Función lineal

En este artículo estudiamos las funciones lineales. Analizamos su definición, características, elementos, casos especiales y aplicaciones. Además, vemos varios ejemplos y gráficas.

Definición

Una función lineal es una función algebraica de la forma *f(x)=mx+b,* donde m y b son números reales cualesquiera.

Dicho de otro modo, una función lineal es una función polinómica de grado 1 (cuando m es diferente de cero) o de grado 0 (cuando m es igual a cero). El término *mx* se llama término lineal, m es el coeficiente del mismo; el número b se llama término independiente.

Algunos ejemplos de funciones lineales son:

*y=2x+1*

*f(x)=-6*

*g(x)=-x*

*h(x)=-3x-6*

*v=3u+1*

En algunas bibliografías se llama función afín a una de función de la forma *f(x)=mx+b,* reservando el nombre de "función lineal" para aquella en la que *b=0,* es decir, *f(x)=mx* (esta también recibe el nombre de función de proporcionalidad directa). En este artículo trataremos a las funciones lineales y afines como la misma cosa.

Características y elementos

Una función lineal está compuesta por varios elementos que describen su comportamiento y le dan sus características especiales. Estos elementos son:

  1. Variables.
  2. Dominio.
  3. Rango.
  4. Gráfica.
  5. Pendiente.
  6. Ordenada al origen.
  7. Raíz.

Variables

Variable independiente: es la variable que se utiliza como entrada en la función. Representa los valores que pueden variar dentro de la función. Generalmente se la representa con la letra *x.*

Variable dependiente: es el valor de salida que resulta de aplicar la función a la variable independiente. La variable dependiente cambia según los valores de la variable independiente de acuerdo con la regla de definición. Generalmente se la representa con la letra *y* o *f(x).*

Dominio y rango

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente. El rango de una función es el conjunto de todos los valores que resultan de aplicar la función a cada número del dominio.

El dominio de una función lineal es el conjunto de los números reales, esto es porque se trata de una función polinómica y no existen restricciones para los valores de entrada.

El rango de una función lineal es el conjunto de los números reales (cuando m es distinto de cero) o el conjunto cuyo único elemento es b: *\{b\}* (cuando m es igual a cero), esto último es porque la función toma un solo valor para cualquier elemento del dominio.

Gráfica

La representación gráfica de una función lineal es una línea recta en un sistema de coordenadas cartesianas. Por este hecho es que se le da el nombre de "lineal".

Si conocemos la ecuación de una función lineal, para representarla gráficamente basta determinar dos de sus puntos y trazar la recta que pasa por ellos. Con el fin de evitar errores, se recomienda hallar varios puntos antes de trazar la recta, de este modo cualquier error de cálculo quedará en evidencia ya que los puntos no están alineados.

Ejemplo: *f(x)=2x-3*

Hallamos algunos puntos de la gráfica a través de una tabla de valores:

xy=f(x)(x, y)
-22(-2)-3= -7(-2, -7)
-12(-1)-3= -5(-1, -5)
02(0)-3= -3(0, -3)
12(1)-3= -1(1, -1)
22(2)-3= 1(2, 1)

En la última columna vemos los puntos que debemos ubicar en un plano cartesiano:

Puntos de una función lineal en el plano cartesiano
Puntos de la función lineal

Habiendo confirmado que los puntos están alineados, procedemos a trazar la recta que pasa por ellos y escribir la fórmula de la función que estamos representando. Con ello nuestro trabajo está concluido.

Gráfico de la función lineal y=2x-3
Gráfica de la función lineal

Pendiente

La pendiente de una función lineal es el coeficiente del término lineal, o sea, el número *m.* Este valor indica la inclinación de la recta que representa la función en un sistema de coordenadas cartesianas.

La pendiente también determina si la función lineal es creciente o decreciente: si es positiva, entonces la función es creciente; si es negativa, la función es decreciente. Cuando la pendiente es cero, la función no es creciente ni decreciente, sino que es constante.

