Tablas de verdad: qué son y cómo hacerlas
En este artículo, como parte del curso de lógica matemática, explicamos qué son y cómo resolver tablas de verdad para dos, tres o cualquier número de proposiciones simples con ejercicios resueltos.
Índice
¿Qué son las tablas de verdad lógica?
Las tablas de verdad son una herramienta de la lógica proposicional que permiten conocer los valores de verdad de proposiciones compuestas teniendo en cuenta las posibles interpretaciones de las proposiciones simples que la conforman. En otras palabras, una tabla de verdad nos ayuda a determinar si una proposición compuesta es verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.
Recordemos que las proposiciones simples son aquellas que no pueden ser descompuestas en otras, y las proposiciones compuestas son aquellas que se forman a partir de proposiciones simples mediante conectores lógicos.
Las tablas de verdad se utilizan en una variedad de campos, entre ellos la lógica, la informática y la filosofía. En lógica, además de lo que mencionamos, se utilizan para estudiar la validez de los argumentos, donde se establece que un argumento es válido si la conclusión es verdadera cuando las premisas son verdaderas. También se utilizan para las para estudiar las operaciones lógicas (o conectores lógicos).
Cómo hacer una tabla de verdad
La idea general es construir una tabla con tantas filas como posibles combinaciones de valores de verdad existan para las proposiciones simples. A estas combinaciones también se les suele llamar interpretaciones. En cada fila, se asigna un valor de verdad a cada proposición simple, y se calcula el valor de verdad de la proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.
Recordemos que toda proposición puede ser verdadera (V) o falsa (F). Entonces, si tenemos una proposición simple, tendremos dos posibles combinaciones (V, F). Al agregar otra proposición, se duplicarán la cantidad de combinaciones, o sea, tendremos cuatro (VV, VF, FV, FF). Al agregar una nueva proposición, se volverán a duplicar las posibles combinaciones, alcanzando ocho.
Cada proposición simple añadida duplicará la cantidad de combinaciones posibles. Entonces, si tenemos n proposiciones simples, el número total de combinaciones posibles será *2\cdot 2\cdot 2\cdot 2...* (n veces), o sea, *2^n.*
Como en la tabla de verdad habrá una fila por cada posible interpretación, el número de filas totales será igual a *2^n* más la cabecera, donde n es el número de proposiciones simples (que podemos llamar variables).
Pasos para elaborar una tabla de verdad
- Calcular el número de filas que tendrá la tabla de verdad. Este es igual a *2^n* más la cabecera, donde n es el número de proposiciones simples.
- Calcular el número de columnas que tendrá la tabla. Este es igual a el número de proposiciones simples más la cantidad de conectores lógicos que aparecen en la expresión, contando cada repetición de ellos.
- Desglosar la proposición compuesta en la cabecera teniendo en cuenta la jerarquía de los conectores. En las primeras columnas irán las proposiciones simples y en la última irá la proposición original.
- Escribir en las filas todas las posibles interpretaciones de las proposiciones simples. Por ejemplo, si se trata de dos proposiciones, existen cuatro interpretaciones posibles, lo veremos más adelante con los ejemplos.
- Completar el resto de la tabla teniendo en cuenta las tablas de verdad de los conectores lógicos. La última columna, la de la proposición original que analizamos, nos dirá su valor de verdad de acuerdo a las posibles interpretaciones.
Tautologías, contingencias y contradicciones
Al completar una tabla de verdad, obtendremos el valor de verdad de la proposición compuesta por cada posible interpretación de las proposiciones simples.
- Si ocurre que, para todas las interpretaciones, la proposición compuesta es verdadera, se dice que esta es una tautología.
- Si ocurre que la proposición compuesta es verdadera para algunas interpretaciones y falsa para otras, se dice que es una contingencia.
- Si ocurre que la proposición compuesta es falsa para todas las interpretaciones, se dice que es una contradicción.
Tablas de verdad con 2 variables
La tabla de verdad con dos proposiciones tendrá *2^2 = 4* filas más la cabecera.
