a dicho exponente. Por ejemplo:

*\left(\dfrac{5}{7}\cdot \dfrac{2}{9}\right)^2=\left(\dfrac{5}{7}\right)^2\cdot \left(\dfrac{2}{9}\right)^2*

Potencia de un cociente: al elevar un cociente a un exponente, se eleva el dividendo y el divisor a dicho exponente. Por ejemplo:

*\left(\dfrac{7}{3}:\dfrac{1}{11}\right)^3=\left(\dfrac{7}{3}\right)^2:\left(\dfrac{1}{11}\right)^2*

Ejercicios para practicar

Bibliografía

• Becerril, M., García, P., Grimaldi, V. y Ponce, H. (2017). Matemática en secundaria. Santillana.
• Entre Números I. (2017). Santillana.
• Matemática 1 ESO. (2011). Santillana Educación.
• Matemática 2 ESO. (2012). Santillana Educación.
• Matemática 3 ESO. (2011). Santillana Educación.
• Wilches, L., Costa, R., Rincón, M., Acosta, M., Roa, J., Sulvara, J. y Jaime, D. (2013). Matemática 6. Editorial Santillana.

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