En el siguiente gráfico vemos cómo afecta el signo de la pendiente a la gráfica:

Cómo afecta la pendiente a una función lineal. Pendiente positiva, negativa y cero. Creciente, decreciente y constante.
Cómo influye la pendiente a la gráfica de una función lineal

Cuando tenemos la ecuación de una función lineal, hallar la pendiente consiste en encontrar el valor que multiplica a la x (la variable independiente). Si en la ecuación no aparece la *x,* significa que la pendiente es cero.

Ejemplos:

  • La función *y=2x+1* tiene pendiente 2; como es un número positivo, la función es creciente.
  • *f(x)=-6* tiene pendiente 0, pues no se ve la variable independiente en la ecuación. Por esto mismo, la función es constante.
  • *g(x)=-x-1* tiene pendiente -1; por ser un número negativo, la función lineal de decreciente.

También se puede hallar la pendiente de una función lineal a partir de su gráfica. Para esto, utilizamos la siguiente propiedad.

Si tomamos dos puntos de una recta, *(x_1,y_1)* y *(x_2,y_2),* calculamos la diferencia entre las y: *Δy=y_2-y_1* y la diferencia entre las x: *Δx=x_2-x_1* y luego realizamos el cociente *\dfrac{Δy}{Δx},* veremos que este número coindice con la pendiente de la recta. Es decir, la pendiente de una función lineal es la razón entre la variación en *y* y la variación en *x:*

*m=\dfrac{Δy}{Δx}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}*

Ejemplo:

Queremos determinar la pendiente de una función lineal que pasa por los puntos *(-2,-7)* y *(-1,-5).* Para esto, calculamos las variaciones:

*Δy=y_2-y_1=-5-(-7)=2*

*Δx=x_2-x_1=-1-(-2)=1*

Teniendo estos números hallamos el cociente: *\dfrac{Δy}{Δx}=\dfrac{2}{1}=2*

Entonces, la pendiente que buscábamos es *m=2.*

Ordenada al origen

La ordenada al origen de una función lineal es el valor de su término independiente. Gráficamente, representa el punto en el cual la gráfica corta al eje y (cuando x es igual a cero).

Para hallar la ordenada al origen, basta con encontrar el término en la ecuación que no tiene x. Una función lineal siempre tiene ordenada al origen. Si esta no se ve en la ecuación, es porque es igual a cero.

Ejemplos

  • La función *y=2x+1* tiene ordenada al origen *1.*
  • *f(x)=-6* tiene ordenada al origen *-6.*
  • *g(x)=-x-1* tiene ordenada al origen *-1.*
  • *h(x)=2x* tiene ordenada al origen igual a *0.*

Para hallar gráficamente la ordenada al origen, es necesario encontrar el punto donde la recta corta al eje vertical. Nótese que si en una función *f(x)=mx+b* hacemos *x=0,* ocurre que

*f(0)=m(0)+b→f(0)=b.*

Entonces, la gráfica de una función lineal corta al eje y en el punto *(0,b),* siendo b la ordenada al origen.

Por ejemplo, la gráfica de la siguiente función corta al eje vertical en *1,* este valor es su ordenada al origen. Este dato coincide con el que obtendríamos si miramos la ecuación.

Gráfica de una función lineal
Gráfica de una función lineal

Raíz

La raíz o cero de una función lineal es la coordenada x del punto donde la gráfica corta al eje x.

Para calcular la raíz de la función, se iguala la ecuación a *0* y se despeja *x:*

*mx+b=0→x=-\dfrac{b}{m}*

Entonces, la gráfica corta al eje x en el punto *(-b/m,0),* siendo la raíz de la función el valor *x=-\dfrac{b}{m}.* No es necesario memorizar esta fórmula, es suficiente con conocer el procedimiento de igualar a cero y luego despejar.

Ejemplo:

Para hallar la raíz de *f(x)=2x+1,* igualamos la ecuación cero y despejamos x:

*2x+1=0*

*2x=-1*

*x=-\dfrac{1}{2}*

Entonces, la raíz de la función es *x=-\dfrac{1}{2},* con lo cual la gráfica corta al eje x en el punto *(-1/2, 0).* Se puede comprobar que el cálculo es correcto mirando la gráfica anterior (*-1/2* es *-0,5* en escritura decimal).

