Fracciones equivalentes
En este artículo explicamos las fracciones equivalentes, las cuales permiten tener infinitas formas diferentes de expresar un mismo número. Veremos una guía completa con fórmulas, explicaciones, propiedades y ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
¿Qué son las fracciones equivalentes?
Dos fracciones son equivalentes o semejantes si representan la misma cantidad, es decir, la misma parte de un entero.
Si *~\dfrac{a}{b}~* y *~\dfrac{c}{d}~* son equivalentes, se escribe *~\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}~* y se cumple que los productos cruzados de numeradores y denominadores son iguales:
*a\cdot d=b\cdot c*
Ejemplos
La propiedad de igualdad de los productos cruzados nos sirve para determinar si dos fracciones son o no equivalentes.
Ejemplo 1
La fracción *\dfrac{6}{8}* es equivalente a *\dfrac{18}{24},* pues haciendo la multiplicación cruzada:
*6\cdot 24=144*
*8\cdot 18=144*
Los resultados coinciden, por tanto *\dfrac{6}{8}=\dfrac{18}{24}*
Ejemplo 2
Las fracciones *\dfrac{2}{5}~* y *~\dfrac{8}{20}* son equivalentes, pues:
*2\cdot 20=40*
*5\cdot 8=40*
Por tanto, *\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{20}*
Ejemplo 3
La fracción *\dfrac{4}{9}* es equivalente a *\dfrac{20}{45}.* Esto es cierto porque:
*4\cdot 45=180*
*9\cdot 20=180*
Por tanto, *\dfrac{4}{9}= \dfrac{20}{45}*
Ejemplo 4
La fracción *-\dfrac{1}{2}* es equivalente a *-\dfrac{5}{10}* porque:
*-1\cdot 10=-10*
*-5\cdot 2=-10*
En conclusión, estas dos fracciones negativas también son equivalentes.
Ejemplo 5
Determinar si son equivalentes las fracciones *\dfrac{6}{8}~* y *~\dfrac{9}{12}.*
Solución: Para responder esta incógnita, hacemos la prueba de la multiplicación cruzada:
*6\cdot 12=72*
*8\cdot 8=72*
Los resultados coinciden, por tanto las fracciones son equivalentes.
En conclusión, para saber si dos fracciones son equivalentes hay que realizar el producto cruzado y comprobar que los resultados son iguales. Puede hacerse la prueba con *1/2~* y *~5/4* y se verá que dichas fracciones no son equivalentes.
Ejemplo 6
Existen infinitas fracciones equivalentes a 1 y son aquellas en las que el numerador y el denominador son iguales. Como: *\dfrac{2}{2},~~* *\dfrac{-7}{-7},~~* *\dfrac{11}{11}.*
Otros 10 ejemplos de fracciones equivalentes son: *\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4};~~* *\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10};~~* *\dfrac{7}{9}=\dfrac{14}{18};~~* *\dfrac{4}{7}=\dfrac{8}{14};~~* *\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12};~~* *\dfrac{2}{5}=\dfrac{24}{60};~~* *\dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{21};~~* *\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8};~~* *\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{40};~~* *\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{45}.*
¿Cómo hallar fracciones equivalentes?
Existen dos formas de hallar fracciones equivalentes a partir de otra: la amplificación y la simplificación. Las veremos a continuación.
Amplificación
La amplificación consiste en obtener una fracción equivalente multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número, distinto de cero.
*\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot n}{b\cdot n}* donde *n≠0*
Ejemplo: Hallar fracciones equivalentes a *\dfrac{8}{3}*
Basta con multiplicar por cualquier número diferente de cero:
*\dfrac{8\cdot 5}{3\cdot 5}=\dfrac{40}{15}*
*\dfrac{8\cdot (-20)}{3\cdot (-20)}=\dfrac{-160}{-60}=\dfrac{160}{60}*
*\dfrac{8\cdot 10}{3\cdot 10}=\dfrac{80}{30}*
Las fracciones *\dfrac{40}{15},~~\dfrac{160}{60}~* y *~\dfrac{80}{30}* son todas equivalentes a *\dfrac{8}{3}.* Y así se podrían seguir hallando más y más fracciones.
