Tablas de verdad: qué son y cómo hacerlas

Las tablas de verdad son herramientas que permiten conocer los valores de verdad de proposiciones compuestas teniendo en cuenta las posibles interpretaciones de las proposiciones simples que la conforman. En otras palabras, nos ayuda a determinar si una proposición compuesta es verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.

Tablas de verdad de los conectivos lógicos

Las proposiciones simples son aquellas que no pueden ser descompuestas en otras, y las proposiciones compuestas son aquellas que se forman a partir de proposiciones simples mediante conectivos lógicos (no, y, o, si... entonces, si y solo si).

Cada conectiva tiene su tabla de verdad. El valor verdadero se indica con la letra V, el número 1 o la letra T (de true, "verdadero" en inglés); el valor falso se indica con la letra F o el número 0. Veremos a continuación cómo se comporta cada conector.

Negación (no, not)

La negación de una proposición p se simboliza como ¬p y se lee "no p", es falsa si la proposición original es verdadera y verdadera si la original es falsa.

p	¬p
V	F
F	V

Ejemplo

p: "Está lloviendo"
¬p: "No está lloviendo"

Conjunción (y, and, &)

La conjunción de dos proposiciones p y q se simboliza como p ∧ q y se lee "p y q", es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas, y es falsa en cualquier otro caso.

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Ejemplo

p: "Está soleado"
q: "Hace calor"
p ∧ q: "Está soleado y hace calor"

Disyunción (o, or)

La disyunción de dos proposiciones p y q se simboliza como p ∨ q y se lee "p o q", es falsa solo si ambas proposiciones son falsas y es verdadera en cualquier otro caso.

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ejemplo

p: "Compraré tomates"
q: "Compraré lechuga"
p ∨ q: "Compraré tomates o lechuga, o ambos"

Disyunción excluyente (o, pero no ambos; xor)

La disyunción excluyente o exclusiva de dos proposiciones p y q se simboliza como p ⊻ q y se lee "p o q, pero no ambos", es verdadera solo cuando una de las proposiciones es verdadera y la otra es falsa; y es falsa cuando ambas tienen el mismo valor de verdad.

p	q	p ⊻ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ejemplo

p: "Está soleado"
q: "Está nublado"
p ⊻ q: "O está soleado o está nublado, pero no ambos"

Condicional o implicación (si..., entonces...)

El condicional de dos proposiciones p y q se simboliza p → q y se lee "si p, entonces q", es falso cuando la primera proposición (antecedente) es verdadera y la segunda (consecuente) es falsa, y es verdadera en cualquier otro caso.

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Ejemplo

p: "Está lloviendo"
q: "El cielo está nublado"
p → q: "Si está lloviendo, entonces el cielo está nublado"

Bicondicional o doble implicación (si y solo si)

El doble condicional de dos proposiciones p y q se simboliza como p ↔ q y se lee "p si y solo si q", es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas o falsas, y es falsa cuando tienen distintos valores de verdad.

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Ejemplo

p: "Está lloviendo"
q: "El cielo está nublado"
p ↔ q: "Está lloviendo si y solo si el cielo está nublado"

Cómo hacer tablas de verdad

Veremos a continuación ejemplos de construcción paso a paso de tablas de verdad. Como en la tabla habrá una fila por cada posible interpretación, el número de filas totales será igual a 2ⁿ más la cabecera, donde n es el número de proposiciones simples o variables.

Tablas con dos variables

Cuando hay dos proposiciones simples, la tabla de verdad tendrá 2² = 4 filas más la cabecera.

Ejemplo 1: (p ∧ q) → p

Primero, interpretamos que la proposición compuesta es una implicación con la proposición "p ∧ q" como antecedente y la proposición "p" como consecuente. Ubicamos cada proposición en una columna y en cada fila escribimos los valores de verdad posibles (VV, VF, FV, FF).

p	q	...
V	V	...
V	F	...
F	V	...
F	F	...

Agregamos una tercera columna con el antecedente de la implicación: la conjunción p ∧ q. Recurriendo a las tablas de los conectivos sabemos que esta conjunción es verdadera solo cuando p y q son verdaderos y es falsa en los demás casos. Con esta información completamos la columna:

p	q	p ∧ q	...
V	V	V	...
V	F	F	...
F	V	F	...
F	F	F	...

