Tautología lógica

En este artículo explicamos la definición de tautología en lógica matemática con ejemplos y tablas de verdad, además vemos sus aplicaciones.

Índice

¿Qué es una tautología?

En lógica proposicional, una tautología o ley lógica es una proposición compuesta que siempre resulta verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman.

Por ejemplo, las siguientes proposiciones compuestas son tautologías:

p ∨ ¬p, también llamado principio del tercero excluído.
¬(p ∧ ¬p), llamado principio de la no contradicción.
¬(¬p) ↔ p, llamado ley de doble negación.
(p ∧ q) → q, es una ley de simplificación.
¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q, llamada ley de De Morgan para la conjunción.
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q, llamada ley de De Morgan para la disyunción.

Tablas de verdad

Para verificar si una proposición es tautológica, se puede construir una tabla de verdad. Si la columna de la proposición resulta ser verdadera para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las variables, entonces la proposición es una tautología.

Ejemplo 1

La tabla de verdad del principio del tercero excluido, p ∨ ¬p, es:

p	¬p	p ∨ ¬p
V	F	V
F	V	V

Nótese que la última columna, la de la proposición original, solo tiene valores verdaderos.

Ejemplo 2

Podemos construir la tabla de verdad de la ley de doble negación, ¬(¬p) ↔ p:

p	¬p	¬(¬p)	¬(¬p) ↔ p
V	F	V	V
F	V	F	V

Ejemplo 3

La tabla de verdad de (p ∧ q) → q muestra que se trata de una tautología:

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → q
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Ejemplo 4

La siguiente es la tabla de verdad de la ley de De Morgan para la conjunción, ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q:

p	q	¬p	¬q	p ∧ q	¬(p ∧ q)	¬p ∨ ¬q	¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q
V	V	F	F	V	F	F	V
V	F	F	V	F	V	V	V
F	V	V	F	F	V	V	V
F	F	V	V	F	V	V	V

Las tautologías se diferencian de las contingencias, las cuales son proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones simples. También las proposiciones tautológicas son las opuestas de las contradicciones, las cuales son siempre falsas. Toda tautología es la negación de una contradicción.

Para obtener la tautología asociada a una contradicción basta con negar esa proposición. Así, por ejemplo, la negación de la contradicción p ∧ ¬p es ¬(p ∧ ¬p), el cual es el principio de la no contradicción, una tautología.

Las tautologías son fundamentales en lógica simbólica porque permiten, entre otras cosas:

Demostrar la validez de argumentos: si un argumento se puede demostrar como una tautología, significa que es válido en todas las interpretaciones posibles.
Ayudar a simplificar expresiones lógicas: se pueden usar para reescribir o simplificar expresiones lógicas más complejas.
Diseñar circuitos lógicos: las tautologías se pueden usar para crear circuitos lógicos que siempre producen el resultado correcto, independientemente de las entradas.