Conjuntos numéricos

En este artículo explicamos los conjuntos numéricos junto con las formas de escritura y algunos ejemplos y ejercicios prácticos para entenderlos mejor.

¿Qué son los conjuntos numéricos?

Los conjuntos numéricos son agrupaciones o colecciones de números organizados de acuerdo a sus propiedades matemáticas comunes. Cada conjunto tiene su propia definición y propiedades que lo distinguen de los demás, lo que permite abordar una variedad de situaciones y problemas matemáticos de manera precisa y eficaz. 

Los conjuntos numéricos forman la base de la aritmética y el análisis matemático y son esenciales para comprender y resolver una amplia gama de problemas en matemáticas y otras disciplinas científicas como la física, ingeniería, economía, estadísticas y programación, entre otras.

¿Cuántos conjuntos numéricos existen?

Existen seis conjuntos numéricos fundamentales, ellos son: naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (I), reales (R) y complejos (C). En el desarrollo histórico de la matemática, para solventar las limitaciones de un conjunto numérico, se fueron introduciendo sucesivamente otras clases de números que permitían resolver nuevos problemas.

Puedes conocer la definición y características de cada uno visitando su artículo correspondiente:

Esquema de los conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos se pueden esquematizar de la siguiente manera.

Números naturales

Los números naturales son los elementos de la sucesión *1, 2, 3, 4,…* y fueron los primeros en ser utilizados por las antiguas civilizaciones para contar objetos y representar cantidades. Cada uno de ellos tiene un sucesor mayor en una unidad, por ejemplo, el sucesor de *12* es *12+1=13.*

Los números naturales se utilizan para contar objetos y representar cantidades discretas; por ejemplo, se usan para contar el número de personas en una reunión o el total de elementos en un conjunto. También permiten establecer un orden secuencial; por ejemplo, se pueden usar para enumerar posiciones en una competencia o etapas en un proceso.

El número cero es a veces considerado como un número natural, pues resulta necesario para marcar la ausencia de elementos para contar. Por ejemplo, para expresar que en un salón no hay alumnos, podría decirse que hay cero alumnos. Si necesitamos incluir al cero en los números naturales, se coloca un subíndice al símbolo del conjunto:

$$ \mathbb{N}_0=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, …\} $$

Algunos ejemplos de números naturales son: 66, 210, 15, 50, 92, 103, 245. Todos los naturales son números positivos (no negativos si se incluye al cero).

En este conjunto podemos definir las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Consideraremos al cero como un número natural. Veremos las propiedades de estas operaciones a continuación.

Más información sobre los números naturales

Limitaciones de los números naturales

El conjunto de los números naturales es limitado en el sentido de que algunas operaciones no pueden realizarse tomando dos naturales cualesquiera, pues puede pasar que el resultado no sea un número natural. Por ejemplo:

• Al restar dos números naturales, el minuendo no puede ser menor que el sustraendo.
• La división exacta no puede realizarse si el dividendo no es múltiplo del divisor. 
• No puede extraerse la raíz enésima de un número natural si éste no es a su vez la enésima potencia de un natural. 

La división por cero también está prohibida, pero esto no es especial de los números naturales, sino que ocurre en todos los conjuntos numéricos.

Números enteros

Hay expresiones cotidianas que no pueden ser indicadas con números naturales. Para esto es necesario usar números negativos:

• Cuando hablamos de temperaturas por debajo de cero. Por ejemplo, 5 °C bajo cero se expresa como -5 °C.
• Al hablar de deudas. Por ejemplo, si debemos $500, decimos que nuestro saldo es de -$500.
• Al referirse a las plantas de un edificio. Ejemplo: el subsuelo es la planta -1.

Los números enteros surgen como una solución a la limitación de los naturales en cuanto a la resta. Introducir los números negativos *-1, -2, -3,…* permite realizar la operación de resta *a-b* aun cuando *a* es menor que *b.* Integramos los números negativos y el cero a los naturales para formar un nuevo conjunto numérico.

Algunos ejemplos de números enteros son: -40, 2, 0, 27, -34, 18.

Las operaciones con números enteros se definen de modo que toda vez que se trate de números positivos se conserven las definiciones y propiedades correspondientes a los números naturales. Así, para sumar dos enteros, si ambos tienen el mismo signo se coloca este signo y se efectúa la suma de los naturales correspondientes, y si tienen distinto signo se antepone el signo del mayor y se restan. Para el producto y cociente se adopta como regla de los signos: factores de igual signo dan un producto positivo y de distinto signo un producto negativo.