Ahora agregamos la cuarta y última columna, que tendrá la proposición completa (p ∧ q) → p, la cual buscábamos evaluar. Para determinar los valores de verdad, debemos fijarnos únicamente en los valores de las columnas p ∧ q y la columna p, marcadas en amarillo. Están conectadas por una implicación, la cual será falsa si el antecedente (p ∧ q) es verdadero y el consecuente (p) es falso. No hay ninguna fila donde p ∧ q sea falso mientras p es verdadero, por tanto, (p ∧ q) → p es una proposición verdadera en todos los casos.

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Con esto hemos resuelto la tabla de verdad, la cual sin los colores queda así:

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Ejemplo 2: (¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q)

Primero identificamos que hay dos proposiciones simples, así que la tabla tendrá cuatro filas. Las primeras dos columnas serán para p y q, y las siguientes para ¬p, ¬q, ¬p ∧ q, q ∨ ¬q, y por último la proposición completa (¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q).

Comencemos con las primeras cuatro columnas. Como se trata de negación, el valor de verdad será el opuesto de la proposición original. Por ejemplo, en la tercera fila, p es F, así que ¬p será V; del mismo modo, q es V, así que ¬q será falso.

p	q	¬p	¬q	...
V	V	F	F	...
V	F	F	V	...
F	V	V	F	...
F	F	V	V	...

Ahora agregamos las columnas de la conjunción y la disyunción:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	...
V	V	F	F	F	V	...
V	F	F	V	F	V	...
F	V	V	F	V	V	...
F	F	V	V	F	V	...

Por último, agregamos la proposición original. Como se trata de un bicondicional, será verdadero solo cuando las proposiciones que la componen tienen el mismo valor de verdad. Debemos fijarnos entonces en las columnas señaladas en amarillo. En la tercera fila las proposiciones tienen el mismo valor de verdad, así que el bicondicional será verdadero allí, y será falso en los otros casos.

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	(¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q)
V	V	F	F	F	V	F
V	F	F	V	F	V	F
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	F	V	F

Con esto hemos resuelto la tabla de verdad, la cual queda así:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	(¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q)
V	V	F	F	F	V	F
V	F	F	V	F	V	F
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	F	V	F

Ejemplo 3: ¬(p ∧ q → p)

Construimos la tabla de modo similar a los casos anteriores y debería quedarnos de la siguiente manera:

p	q	p ∧ q	p ∧ q → p	¬(p ∧ q → p)
V	V	V	V	F
V	F	F	V	F
F	V	F	V	F
F	F	F	V	F

Ejemplo 4: (p → q) ↔ (¬q→¬p)

Realizamos la tabla de esta proposición de la misma forma que antes y llegamos a:

p	q	¬p	¬q	p → q	¬q → ¬p	(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
V	V	F	F	V	V	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V

Nos encontramos con una tautología. Paticularmente, esta nos dice que una implicación es equivalente a su contrarrecíproca.

Ejemplo 5: (p → q) ∧ (q → p) 

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∧ (q → p)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Esta vez la tabla resulta en una contingencia. Nótese que la proposición es verdadera cuando las proposiciones simples son ambas verdaderas o ambas falsas. Este comportamiento es el mismo que el del bicondicional, de hecho, una ley lógica nos dice que la proposición (p → q) ∧ (q → p) es equivalente a p ↔ q. 

Ejemplo 6: (p → q) ∨ (q → p)

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∨ (q → p)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

La tabla arroja que la proposición (p → q) v (q → p) es una tautología.

Tablas con tres variables

Cuando tenemos tres proposiciones, la tabla de verdad se puede hacer siguiendo el mismo procedimiento que antes, solo teniendo en cuenta que la cantidad de filas será 2³=8 más la cabecera.

Ejemplo 1: (¬p ∧ q) → r

Hay que prestar atención a cómo se distribuyen los verdaderos y falsos en las primeras tres columnas. Debería quedarnos la tabla de la siguiente forma:

p	q	r	¬p	¬p ∧ q	(¬p ∧ q ) → r
V	V	V	F	F	V
V	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	F	V
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	F
F	F	V	V	F	V
F	F	F	V	F	V

En este caso, por tener la última columna valores verdaderos y falsos, estamos frente a una contingencia. 

