Función racional
En este artículo explicamos las funciones racionales fraccionarias pasando por su definición, ejemplos, propiedades y elementos como dominio, gráfica y asíntotas, entre otras cosas.
Índice
¿Qué es una función racional?
Una función racional es una función algebraica que puede expresarse como la razón o cociente de dos funciones polinómicas, donde el denominador no es el polinomio nulo. Es decir, se representa de la forma f(x)=P(x) / Q(x) donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas y Q(x)≠0.
Algunos ejemplos de funciones racionales son:
- *f(x)=\dfrac{x-1}{2x^3+x^2+27}*
- *g(x)=\dfrac{-7x^2+2x+1}{x^5-3}*
- *y=\dfrac{3}{x^2}*
- *h(x)=\dfrac{x^3+2x^2-x}{x+1}*
- *y=\dfrac{1+x}{1-x}*
La fórmula general de la función racional es la siguiente:
*f(x)=\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0}*
Nótese que toda función polinómica es una función racional con denominador 1.
El exponente más alto de la variable x en el numerador es el grado del numerador, de forma similar ocurre con el grado del denominador. Por ejemplo, *f(x)=\dfrac{x-1}{2x^3+x^2+27}* tiene numerador de grado 1 y denominador de grado 3. En *y=\dfrac{3}{x^2},* el grado del numerador es cero (porque se puede entender como *3x^0*), y el grado del denominador es 2. Los números que multiplican a las x de mayor exponente se llaman coeficientes principales.
Una función racional propia es aquella donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador, n<m. Se llama función racional impropia a aquella donde el grado del numerador es mayor que el del denominador, n>m.
Ejemplos:
- *y=\dfrac{2x+1}{x^2+3x+3}* es una función propia, pues el grado del numerador es 1 y el del denominador es 2, y 1<2.
- *y=\dfrac{5x^4-x^2+3}{x^2+4}* es una función impropia, pues el grado del numerador es 4 y el del denominador es 2, y 4>2.
Toda función racional impropia se puede escribir como una suma entre una función polinómica y una función racional propia. Esto se logra calculando el cociente entre el polinomio numerador y el denominador.
Si el numerador y el denominador no tienen factores comunes, se dice que la función está en términos mínimos, simplificada o es irreducible. En caso contrario se dice que es reducible, de tal manera que se pueden eliminar los factores repetidos y obtener una forma simplificada.
Por ejemplo, la función *f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}* es reducible, pues el numerador puede factorizarse:
*f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}*
Si x≠2, podemos simplificar de la siguiente manera:
*f(x)=\dfrac{{\cancel{(x-2)}}(x+2)}{\cancel{x-2}}=x+2*
La nueva función coincide con la original en todos los puntos excepto en x=2, donde no está definida. La importancia de saber si una función racional es o no reducible se verá más adelante a la hora de calcular asíntotas.
Características y propiedades
Hay ciertas propiedades que caracterizan a las funciones racionales, las más importantes son:
- El dominio de toda función racional está formado por todos los números reales que no anulan al denominador.
- Toda función racional en donde el grado del denominador es mayor o igual al del numerador tiene asíntotas ya sea verticales, horizontales u oblicuas.
- Toda función racional es continua en su dominio. Los "saltos", "huecos" o "quiebres" que puede haber en la gráfica se producen en puntos que no pertenecen al dominio.
Elementos de una función racional
Describiremos a continuación los elementos principales que permiten realizar el análisis de funciones racionales.
Dominio
Como dijimos antes, el dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan al denominador. Esto se debe a que la división por cero no está definida en matemáticas. En símbolos, si f es una función racional, entonces:
*D_f=\mathbb{R}-\{x~|~q(x)=0 \}*
Ejemplo: hallar el dominio de *f(x)=\dfrac{x^3+15}{x^2-1}*
Solución: Tenemos que encontrar aquellos valores que hacen cero al denominador, para excluirlos del dominio. Con este propósito, resolvemos la ecuación:
*x^2-1=0*
Las soluciones son *x=-1* y *x=1,* por lo tanto, dichos valores quedan excluidos del dominio:
*D_f=\mathbb{R}-\{-1,1\}*
Importante: el dominio siempre se determina a partir de la expresión original, no importa si esta es o no la forma irreducible.
Gráfica
La gráfica de una función racional puede ser muy variada, para realizarla hay que poner atención en:
- El dominio.
- Las asíntotas.
- Los grados del numerador y denominador.
- Las intersecciones con los ejes.
También es importante atender a las siguientes preguntas:
- ¿Qué sucede con los valores *f(x)* cuando *x* está cercana (pero no es igual) a un cero del denominador?
- ¿Qué se puede decir de los valores de función *f(x)* cuando los valores de *x* crecen o decrecen sin límites?
Comenzaremos con el estudio de las asíntotas y veremos qué relación tienen con los grados del numerador y del denominador.
Asíntotas
Una asíntota es una recta a la cual la gráfica de una función se acerca cuando la variable independiente tiende a un determinado valor o cuando crece o decrece sin límites.
Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. Si una función tiene asíntota vertical, podrá tener también una horizontal, pero no una oblicua (y viceversa).
Frecuentemente se dice que la gráfica de una función no toca nunca a una asíntota, sino que solo se acerca a ella; sin embargo, una función racional puede cortar tanto a una asíntota oblicua como una horizontal, pero no a una vertical.
Asíntota vertical
Definición: La recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de una función racional si las imágenes crecen o decrecen sin límite cuando x se aproxima a a ya sea por la izquierda o la derecha.
El comportamiento de una función racional cuando se acerca a una asíntota vertical se conoce como salto al infinito (porque los valores tienden a infinito). Esto produce una discontinuidad en la gráfica.
Las funciones racionales pueden tener infinitas asíntotas verticales. Estas se dan en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador. Es decir, si el denominador tiene una raíz en x=a, pero este valor no es raíz del numerador, entonces la función tiene una asíntota vertical de ecuación x=a.
Teorema: La gráfica de una función racional de la forma *\dfrac{p(x)}{q(x)},* donde *p(x)* y *q(x)* no tienen factores comunes, tiene a la recta *x=a* como asíntota vertical cuando *q(a)=0*
En otros términos, el teorema nos dice que una función racional irreducible tiene asíntotas verticales en todos los valores que anulan a su denominador. Sabiendo esto, tenemos una forma para hallarlas.
Ejemplo: *f(x)=\dfrac{1}{x-1}*
La función está en forma irreducible y el valor x=1 anula al denominador, por tanto, en este valor existe una asíntota vertical. Analizaremos qué ocurre con la función cuando x se acerca al número 1.
| x | f(x) |
|---|---|
| 0,9 | -10 |
| 0,99 | -100 |
| 0,999 | -1000 |
| 1 | No existe |
| 1,001 | 1000 |
| 1,01 | 100 |
| 1,1 | 10 |
Cuando más nos acercamos al 1, se hacen más grandes en valor absoluto los valores de f(x). Por tanto, confirmamos que existe una asíntota vertical en x=1.
Importante: Si una función racional no está simplificada, la aplicación del teorema dará como resultado una lista incorrecta de asíntotas verticales. Si un valor x=a anula tanto al denominador como al numerador, significa que (x-a) es factor de ambos, con lo cual se puede cancelar. Esto causa que en x=a no haya un salto al infinito (no hay asíntota), sino que solo será un hueco en la gráfica.
Asíntota horizontal
Definición: La recta y=c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función racional si las imágenes se acercan a c cuando x se hace muy grande en valor absoluto, esto es, cuando es cada vez más positiva o más negativa (tiende a infinito o menos infinito).
La gráfica de una función racional puede tener, como mucho, una asíntota horizontal.
Teorema: dada una función racional, ocurre lo siguiente con su gráfica:
- Si el grado del numerador es menor que el del denominador, el eje x (recta y=0) es la asíntota horizontal de la gráfica.
- Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la recta horizontal cuya ecuación es la razón entre los coeficientes principales, es la asíntota horizontal de la gráfica.
- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no existe asíntota horizontal.
Ejemplo 1: *f(x)=\dfrac{x^2-5}{x^3+1}*
Estamos frente al primer caso, pues el grado del numerador es menor que el denominador. Por tanto, la recta y=0 es la asíntota horizontal de la gráfica.
En una tabla podemos ver que para valores más grandes o más pequeños de x, el valor de f(x) se acerca más a cero.
| x | f(x) |
|---|---|
| -1000 | -0,00099 |
| -100 | -0,0099 |
| -10 | -0,095 |
| 10 | 0,095 |
| 100 | 0,0099 |
| 1000 | 0,00099 |
Ejemplo 2: *f(x)=\dfrac{3x^2+6x-8}{5x^2-1}*
Estamos frente al caso 2, pues numerador y denominador tienen el mismo grado. En este caso, la recta obtenida de la razón entre los coeficientes principales será la asíntota horizontal. Los coeficientes principales del numerador y denominador son 3 y 5, respectivamente, entonces y=3/5 es asíntota horizontal de la gráfica.
Ejemplo 3: *f(x)=\dfrac{x^6}{x-1}*
Estamos frente al tercer caso: el grado del numerador supera al del denominador. Por tanto, no existe asíntota horizontal. En estos casos, bajo ciertas condiciones, puede existir otro tipo de asíntota, la cual veremos a continuación.
Asíntota oblicua
Definición: Se dice que una recta y=mx+b, con m≠0, es una asíntota inclinada, o asíntota oblicua, de la gráfica de una función racional si las imágenes se acercan a la recta cuando x se hace muy grande en valor absoluto, esto es, cuando es cada vez más positiva o más negativa (tiende a infinito o menos infinito).
Teorema: si en una función racional, el grado del numerador supera en una unidad al grado del denominador, entonces la gráfica de la función tiene una asíntota oblicua.
