Tablas de verdad

En este artículo explicamos qué son y cómo resolver tablas de verdad para dos, tres, cuatro o cualquier número de proposiciones simples con ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué son las tablas de verdad lógica?

Las tablas de verdad son una herramienta de la lógica proposicional que permite conocer los valores de verdad de proposiciones compuestas teniendo en cuenta las posibles interpretaciones de las proposiciones simples que la conforman. En otras palabras, nos ayuda a determinar si una proposición compuesta es verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.

Recordemos que las proposiciones simples son aquellas que no pueden ser descompuestas en otras, y las proposiciones compuestas son aquellas que se forman a partir de proposiciones simples mediante conectivos lógicos.

Las tablas de la verdad se utilizan en una variedad de campos, entre ellos la lógica, la informática y la filosofía. En lógica, además de lo que mencionamos, se utilizan para estudiar la validez de los argumentos, donde se establece que un argumento es válido si la conclusión es verdadera cuando las premisas son verdaderas. También se utilizan para las para estudiar las operaciones lógicas.

¿Cómo hacer una tabla de verdad?

La idea general es construir una tabla con tantas filas como posibles combinaciones de valores de verdad existan para las proposiciones simples. A estas combinaciones también se les llama interpretaciones. En cada fila, se asigna un valor de verdad a cada proposición simple, y se calcula el valor de verdad de la proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Una proposición puede ser verdadera (V) o falsa (F). Entonces, si tenemos una proposición simple, tendremos dos posibles combinaciones (V, F). Al agregar otra proposición, se duplicarán la cantidad de combinaciones, o sea, tendremos cuatro (VV, VF, FV, FF). Al agregar una nueva proposición, se volverán a duplicar las posibles combinaciones, alcanzando ocho.

Cada proposición simple añadida duplicará la cantidad de combinaciones posibles. Entonces, si tenemos n proposiciones simples, el número total de combinaciones posibles será 2⋅2⋅2⋅2... (n veces), o sea, 2ⁿ.

Como en la tabla de verdad habrá una fila por cada posible interpretación, el número de filas totales será igual a 2ⁿ más la cabecera, donde n es el número de proposiciones simples o variables.

Pasos para la construcción

1. Calcular el número de filas que tendrá la tabla. Este es igual a 2ⁿ más la cabecera, donde n es el número de proposiciones simples.
2. Calcular el número de columnas que tendrá la tabla. Este es igual a el número de proposiciones simples más la cantidad de conectores lógicos que aparecen en la expresión, contando cada repetición de ellos.
3. Desglosar la proposición compuesta en la cabecera teniendo en cuenta la jerarquía de los conectores. En las primeras columnas irán las proposiciones simples y en la última irá la proposición original.
4. Escribir en las filas todas las posibles interpretaciones de las proposiciones simples. Por ejemplo, si se trata de dos proposiciones, existen cuatro interpretaciones posibles, lo veremos más adelante con los ejemplos.
5. Completar el resto de la tabla teniendo en cuenta las tablas de verdad de los conectores lógicos. La última columna, la de la proposición original que analizamos, nos dirá su valor de verdad de acuerdo a las posibles interpretaciones. 

Tautologías, contingencias y contradicciones

Al completar una tabla de verdad, obtendremos el valor de verdad de la proposición compuesta por cada posible interpretación de las proposiciones simples.

• Si ocurre que, para todas las interpretaciones, la proposición compuesta es verdadera, se dice que esta es una tautología. 
• Si ocurre que la proposición compuesta es verdadera para algunas interpretaciones y falsa para otras, se dice que es una contingencia.
• Si ocurre que la proposición compuesta es falsa para todas las interpretaciones, se dice que es una contradicción.

Tablas de verdad con 2 variables

La tabla de verdad con dos proposiciones tendrá 2²=4 filas más la cabecera.  

Ejemplo 1: p ∧ q → p

Podemos identificar dos proposiciones simples p, q y dos compuestas, una con conjunción ∧ y otra con implicación →. La jerarquía nos dice que la proposición completa debe interpretarse como (p ∧ q) → p. Procedemos con los pasos para crear la tabla.

En las primeras columnas ubicamos las proposiciones simples. La primera columna para valores de verdad se divide en dos y la primera mitad se completa con verdaderos y la otra con falsos, luego se repite un proceso parecido con la segunda columna, pero asegurándose de que no se repitan combinaciones de valores.

p	q	...
V	V	...
V	F	...
F	V	...
F	F	...

Si observamos, vemos que la tabla nos dice que p y q pueden ser verdaderos, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, o ambos falsos. Esas son todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples.

En las siguientes columnas se ubican las proposiciones compuestas, yendo desde las de menor jerarquía hasta las de mayor jerarquía. Primero irá p ∧ q. Los verdaderos o falsos se colocarán teniendo en cuenta las tablas de verdad de los conectores lógicos, así:

p	q	p ∧ q	...
V	V	V	...
V	F	F	...
F	V	F	...
F	F	F	...

En la primera fila (sin contar la cabecera) vemos que p ∧ q es verdadero, esto teniendo en cuenta que para esa fila tanto p como q son verdaderos. En la segunda fila, p ∧ q es falso, esto porque p es verdadero y q es falso. De la misma forma se entienden las demás filas.

Procedemos a agregar la próxima proposición en orden jerárquico, que en este caso ya es la proposición compuesta que buscamos analizar, (p ∧ q) → p. Para determinar sus valores de verdad solo hará falta fijarse en la tercera y primera columna, teniendo en cuenta que el condicional es falso solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y es verdadero en los demás casos.

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

En la primera fila, vemos que (p ∧ q) → p es verdadero, esto es porque p ∧ q es verdadero y p también lo es. En la segunda fila, (p ∧ q) → p es verdadero porque p ∧ q es falso y eso es suficiente para que el condicional sea verdadero. De la misma forma con las demás filas.