Ejemplo 2: [(p ∧ q) ∧ r] → p

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) ∧ r	[(p ∧ q) ∧ r] → p
V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	V
V	F	V	F	F	V
V	F	F	F	F	V
F	V	V	F	F	V
F	V	F	F	F	V
F	F	V	F	F	V
F	F	F	F	F	V

Viendo la última columna podemos darnos cuenta de que se trata de una tautología.

Ejemplo 3: (p ∧ q) ∧ (r ∧¬p)

p	q	r	¬p	p ∧ q	r ∧¬p	(p ∧ q) ∧ (r ∧ ¬p)
V	V	V	F	V	F	F
V	V	F	F	V	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	V	F
F	V	F	V	F	F	F
F	F	V	V	F	V	F
F	F	F	V	F	F	F

Dado que tenemos solo valores falsos para cualquier interpretación, la proposición resulta en una contradicción.

Ejemplo 4: (p ∧ q) → r 

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) → r
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

La proposición (p ∧ q) → r resulta ser una contingencia.

Ejemplo 5: (p ∨ q) → r 

p	q	r	p ∨ q	(p ∨ q) → r
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	V	V
F	V	F	V	F
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

La tabla de la verdad arroja que la proposición es una contingencia.

Ejemplo 6: (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)

p	q	r	p → q	q → r	p → r	(p → q) ∧ (q → r)	[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	V	F	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

La proposición [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) resulta ser una tautología. De hecho, esta es una regla de inferencia conocida como transitividad o silogismo hipotético.

Tablas con cuatro o más variables

Las tablas de verdad lógica con más de tres variables proposicionales pueden construirse, pero son poco prácticas. Por ejemplo, para construir una tabla de con cuatro proposiciones simples harán falta 2⁴=16 filas más la cabecera. Con cinco proposiciones, las filas necesarias son 2⁵=32 más la cabecera. El número de filas aumenta de manera exponencial, pero con tres o menos proposiciones podemos manejarnos tranquilamente.

Ejemplo: (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)

p	q	r	s	p ∧ q	r ∧ s	(p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	V	F	V	F	V
V	V	F	V	V	F	V
V	V	F	F	V	F	V
V	F	V	V	F	V	V
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	V	V
F	V	V	F	F	F	F
F	V	F	V	F	F	F
F	V	F	F	F	F	F
F	F	V	V	F	V	V
F	F	V	F	F	F	F
F	F	F	V	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

Vemos que se trata de una contingencia.

Historia

Las tablas de verdad emergieron de un largo proceso de desarrollo en la lógica formal. Aunque su estructura sistemática se popularizó en el siglo XX, sus raíces se remontan a trabajos previos. El filósofo y científico Charles Sanders Peirce, en la década de 1880, realizó contribuciones clave al explorar métodos para analizar proposiciones mediante combinaciones de valores de verdad.

La consolidación de las tablas como sistema se atribuye principalmente a Ludwig Wittgenstein, quien en su Tractatus Logico-Philosophicus (1921) las usó para examinar todas las combinaciones posibles de valores de verdad en proposiciones. Paralelamente, el matemático Emil Post desarrolló un enfoque equivalente en su tesis doctoral (1920), vinculando la lógica a la computación primitiva.

Estos avances se apoyaron en pilares anteriores, como el álgebra de George Boole (mediados del siglo XIX), que tradujo operaciones lógicas a ecuaciones. Las tablas de verdad, con su claridad visual, ganaron relevancia práctica con el auge de la electrónica y la computación en el siglo XX, siendo cruciales para diseñar circuitos lógicos y algoritmos. Hoy, siguen siendo un pilar en lógica, filosofía y ciencias de la computación.

Recursos adicionales

Si estás practicando, puedes comprobar tus tablas utilizando generadores online de tablas de verdad. Estas calculadoras te darán la tabla resuelta con la que podrás contrastar. Dos opciones son la herramienta de la Universidad de Stanford y la web https://truth-table.com/.

El siguiente video explica paso a paso la resolución de una tabla de verdad:

Bibliografía

• Acevedo González, G. (2011). Lógica Matemática. Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD).
• Copi, I. y Cohen, C. (2013). Introducción a la Lógica (2da edición). Limusa.
• Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
• Garrido, M. (1974). Lógica simbólica (4ta edición). Tecnos.
• Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Moreno, A. (1969). Lógica matemática: antecedentes y fundamentos. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Puyau, H. y Roetti, J. (1976). Elementos de Lógica Matemática. Editorial Universitaria de Buenos Aires.

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