Ejemplo 1: tabla de verdad de p ∧ q → p
Podemos identificar dos proposiciones simples p, q y dos compuestas, una con conjunción ∧ y otra con implicación →. La jerarquía nos dice que la proposición completa debe interpretarse como (p ∧ q) → p. Procedemos con los pasos para crear la tabla de verdad:
En las primeras columnas ubicamos las proposiciones simples. La primera columna para valores de verdad se divide en dos y la primera mitad se completa con verdaderos y la otra con falsos, luego se repite un proceso parecido con la segunda columna, pero asegurándose de que no se repitan combinaciones de valores.
| p | q | ... |
|---|---|---|
| V | V | ... |
| V | F | ... |
| F | V | ... |
| F | F | ... |
Si observamos, vemos que la tabla nos dice que p y q pueden ser verdaderos, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, o ambos falsos. Esas son todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples.
En las siguientes columnas se ubican las proposiciones compuestas, yendo desde las de menor jerarquía hasta las de mayor jerarquía. Primero irá p ∧ q. Los verdaderos o falsos se colocarán teniendo en cuenta las tablas de verdad de los conectores lógicos, así:
| p | q | p ∧ q | ... |
|---|---|---|---|
| V | V | V | ... |
| V | F | F | ... |
| F | V | F | ... |
| F | F | F | ... |
En la primera fila (sin contar la cabecera) vemos que p ∧ q es verdadero, esto teniendo en cuenta que para esa fila tanto p como q son verdaderos. En la segunda fila, p ∧ q es falso, esto porque p es verdadero y q es falso. De la misma forma se entienden las demás filas.
Procedemos a agregar la próxima proposición en orden jerárquico, que en este caso ya es la proposición compuesta que buscamos analizar, (p ∧ q) → p. Para determinar sus valores de verdad solo hará falta fijarse en la tercera y primera columna, teniendo en cuenta que el condicional es falso solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y es verdadero en los demás casos.
| p | q | p ∧ q | (p ∧ q) → p |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
En la primera fila, vemos que (p ∧ q) → p es verdadero, esto es porque p ∧ q es verdadero y p también lo es. En la segunda fila, (p ∧ q) → p es verdadero porque p ∧ q es falso y eso es suficiente para que el condicional sea verdadero. De la misma forma con las demás filas.
Analizando notamos que la proposición original es verdadera para cualquier combinación de valores de verdad. Concluimos entonces que se trata de una tautología.
Recomendación: al elaborar una tabla de verdad es conveniente concentrarse en cada fila de forma individual y mirar solo las columnas que sean necesarias para determinar el valor de verdad que necesitamos saber. De este modo se evitarán confusiones con otras filas o columnas.
Ejemplo 2: tabla de verdad de ¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q
Teniendo en cuenta las jerarquías, la proposición debe interpretarse como (¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q). Con esto en mente, hacemos la tabla siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, y debería quedar así:
| p | q | ¬p | ¬q | ¬p ∧ q | q ∨ ¬q | ¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | F | V | F |
| V | F | F | V | F | V | F |
| F | V | V | F | V | V | V |
| F | F | V | V | F | V | F |
Como se puede ver, crear una columna por cada proposición compuesta facilita mucho el trabajo, ya que solo nos queda conocer las propiedades de las conectivas para determinar el valor de verdad de la proposición dada en el ejercicio. En este caso, la proposición arroja valores verdaderos y falsos, tratándose de una contingencia.
Ejemplo 3: tabla de verdad de ¬(p ∧ q → p)
Construimos la tabla de modo similar a los casos anteriores y debería quedarnos de la siguiente manera:
| p | q | p ∧ q | p ∧ q → p | ¬(p ∧ q → p) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F |
| V | F | F | V | F |
| F | V | F | V | F |
| F | F | F | V | F |
En la columna final tenemos solo valores falsos, con lo cual nuestra proposición original es una contradicción. Nótese que esta proposición es la negación de la del primer ejemplo, pues una contradicción no es otra cosa que la negación de una tautología.
Ejemplo 4: tabla de verdad de (p → q) ↔ (¬q→¬p)
| p | q | ¬p | ¬q | p → q | ¬q → ¬p | (p → q) ↔ (¬q → ¬p) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V | V | V |
| V | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | F | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V |
Otra vez nos encontramos con una tautología. Lo importante de ella es que es la demostración de que una implicación es equivalente a su contrarrecíproca.
