Números racionales
En este artículo explicamos el conjunto de los números racionales desde su concepto, definición, propiedades, operaciones, formas de escritura, entre otras cosas.
Índice
¿Qué son los números racionales?
Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como un cociente (división) de dos números enteros. En otras palabras, los números racionales son fracciones a/b donde a y b son números enteros y b no es cero.
Una característica importante de los números racionales es que su expresión decimal es finita o infinita y periódica, lo que significa que hay un grupo de sus cifras que se repiten. Todos los números naturales y enteros son también números racionales.
¿Por qué surgen los números racionales?
Los números naturales y los enteros resultan insuficientes para representar relaciones entre una parte y el todo. Por ejemplo, si dividimos una barra en tres partes iguales, no existe un número entero que represente a una de esas partes. Desde el punto de vista matemático, ecuaciones del tipo *3x=1* no pueden resolverse con números enteros.
Por estas limitaciones, surge el concepto de fracciones, las cuales son expresiones de la forma *\dfrac{a}{b},* donde *a* y *b* son números enteros y *b* es distinto de cero. El número *a* es llamado numerador, y representa la cantidad de partes iguales que se toman de un todo. El número *b* es llamado denominador, y representa la cantidad de partes iguales en las que se divide a un todo.
Estos nuevos números nos permiten expresar las relaciones que hay entre una parte y un todo. Por ejemplo:
- Si una barra de chocolate se divide en tres partes iguales, cada una de ellas representa 1/3 del total.
- Si hay 10 caramelos para repartir entre 5 personas, cada una recibirá 10/5 del total, lo que es igual a 10:5=2 caramelos por persona.
- Un día tiene 24 horas, por lo cual 18 horas representan 3/4 del día. Se ha dividido el día en 4 partes de 6 horas cada una.
- La ecuación *3x=1* tiene por solución a la fracción *x=\dfrac{1}{3},* porque *3\cdot \dfrac{1}{3}=1.*
Conjunto de los números racionales
Al conjunto de todas las fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se lo simboliza con la letra Q:
*\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\hspace{1mm}\text{tales que a, b son enteros y b no es 0}\right\}*
Todo número entero es una fracción con denominador 1. Por ejemplo: *3=3/1,-4=-4/1, 0=0/1.* Por esto, todos los números enteros también son números racionales. Además, todos los números racionales son números reales.
Otros ejemplos de números racionales son: *\dfrac{5}{8},-\dfrac{100}{5},\dfrac{40}{97},-\dfrac{1}{7}, \dfrac{2}{5}, -\dfrac{20}{14}.*
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Propiedades de los números racionales
El conjunto Q tiene las siguientes propiedades y características:
- Es infinito: existe una cantidad ilimitada de números racionales. Siempre se pueden generar nuevas fracciones.
- No tiene primer ni último elemento: no existe un racional que sea más pequeño que todos ni uno que sea el más grande.
- Es un conjunto denso: entre dos números racionales cualesquiera, siempre existen infinitos números racionales. Esto también implica que, a diferencia de los números enteros, no existen sucesores y antecesores.
- No es un conjunto continuo ni completo: los números racionales no alcanzan a cubrir toda la recta numérica, existen "huecos" o "espacios vacíos" en esta recta que no están ocupados por números racionales. Estos huecos los ocupan los números irracionales, como *\sqrt{2}* o *\pi,* los cuales no pueden representarse como fracciones.
- Es un conjunto ordenado: Los números racionales están totalmente ordenados, lo que significa que siempre podemos saber si una fracción es más grande, más pequeña o igual que otra. En particular, dadas dos fracciones *\dfrac{a}{b}* y *\dfrac{c}{d},* se cumple que *\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}* si y sólo si *ad<bc.*
- Expresión decimal: todo número racional puede ser expresado como un decimal exacto o un decimal periódico.
Representación decimal
Como dijimos, todo número racional puede expresarse en forma decimal. Para conseguir esto, se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo *\dfrac{3}{10}=0,3;~\dfrac{9}{4}=2,25.* Estos números que tienen una cantidad finita de cifras decimales reciben el nombre de decimales exactos o terminantes.
Existen otros racionales cuya representación decimal no es exacta sino repetitiva, tienen infinitas cifras decimales y reciben el nombre de decimales periódicos. Por ejemplo, *\dfrac{1}{3}* se representa decimalmente como *0,3333...,* con repetición del dígito 3, y *\dfrac{47}{11}* puede representarse como *4,2727272...,* donde los dígitos 2 y 7 se repiten en ese mismo orden. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período.
Dentro de los decimales periódicos encontramos dos grupos:
- Los decimales periódicos puros: aquellos en los que el período empieza inmediatamente después de la coma. Ejemplo: *1,3333333…*
- Los decimales periódicos mixtos: aquellos que tienen algunas cifras después de la coma que no se repiten y constituyen el llamado anteperiodo. Ejemplo: *1,06666…* (el 0 no forma parte del período).