Más información sobre los números enteros

Limitaciones de los números enteros

Si con números enteros se efectúan sumas, restas o productos siempre se obtienen números enteros. Sin embargo, seguimos manteniendo limitaciones de los números naturales y surge una nueva:

• La división exacta no puede realizarse si el dividendo no es múltiplo del divisor. 
• No puede extraerse la raíz enésima de un número entero si éste no es a su vez la enésima potencia de un entero. Además, las raíces de índice par de números negativos no existen. 

Subconjuntos de los números enteros

A partir del conjunto de los números enteros podemos definir una serie de subconjuntos:

• Enteros positivos *\mathbb{Z}^+:* son todos los enteros naturales. *\mathbb{Z}^+=\{1,2,3,4,...\}.*
• Enteros negativos *\mathbb{Z}^-:* son todos los números negativos, opuestos de los naturales. *\mathbb{Z}^-=\{-1,-2,-3,-4,...\}.*
• Enteros no negativos *\mathbb{Z}^{+}_0:* son todos los enteros positivos más el cero. *\mathbb{Z}^{+}_0=\{0,1,2,3,4,5,...\}.*
• Enteros no positivos *\mathbb{Z}^{-}_0:* son todos los enteros negativos más el cero. *\mathbb{Z}^{+}_0=\{0,-1,-2,-3,-4,-5,...\}.*
• Enteros sin el cero: *\mathbb{Z}^{*}=\{-2,-1,1,2,3,...\}*

Nota: las notaciones de los subconjuntos se mantienen en los siguientes conjuntos numéricos hasta los números reales. Para indicar a los números positivos, se coloca un exponente + al símbolo del conjunto; para indicar a los números negativos, se coloca un exponente -; para indicar la inclusión del cero, se coloca como subíndice al 0; para indicar la ausencia del cero, se coloca como exponente a un asterisco.

Números racionales

La introducción de los números fraccionarios *a/b* permite realizar los cocientes exactos *a÷b* entre números enteros, aún en los casos en que *a* no sea múltiplo de *b.* El entero *a* se llama numerador, y el entero *b,* que no puede ser 0, se llama denominador.

Los números fraccionarios sirven, entre otras cosas, para representar partes de una cantidad total, por ejemplo, 1/4 de pastel significa un trozo de un pastel dividido en 4 partes iguales. También las fracciones son esenciales para expresar proporciones y tasas, como las tasas de interés, los porcentajes de crecimiento y las relaciones entre cantidades.

Algunos ejemplos de números racionales son: 1/2, 3/4, -5/3, 27/7.

Un entero puede escribirse como una fracción con denominador 1, esto nos permite decir que todo número entero es racional. Antes de definir las operaciones entre fracciones, haremos hincapié en la propiedad de igualdad:

*\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}* si y sólo si *ad=bc*

Esta relación nos dice que dos números fraccionarios son iguales si sus productos cruzados son iguales. Dos fracciones que cumplan esa condición se dice que son fracciones equivalentes. Por ejemplo, *1/2* es equivalente a *6/12,* porque *1\cdot 12=2\cdot 2.*

Para obtener una fracción equivalente a una fracción dada, podemos multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número entero. También podemos dividir numerador y denominador por un mismo entero, siempre y cuando este sea divisor de ambos.

Más información sobre números racionales

Operaciones con números racionales

*\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}*

*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}*

*\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}*

*\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}*

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}*

*\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}*

Limitaciones de los números racionales

Al efectuar sumas, restas, productos y cocientes (excepto la división por cero) entre números racionales, siempre se obtiene un número racional. Sin embargo, seguimos manteniendo una limitación importante:

• No puede extraerse la raíz enésima de un número racional si éste no es a su vez la enésima potencia de un racional. También, las raíces de índice par de números negativos no tienen solución.

Subconjuntos de los números racionales

Del mismo modo que con los números enteros, podemos definir una serie de subconjuntos que se utilizan con frecuencia.