Para hallar esta asíntota podemos usar la división larga para expresar la función de la forma
*f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}=(mx+b)+\dfrac{r(x)}{q(x)}*
donde el grado de *r(x)* es menor que el grado de *q(x)*
En otros términos, la asíntota oblicua de la función es el cociente que surge de realizar la división de los polinomios numerador y denominador.
Ejemplo: *f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}*
Por ser el grado del numerador superior en una unidad al grado del denominador, existe una asíntota oblicua. La extraemos del cociente de la división de polinomios:
Entonces, la recta *y=x+3* es la asíntota oblicua de la gráfica.
Si una función racional posee asíntota oblicua, puede tener asíntotas verticales, pero no puede tener una asíntota horizontal. La gráfica de una función puede cortar una asíntota oblicua.
Raíces
Recordemos que las raíces o ceros de una función son los valores donde la función vale cero, geométricamente es donde la gráfica corta al eje x.
Si una función racional *f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}* esta está en forma irreducible, las raíces del polinomio numerador *p(x)* son también las raíces de la función f.
Ejemplo: *f(x)=\dfrac{x-3}{x^2+1}*
Analizando la función concluimos que está en forma irreducible. Por tanto, las raíces de la función son las raíces del numerador, es decir, debemos buscar los números que cumplen:
*x-3=0→x=3*
Entonces, x=3 es el cero de f.
Es importante que la función esté en forma irreducible, ya que de otro modo obtendremos una lista errónea de raíces.
Intersección con el eje y
Si el cero es parte del dominio de una función racional, la intersección con el eje y está garantizada, y se dará en f(0). Algunas veces esta es llamada ordenada al origen, aunque este nombre está reservado para el caso de funciones lineales.
Ejemplo: *f(x)=\dfrac{1}{x-1}*
El número cero forma parte del dominio, pues no anula al denominador. Por tanto, existe intersección con el eje de ordenadas, la cual se da en:
*f(0)=\dfrac{1}{0-1}=-1*
Casos especiales
Veremos dos casos particulares de funciones racionales que se estudian con frecuencia.
Función homográfica
Una función homográfica es una función racional cuyo numerador es un polinomio de grado menor o igual que uno y el denominador es un polinomio de grado uno. Tiene la siguiente forma:
*f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}*
donde *c≠0* y *ad≠bc*
El dominio está formado por todos los números reales exceptos aquellos que hacen cero al denominador, es decir, el valor excluido es aquel que hace:
*cx+d=0*
*x=-\dfrac{d}{c}*
*D_f=\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}*
La gráfica de la función posee una asíntota vertical en este mismo punto, es decir, *x=-\dfrac{d}{c}* es una asíntota vertical de la gráfica. Por no haber más raíces del denominador, esta asíntota es única.
La función puede tener una raíz en el valor de *x* que hace *ax+b=0,* es decir, en *x=-\dfrac{b}{a}.* Si ocurre que *a=0,* la función no tiene raíz.
Si el número cero está dentro del dominio, existe intersección con el eje y, la cual se da en la imagen de este número:
*f(0)=\dfrac{a(0)+b}{c(0)+d}=\dfrac{b}{d}*
Las funciones homográficas tienen una asíntota horizontal cuya ecuación es *y=\dfrac{a}{c}.* Nunca cortan a esta asíntota, con lo cual existe solo un número excluido de su rango, por tanto:
*R_f=\mathbb{R}-\left\{\dfrac{a}{c}\right\}*
Función de proporcionalidad inversa
Dos variables son inversamente proporcionales si su producto es igual a una constante k, siendo k≠0.
*xy=k*
Esta relación se puede representar mediante una función de la forma
*y=\dfrac{k}{x}→f(x)=\dfrac{k}{x}*
Esta es llamada función de proporcionalidad inversa. Si ocurre que *k=1,* la expresión recibe el nombre de función recíproca.
Observe que se trata de una función racional homográfica donde p(x)=k y q(x)=x. Por este motivo, hereda algunos de sus elementos.
- Dominio: *\mathbb{R}-\{0\}*
- Rango: *\mathbb{R}-\{0\}*
- Asíntota horizontal: recta *y=0* (el eje *x*)
- Asíntota vertical: recta *x=0* (el eje *y*)
- Raíz: No tiene
- Intersección con el eje y: No tiene
Preguntas frecuentes
¿Cómo identificar una función racional?
Para identificar una función racional debemos fijarnos en su ecuación: si es un cociente de dos funciones y estas dos son polinómicas, entonces se trata de una función racional.
¿Qué son las asíntotas de una función racional?
Las asíntotas de una función racional son rectas a la cuales la gráfica de la función se acerca cuando la variable independiente tiende a un determinado valor o cuando crece o decrece sin límites.
¿Cuántos tipos de asíntotas puede tener una función racional?
Las funciones racionales pueden tener hasta tres tipos de asíntotas: verticales, surgen cuando el denominador se anula, creando discontinuidades; horizontales, presentes cuando la función se acerca a un valor al tender hacia infinito; y oblicuas, que aparecen en casos específicos donde el grado del numerador es uno mayor que el del denominador, generando una recta inclinada como asíntota cuando la variable independiente tiende a infinito.