Analizando notamos que la proposición original es verdadera para cualquier combinación de valores de verdad. Concluimos entonces que se trata de una tautología.

Recomendación: al elaborar una tabla de verdad es conveniente concentrarse en cada fila de forma individual y mirar solo las columnas que sean necesarias para determinar el valor de verdad que necesitamos saber. De este modo se evitarán confusiones con otras filas o columnas.

Ejemplo 2: ¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q

Teniendo en cuenta las jerarquías, la proposición debe interpretarse como (¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q). Con esto en mente, hacemos la tabla siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, y debería quedar así:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q
V	V	F	F	F	V	F
V	F	F	V	F	V	F
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	F	V	F

Como se puede ver, crear una columna por cada proposición compuesta facilita mucho el trabajo, ya que solo nos queda conocer las propiedades de las conectivas para determinar el valor de verdad de la proposición dada en el ejercicio. En este caso, la proposición arroja valores verdaderos y falsos, tratándose de una contingencia.

Ejemplo 3: ¬(p ∧ q → p)

Construimos la tabla de modo similar a los casos anteriores y debería quedarnos de la siguiente manera:

p	q	p ∧ q	p ∧ q → p	¬(p ∧ q → p)
V	V	V	V	F
V	F	F	V	F
F	V	F	V	F
F	F	F	V	F

En la columna final tenemos solo valores falsos, con lo cual nuestra proposición original es una contradicción. Nótese que esta proposición es la negación de la del primer ejemplo, pues una contradicción no es otra cosa que la negación de una tautología.

Ejemplo 4: (p → q) ↔ (¬q→¬p)

p	q	¬p	¬q	p → q	¬q → ¬p	(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
V	V	F	F	V	V	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V

Otra vez nos encontramos con una tautología. Lo importante de ella es que es la demostración de que una implicación es equivalente a su contrarrecíproca. 

Ejemplo 5: (p → q) ∧ (q → p) 

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∧ (q → p)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Esta vez la tabla resulta en una contingencia. Nótese que la proposición es verdadera cuando las proposiciones simples son ambas verdaderas o ambas falsas. Este comportamiento es el mismo que el del bicondicional, de hecho, una ley lógica nos dice que la proposición (p → q) ∧ (q → p) es equivalente a p ↔ q. 

Ejemplo 6: (p → q) ∨ (q → p)

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∨ (q → p)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

La tabla arroja que la proposición (p → q) v (q → p) es una tautología.

Tabla de verdad con 3 variables

Cuando tenemos tres proposiciones, la tabla de verdad se puede hacer siguiendo el mismo procedimiento que antes, solo teniendo en cuenta que la cantidad de filas será 2³=8 más la cabecera.

Ejemplo 1: ¬p ∧ q → r

Hay que prestar mucha atención a cómo se distribuyen los verdaderos y falsos en las primeras tres columnas. Debería quedarnos la tabla de la siguiente forma:

p	q	r	¬p	¬p ∧ q	¬p ∧ q → r
V	V	V	F	F	V
V	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	F	V
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	F
F	F	V	V	F	V
F	F	F	V	F	V

En este caso, por tener la última columna valores verdaderos y falsos, estamos frente a una contingencia. 

Ejemplo 2: [(p ∧ q) ∧ r] → p

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) ∧ r	[(p ∧ q) ∧ r] → p
V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	V
V	F	V	F	F	V
V	F	F	F	F	V
F	V	V	F	F	V
F	V	F	F	F	V
F	F	V	F	F	V
F	F	F	F	F	V

Viendo la última columna podemos darnos cuenta de que se trata de una tautología.

Ejemplo 3: (p ∧ q) ∧ (r ∧¬p)

p	q	r	¬p	p ∧ q	r ∧¬p	(p ∧ q) ∧ (r ∧ ¬p)
V	V	V	F	V	F	F
V	V	F	F	V	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	V	F
F	V	F	V	F	F	F
F	F	V	V	F	V	F
F	F	F	V	F	F	F

Dado que tenemos solo valores falsos para cualquier interpretación, la proposición resulta en una contradicción.

Ejemplo 4: (p ∧ q) → r 

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) → r
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

La proposición (p ∧ q) → r resulta ser una contingencia.

Ejemplo 5: (p ∨ q) → r 

p	q	r	p ∨ q	(p ∨ q) → r
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	V	V
F	V	F	V	F
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

La tabla de la verdad arroja que la proposición es una contingencia.

Ejemplo 6: (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)

p	q	r	p → q	q → r	p → r	(p → q) ∧ (q → r)	[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	V	F	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

La proposición [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) resulta ser una tautología. De hecho, esta es una regla de inferencia conocida como transitividad o silogismo hipotético.

Tablas de verdad con 4 o más variables

Las tablas de verdad con más de tres variables pueden construirse, pero son poco prácticas. Por ejemplo, para construir una tabla de con cuatro proposiciones simples harán falta 2⁴=16 filas más la cabecera. Con cinco proposiciones, las filas necesarias son 2⁵=32 más la cabecera. El número de filas aumenta de manera exponencial, pero con menos de tres proposiciones podemos manejarnos tranquilamente.

Ejemplo: (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)

p	q	r	s	p ∧ q	r ∧ s	(p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	V	F	V	F	V
V	V	F	V	V	F	V
V	V	F	F	V	F	V
V	F	V	V	F	V	V
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	V	V
F	V	V	F	F	F	F
F	V	F	V	F	F	F
F	V	F	F	F	F	F
F	F	V	V	F	V	V
F	F	V	F	F	F	F
F	F	F	V	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

Vemos que se trata de una contingencia.

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