Simplificación
La simplificación consiste en obtener una fracción equivalente dividiendo el numerador y el denominador entre un divisor común de ambos.
*\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:n}{b:n}* donde *n≠0*
Ejemplo 1: En la fracción *\dfrac{24}{26},* el numerador y el denominador tienen como divisor común al 2. Dividimos ambos entre ese número:
*\dfrac{24:2}{26:2}=\dfrac{12}{13}*
Podemos comprobar rápidamente que ambas fracciones son equivalentes. No es posible seguir simplificando, pues numerador y denominador no tienen divisores comunes, además del número 1.
Ejemplo 2: La fracción *\dfrac{12}{18}* se puede simplificar con el número 2:
*\dfrac{12:2}{18:2}=\dfrac{6}{9}*
Esta fracción obtenida, como sabemos, es equivalente a la primera. Puede seguirse simplificando, ahora dividiendo los términos entre 3:
*\dfrac{6:3}{9:3}=\dfrac{2}{3}*
Ya no se puede seguir simplificando.
En ambos métodos resulta útil conocer las tablas de multiplicar y los divisores comunes de los números. Así podremos identificar fácilmente aquellos por los que podemos multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción para obtener otra equivalente.
Nota: con la amplificación siempre se pueden obtener nuevas fracciones, pero en la simplificación llegará un momento donde no existan divisores comunes y ya no se pueda continuar simplificando. En tal caso se ha encontrado al llamado equivalente irreducible.
Fracción irreducible
La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equivalente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes, o sea, no se puede simplificar.
De los ejemplos anteriores, *\dfrac{12}{13}* y *\dfrac{2}{3}* son fracciones irreducibles. También lo son las siguientes 5 fracciones: *~\dfrac{1}{2};~* *\dfrac{17}{18},~* *-\dfrac{27}{5},~* *\dfrac{169}{170},~* *-\dfrac{4}{3}.*
No son irreducibles, por ejemplo, las fracciones *2/4,~* *6/12~* y *~12/24.* Todas ellas pueden simplificarse y son equivalentes a la fracción *1/2.*
Para hallar el equivalente irreducible de una fracción, se debe dividir el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos.
Preguntas frecuentes
¿Qué son las fracciones equivalentes?
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad o parte de un todo, pero tienen numeradores y denominadores diferentes.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Dos fracciones son iguales si al multiplicarlas cruzado (numeradores con denominadores), el resultado es el mismo. También, si al simplificarlas a su mínima expresión, ambas son idénticas.
¿Cómo hacer fracciones equivalentes?
Para hacer fracciones equivalentes, se multiplican o dividen tanto el numerador como el denominador por un mismo número entero y distinto de cero.
¿Por qué es útil expresar una fracción en su forma equivalente?
Expresar una fracción en su forma equivalente es útil en varios contextos matemáticos, como la simplificación de problemas, comparación de cantidades, y operaciones con fracciones. También puede hacer más sencillo el cálculo mental al trabajar con fracciones.
¿Qué es una fracción irreducible?
Una fracción irreducible es aquella que ya se encuentra en su forma más simple, es decir, no puede simplificarse más dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número.
¿Cuál es la diferencia entre una fracción irreducible y una fracción equivalente?
Una fracción irreducible es una fracción en su forma más simple, mientras que una fracción equivalente es una fracción que representa la misma cantidad, pero no necesariamente está en la forma más simple.
¿Pueden las fracciones ser equivalentes si tienen numeradores y denominadores diferentes?
Sí, las fracciones pueden ser equivalentes aunque tengan numeradores y denominadores diferentes. Mientras mantengan la misma proporción y representen la misma cantidad, serán consideradas fracciones equivalentes.