• Racionales positivos: *\mathbb{Q}^+=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{tales que}~\dfrac{a}{b}>0\right\}*
• Racionales negativos: *\mathbb{Q}^-=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{tales que}~\dfrac{a}{b}<0\right\}*
• Racionales no negativos: *\mathbb{Q}^+_0=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{tales que}~\dfrac{a}{b}≥0\right\}*
• Racionales no positivos: *\mathbb{Q}^-_0=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{tales que}~\dfrac{a}{b}≤0\right\}*
• Racionales sin el cero: *\mathbb{Q}^{*}=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{tales que}~\dfrac{a}{b}≠0\right\}*

Números decimales

Los números decimales no constituyen un conjunto en sí sino que son una forma de expresar a los números. En ocasiones los números racionales se representan como decimales. Por ejemplo, los números *3/4*, *5/2*, *-2/3* y *7/66* se pueden representar como decimales simplemente realizando la división:

*\dfrac{3}{4}= 0,75*

*\dfrac{5}{2} = 2,5*

*-\dfrac{2}{3}=-0,6666… = -0, \overline{6}*

*\dfrac{7}{66}=0,1060606…=0,1 \overline{0} \overline{6}*

Observamos que la representación decimal de *3/4* y *5/2* termina o tiene fin, estos se llaman decimales exactos. La representación decimal de los otros dos números no termina, pero se ve un patrón de repetición. Para *-2/3*, el 6 se repite indefinidamente, como lo indica la barra sobre él; para *7/66*, el bloque 06 se repite en forma indefinida, como lo indica la barra sobre el 06. Estos dos últimos reciben el nombre de decimales periódicos.

Es posible demostrar que cada número racional se puede representar por un decimal que termina o que no termina y tiene un bloque de dígitos que se repiten, y viceversa.

Números irracionales

Existen números cuya expresión decimal no entra en ninguna de las dos categorías antes mencionadas, es decir, no son decimales exactos ni periódicos, sino que tienen infinitas cifras decimales y estas no siguen ningún patrón. 

Estos números no pueden ser escritos como fracciones, por tanto, no son racionales, sino que son otro tipo de números, llamados irracionales. En otras palabras, los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como fracción *a/b*, donde a, b son enteros y b es distinto de cero.

Los números irracionales surgen de manera natural. Por ejemplo, si consideramos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tienen longitud 1, la hipotenusa mide *\sqrt{2}*, un número irracional.

Algunos números irracionales famosos son:

• *π=3,14159265…* que representa la relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.
• *e=2,71828182…* la base de los logaritmos naturales. 
• *ϕ=1,61803399…* la razón áurea.

Más información sobre los números irracionales

Números reales

Hasta ahora tenemos dos grandes grupos de números: los racionales y los irracionales. Los primeros pueden ser escritos como fracción e incluyen a los enteros y naturales; el segundo grupo contiene a todos los números que no pueden ser escritos como fracción.

Los números reales permiten resolver raíces que con los números racionales no se podían, por ejemplo: *\sqrt{2},~~\sqrt{\dfrac{5}{3}},~~\sqrt[3]{7}* son números reales. 

Más información sobre los números reales

Limitaciones de los números reales

Los números enteros sirvieron para solucionar las restas donde el minuendo es menor que el sustraendo. Con la introducción de los números racionales solucionamos las divisiones que no arrojaban resultados enteros. Ahora, con los números reales, donde se incluyen a los racionales y los irracionales, solucionamos un problema con las raíces enésimas, pues ya no es necesario tener como radicando potencias enésimas para que el resultado pertenezca al mismo conjunto. 

Sin embargo, existe todavía una limitación relacionada con las raíces: no se pueden extraer raíces de índice par de números negativos. Por ejemplo, *\sqrt{-16}* no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues no existe número real que elevado al cuadrado de *-16.* Con el fin de solventar esta limitación, avanzamos hacia el último conjunto numérico.

Subconjuntos de números reales

• Reales positivos: *\mathbb{R}^+=\{x~\text{tales que x es real y}~x>0\}*
• Reales negativos: *\mathbb{R}^-=\{x~\text{tales que x es real y}~x<0\}*
• Reales no negativos: *\mathbb{R}^+_0=\{x~\text{tales que x es real y}~x≥0\}*
• Reales no positivos: *\mathbb{R}^-_0=\{x~\text{tales que x es real y}~x≤0\}*
• Reales sin el cero: *\mathbb{R}^{*}=\{x~\text{tales que x es real y}~x≠0\}*

Números complejos

Para superar las restricciones antes mencionadas introducimos un nuevo conjunto numérico, el cual tendrá incluido a los números reales y además deberá permitir encontrar raíces de índice par de números negativos. Comenzamos definiendo un nuevo número, llamado unidad imaginaria y representado con la letra *i,* que cumple la siguiente propiedad:

*i^2=-1*

Nótese que *i* no es un número real, pues ningún real elevado al cuadrado arroja como resultado un negativo. 

