Cómo calcular logaritmos

En este artículo explicamos cómo calcular logaritmos en calculadora y algunas técnicas para hacerlo sin necesidad de calculadora.

Calcular logaritmos en calculadora

Las calculadoras científicas permiten calcular logaritmos decimales (base 10) y logaritmos naturales (base e). Algunas calculadoras modernas permiten también resolver logaritmos de cualquier base, sin embargo, si no se dispone de una de ellas, igual es posible obtener logaritmos sin importar su base usando la propiedad del cambio de base de logaritmos.

Ejemplos

• Para calcular el logaritmo decimal de 100, en la calculadora escribimos “log 100”, el resultado será 2.
• Si queremos obtener el logaritmo natural de 5, en la calculadora escribimos “ln 5”, el resultado será aproximadamente 1,609437912.

Ejemplos 

• Para calcular log₂ 16, en la calculadora escribimos “log 16” y pulsamos igual. El resultado obtenido lo dividimos entre “log 2”, haciendo esto obtendremos que el resultado es 4. Es posible calcular en un solo paso escribiendo en la calculadora “(log 16)÷(log 2)”.
• Si buscamos calcular log₇ 343, en la calculadora escribimos “(log 343)÷(log 7)”, el resultado de esto será 3.
• Para calcular log₅ 300, en la calculadora colocamos “(log 300)÷(log 5)”, la calculadora arrojará el resultado 3,543959311. 

Calcular logaritmos sin calculadora

Calcular logaritmos manualmente puede ser un desafío, pero es posible utilizando propiedades de los logaritmos, métodos de aproximación y series. Estos dos últimos son más complejos y requieren un conocimiento profundo de matemáticas, por tanto solo trataremos el uso de propiedades.

Casos conocidos

Los logaritmos decimales y naturales de potencias de 10 y e siempre darán por resultado la misma potencia. Para logaritmos de cualquier base: log_b (bⁿ)=n. En logaritmos decimales, cada cero que se agregue al argumento representa el aumento en una unidad del valor del logaritmo.

Logaritmos decimales	Logaritmos naturales	Logaritmos binarios
log(1)=0	ln(1)=0	log2(1)=0
log(10)=1	ln(e)=1	log2(2)=1
log(100)=2	ln(e2)=2	log2(4)=2
log(1000)=3	ln(e3)=3	log2(8)=3
log(10000)=4	ln(e4)=4	log2(16)=4
…	…	…

Aplicación de propiedades

Conocer las propiedades de la logaritmación es útil para reescribir y simplificar expresiones que puedan parecer complicadas. Las propiedades más importantes son:

• Multiplicación: *\log_c (ab)=\log_c (a)+\log_c (b)* 
• División: *\log_c (a/b)=\log_c (a)-\log_c (b)*
• Potencia: *\log_c (a^n)=n\cdot \log_c (a)*
• Raíz: *\log_c (\sqrt[n]{a^m})=\dfrac{m \log_c (a)}{n}*
• Cambio de base: *\log_c (a)=\dfrac{\log_b(a)}{\log_b(c)}*

Ejemplo 1

Obtener *\log(\sqrt[3]{10})*

Solución: puede parecer complicado obtener el logaritmo de una raíz cúbica sin una calculadora, sin embargo, podemos reescribir la raíz como un exponente fraccionario:

*\log(\sqrt[3]{10})=\log(10^{1/3})*

Ahora, usando la propiedad de la potencia, se la puede sacar del logaritmo. La expresión que queda es un logaritmo básico:

*\log(10^{1/3})=\dfrac{1}{3} \log (10)*

*=\dfrac{1}{3}*

Ejemplo 2

Calcular *\log (4)+\log (25)*

Solución: se tiene una suma de logaritmos de igual base, por tanto, esto puede escribirse como el logaritmo de un producto y luego resolver.

*\log (4)+\log (25)=\log(4\cdot 25)*

*=\log(100)*

*=2*

Ejemplo 3

Resolver *3\cdot (\log 5+\log 2)*

Solución: la expresión dentro del paréntesis puede escribirse como el logaritmo de un producto y luego resolverse.

*3\cdot (\log 5+\log 2)=3\cdot (\log(5\cdot 2))*

*=3\cdot (\log(10))*

*=3\cdot 1*

*=3*

Ejemplo 4

Calcular *\ln(4)+\ln(16)* sabiendo que *\ln(2)≈0,69.*

Solución: reescribiendo los argumentos como potencias de 2 se puede usar la propiedad de las potencias.

*\ln(4)+\ln(16)=\ln(2^2)+\ln(2^4)*

*=2\ln(2)+4\ln(2)*

*≈2\cdot 0,69+4\cdot 0,69*

*=1,38+2,76*

*=4,14*

Ejemplo 5

Calcular *\ln(0,1)* sabiendo que *\log (e)≈0,43.*

Solución: puede usarse la propiedad del cambio de base y la reescritura del argumento para obtener el valor buscado.

*\ln(0,1)=\dfrac{\log(0,1)}{\log(e)}*

*=\dfrac{\log(10^{-1})}{\log(e)}*

*≈\dfrac{-1}{0,43}*

*≈-2,3*

Ejemplo 6

Resolver *\log(25)* sabiendo que *\log(5)≈0,7*

Solución: reescribiendo el argumento y aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:

*\log(25)=\log(5^2)*

*=2\log(5)*

*≈2\cdot 0,7*

*=1,4*

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