Tabla de verdad con 3 variables
Cuando tenemos tres proposiciones, la tabla de verdad se puede hacer siguiendo el mismo procedimiento que antes, solo teniendo en cuenta que la cantidad de filas será *2^3=8* más la cabecera.
Ejemplo 1: tabla de verdad de ¬p ∧ q → r
Hay que prestar mucha atención a cómo se distribuyen los verdaderos y falsos en las primeras tres columnas. Debería quedarnos la tabla de la siguiente forma:
| p | q | r | ¬p | ¬p ∧ q | ¬p ∧ q → r |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V |
| V | V | F | F | F | V |
| V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | V | F |
| F | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | F | V |
En este caso, por tener la última columna valores verdaderos y falsos, estamos frente a una contingencia.
Ejemplo 2: tabla de verdad de [(p ∧ q) ∧ r] → p
| p | q | r | p ∧ q | (p ∧ q) ∧ r | [(p ∧ q) ∧ r] → p |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | V |
| V | F | V | F | F | V |
| V | F | F | F | F | V |
| F | V | V | F | F | V |
| F | V | F | F | F | V |
| F | F | V | F | F | V |
| F | F | F | F | F | V |
Viendo la última columna podemos darnos cuenta de que se trata de una tautología.
Ejemplo 3: tabla de verdad de (p ∧ q) ∧ (r ∧¬p)
| p | q | r | ¬p | p ∧ q | r ∧¬p | (p ∧ q) ∧ (r ∧ ¬p) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | V | F | F |
| V | V | F | F | V | F | F |
| V | F | V | F | F | F | F |
| V | F | F | F | F | F | F |
| F | V | V | V | F | V | F |
| F | V | F | V | F | F | F |
| F | F | V | V | F | V | F |
| F | F | F | V | F | F | F |
Dado que tenemos solo valores falsos para cualquier interpretación, la proposición resulta en una contradicción.
Tablas de verdad con cualquier número de variables
Las tablas de verdad con más de tres variables pueden construirse, pero son poco prácticas. Por ejemplo, para construir una tabla de con cuatro proposiciones simples harán falta *2^4=16* filas más la cabecera. Con cinco proposiciones, las filas necesarias son *2^5=32* más la cabecera. El número de filas aumenta de manera exponencial, pero con menos de tres proposiciones podemos manejarnos tranquilamente.
Ejemplo: tabla de verdad de (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
| p | q | r | s | p ∧ q | r ∧ s | (p ∧ q) ∨ (r ∧ s) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | V | F | V | F | V |
| V | V | F | V | V | F | V |
| V | V | F | F | V | F | V |
| V | F | V | V | F | V | V |
| V | F | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | F | F |
| V | F | F | F | F | F | F |
| F | V | V | V | F | V | V |
| F | V | V | F | F | F | F |
| F | V | F | V | F | F | F |
| F | V | F | F | F | F | F |
| F | F | V | V | F | V | V |
| F | F | V | F | F | F | F |
| F | F | F | V | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F |
Vemos que se trata de una contingencia.
Puntos clave y preguntas frecuentes
¿Qué son las tablas de verdad y para qué sirven?
Las tablas de verdad son una herramienta de la lógica que permite determinar si una proposición compuesta es verdadera o falsa, dependiendo de las posibles interpretaciones de las proposiciones simples que la componen.
¿Cuándo una tabla de verdad es una tautología?
Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las posibles interpretaciones de las proposiciones simples que la forman. Su columna en la tabla de verdad tendrá solo verdaderos (V).
¿Cuándo una tabla de verdad es una contingencia?
Una proposición compuesta es una contingencia si es verdadera para algunas interpretaciones, pero es falsa para otras. Su columna en la tabla de verdad tendrá tanto verdaderos (V) como falsos (F).
¿Cuándo una tabla de verdad es una contradicción?
Una proposición compuesta es una contradicción si es falsa para todas las posibles interpretaciones de las proposiciones simples que la forman. Su columna en la tabla de verdad tendrá solo falsos (F).