Una forma más compacta de escribir a los decimales periódicos sin recurrir a los puntos suspensivos es colocar una barra sobre las cifras que se repiten. Por ejemplo:
*\dfrac{1}{3}=0,3333...=0,\overline{3}*
*\dfrac{2}{3}=0,6666...=0,\overline{6}*
*\dfrac{16}{15}=1,06666...=1,0\overline{6}*
Podemos definir entonces cuatro tipos de números racionales: enteros (aquellos con denominador 1), decimales exactos, decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos.
Representación en la recta numérica
Los números racionales se pueden ubicar en la recta numérica.
Es imposible ubicar todas las fracciones, porque son infinitas. Aun así, como dijimos antes, los números racionales no completan la recta numérica, pues quedan espacios vacíos que corresponden a números irracionales.
Operaciones con números racionales
Las operaciones básicas y fundamentales entre números racionales son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Definiremos cada una de ellas.
Suma y resta: *\dfrac{a}{b}±\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad±bc}{bd}*
Multiplicación: *\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}*
División: *\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}*
Puedes ver más a detalle cada operación y ejemplos de ellas en este artículo:
Propiedades de las operaciones
Enunciaremos brevemente las propiedades de las operaciones con números racionales.
1) Propiedad de cerradura: al realizar una operación entre dos números racionales, el resultado también es un número racional. Es importante aclarar que la división por cero no está permitida.
2) Propiedad conmutativa: el orden de los números no afecta el resultado. Se cumple para la suma y la multiplicación.
*\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}*
*\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{a}{b}*
3) Propiedad asociativa: el agrupamiento de los números no afecta el resultado. Se cumple para la suma y la multiplicación.
*\dfrac{a}{b}+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\dfrac{e}{f}*
*\dfrac{a}{b}\cdot \left(\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{e}{f}\right)=\left(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}\right)\cdot \dfrac{e}{f}*
4) Propiedad distributiva: la multiplicación se distribuye sobre la suma.
*\dfrac{a}{b}\cdot \left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{e}{f}*
5) Elemento neutro: existe un elemento neutro para la suma y la multiplicación en los números racionales.
- Para la suma, el elemento neutro es *\dfrac{0}{1},* ya que *\dfrac{a}{b}+\dfrac{0}{1}=\dfrac{a}{b}.*
- Para la multiplicación, el elemento neutro es *\dfrac{1}{1},* pues *\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{1}=\dfrac{a}{b}.*
6) Elementos simétricos: existen elementos simétricos para la suma y la multiplicación.
- Para la suma, el simétrico de una fracción *\dfrac{a}{b}* es *-\dfrac{a}{b},* porque *\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0*
- Para la multiplicación, el simétrico de una fracción *\dfrac{a}{b}* es *\dfrac{b}{a},* porque *\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a}=1*
Limitaciones de los números racionales
La limitación de los números racionales está relacionada con el hecho de que no son capaces de completar todos los espacios de la recta numérica. En efecto, existen números que no pueden expresarse como fracciones, estos son llamados números irracionales. Algunos ejemplos de esta limitación son:
- No se puede expresar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud 1. La aplicación de Teorema de Pitágoras conduce a que la hipotenusa tiene longitud *\sqrt{2},* la cual no es un número racional.
- No existe un número racional que resuelva la ecuación *x^2=3,* pues una de las soluciones es *\sqrt{3},* la cual no es un número racional.
- La razón entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia no es un número racional. Este número es *\pi,* un conocido irracional.
Para solventar estas limitaciones, se introduce un conjunto de números más amplio: el de los números reales. Este conjunto incluye tanto a los números que pueden escribirse como fracción (racionales) y a los que no pueden hacerlo (irracionales).
Preguntas frecuentes
¿Qué es un número racional?
Un número racional es cualquier número que se pueda expresar como el cociente de dos números enteros, donde el denominador no es cero. Por ejemplo: 1/2, 3/4, -5/3, 27/7.
¿Para qué sirven los números racionales?
Los números racionales se utilizan para representar las partes de un todo o divisiones de números enteros.
¿Cuál es la diferencia entre un número racional y un número entero?
La diferencia principal entre un número racional y un número entero es que los números enteros son un conjunto que incluye a los números naturales y sus opuestos, mientras que los números racionales son un conjunto más amplio que incluye a todos los números enteros y también las fracciones.
¿Cómo se puede identificar un número racional?
Un número se puede identificar como racional si puede expresarse como el cociente de dos números enteros.
¿Cómo se representan los números racionales en forma decimal?
Los números racionales se pueden representar en forma decimal dividiendo el numerador entre el denominador. Si la división termina, la forma decimal es finita; de lo contrario, es infinita y periódica.