A los números *b\cdot i,* abreviados como *bi,* donde *b* es un número real cualquiera, se les llama números imaginarios y a los binomios del tipo *a+bi* donde *a* y *b* son reales, se les llama números complejos. Estos complejos contienen como casos particulares a los números reales (cuando b=0), y a los números imaginarios (cuando a=0). Si a=b=0, se tiene el cero. 

En el número complejo *a+bi,* al número *a* se le llama parte real, y al número *b,* parte imaginaria. Dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias correspondientes coinciden.

*a+bi=c+di* si y sólo si *a=c* y *b=d*

Una raíz de índice par de un número negativo puede ser reescrita y resuelta en este conjunto numérico, teniendo en cuenta que *i^2=-1.* Por ejemplo:

*\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-1)}=\sqrt{4\cdot i^2}=\sqrt{4}\sqrt{i^2}=2i*

Este resultado tiene sentido, pues *(2i)^2=2^2\cdot i^2=4\cdot (-1)=-4*

Teniendo en cuenta esto, queda superada la limitación de los números reales con respecto a las raíces de índice par de números negativos.

Los números complejos tienen diversas utilidades tanto en la matemática como en la ciencia; sirven, entre otras cosas:

• Para representar voltajes, corrientes y componentes en circuitos eléctricos y sistemas de control.
• Para describir fenómenos ondulatorios, como el comportamiento de las ondas electromagnéticas y las oscilaciones en sistemas mecánicos.

Suma de números complejos

Ejemplo:

*(2-4i) + (6+i)=*

*=(2+6) + (-4+1)i*

*=8-3i*

Multiplicación de números complejos

No es necesario memorizar la definición, simplemente podemos utilizar la propiedad distributiva recordando que *i^2=-1*.

Ejemplo:

*(2+3i)(4-5i)=*

*=2.4+(2)(-5i)+(3i)(4)+(3i)(-5i)*

*= 8-10i+12i+(-3\cdot 5)i^2 *

*= 8+2i + (-15)(-1)*

*= 8+2i+15*

*= 23+2i*

De acuerdo con estas definiciones, al sumar o multiplicar dos números complejos, el resultado siempre será otro número complejo. También puede demostrarse que estas operaciones son conmutativas y asociativas, y que la multiplicación es distributiva respecto de la adición; esto es, si *u, v, w* son números complejos, entonces:

*u+v=v+u*

*uv=vu*

*(u+v)+w=u+(v+w)*

*(uv)w=u(vw)*

*u(v+w)=uv+uw*

También, el elemento neutro para la suma es el 0, que puede expresarse como *0+0i.* El inverso aditivo del complejo *a+bi* es el complejo *-a-bi,* pues

*(a+bi)+(-a-bi)=[a+(-a)]+[b+(-b)]i=0+0i*

El inverso multiplicativo (o recíproco) del número complejo *a+bi* se define como *\dfrac{1}{a+bi}.* De este modo,

*(a+bi)\cdot \dfrac{1}{a+bi}=1*

División de números complejos

Por ejemplo:

*\dfrac{2+3i}{5-4i}=*

*=\dfrac{(2+3i)(5+4i)}{(5-4i)(5+4i)}*

*=\dfrac{10+8i+15i+12i^2}{5^2-(4i)^2} *

*=\dfrac{10+23i-12}{25-16i^2} *

*=\dfrac{-2+23i}{25+16} *

*=\dfrac{-2+23i}{41}*

En resumen, introduciendo los números complejos hemos superado la limitación de los números reales y con ellos quedan derogadas las operaciones "prohibidas", exceptuando la división por cero. Podría pensarse entonces en una nueva ampliación del campo de los números que permitiera levantar esta restricción; pero hay un teorema, llamado teorema final de la aritmética que asegura que el conjunto de números más grande que existe es el de los números complejos. 

Ejercicios sobre conjuntos numéricos

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