Casos especiales

Existen dos casos especiales de funciones lineales que pueden darse para determinados valores de pendiente y ordenada al origen. Veremos ambos a continuación.

Función constante

La función constante se da cuando la pendiente es cero (m=0). La ecuación tiene la forma *f(x)=b* y su gráfica es una línea horizontal. La ordenada al origen es b y la función no tiene raíz (salvo cuando b=0).

Ejemplo: *f(x)=3*

Gráfica de la función constante y=3
Gráfica de una función constante

Función identidad

La función identidad se da cuando la pendiente es 1 (m=1) y la ordenada al origen es cero (b=0). Su ecuación es *f(x)=x,* y la gráfica es una recta que pasa por el origen con un ángulo de 45° respecto al eje x.

Gráfica de la función identidad f(x)=x
Gráfica de la función identidad

Aplicaciones de las funciones lineales

Las funciones lineales son de las más simples que podemos estudiar y tienen aplicaciones en diversos campos. A continuación veremos dos ejemplos de aplicación a la economía.

Funciones de costo

Los taxis de una localidad cobran $5 por la bajada de bandera y $2 por cada kilómetro recorrido. Se pide:

  1. Encontrar una función que permita calcular el costo del viaje cualquiera sea la distancia recorrida.
  2. Calcular el costo de recorrer 2km; 5,6km y 200km.

1) Sabemos que la bajada de bandera es un costo fijo que se paga por empezar un viaje, entonces siempre estará sumándose al costo final. Luego, si *x* es la cantidad de kilómetros recorridos, el costo por ellos será de *2x.* El costo por el viaje será entonces *2x+5,* la cual es una función lineal que podemos escribir de la siguiente forma:

*C(x)=2x+5*

2) Para cualquier *x* (cantidad de kilómetros recorridos) podemos calcular el costo del taxi mediante la fórmula anterior.

Si *x=2→C(2)=2\cdot(2)+5=9,* entonces, un viaje de 2 km cuesta $9.

Si *x=5,6→C(5,6)=2\cdot(5,6)+5=16,2,* entonces, un viaje de 5,6 km cuesta $16,2.

Si *x=200→C(200)=2\cdot(200)+5=405,* entonces, un viaje de 200 km cuesta $405.

Cálculo de interés simple

El interés simple es un método de calcular el interés sobre un préstamo o inversión en el que se aplica un porcentaje fijo al monto inicial durante un período de tiempo específico. En el interés simple, el interés se calcula únicamente sobre el monto original sin considerar los intereses generados anteriormente.

El interés *I* generado con un capital incial *C* con una tasa de interés *i* (en forma decimal) en *t* períodos de tiempo es:

*I=C\cdot i\cdot t*

El interés simple es directamente proporcional al monto principal, a la tasa de interés y al tiempo. A medida que cualquiera de estos elementos aumenta, el interés total también aumenta linealmente.

Si se dejan fijas dos de las variables, por ejemplo, el capital inicial y la tasa de interés, el interés se convierte en una función lineal que depende de la cantidad de tiempo (en períodos):

*I(t)=C\cdot i\cdot t*

Ejemplo: Dado un capital inicial de $100 y una tasa de interés del 2% mensual (0,02 en decimal), el interés generado en *t* meses es:

*I(t)=(100)\cdot (0,02)\cdot t=2t*

Esta es una función lineal con variable independiente *t* y variable dependiente *I.* Nos permite conocer el interés en función de la cantidad de meses transcurridos:

  • Luego de 3 meses, el interés generado es: *I(3)=2\cdot 3=6,* o sea, $6.
  • Luego de 18 meses, el interés es: *I(18)=2\cdot 18=36,* o sea, $36.
  • Luego de 24 meses, el interés generado es: *I(24)=2\cdot 24=48,* o sea, $48.

Ejercicios para practicar

Ejercicio: Dadas las siguientes funciones, determinar cuáles son lineales y cuales no son lineales. En el caso de las lineales, hallar la pendiente y la ordenada al origen.

  1. *y=-\dfrac{1}{2}x+1*
  2. *y=\sqrt{2}~x*
  3. *y=-7+x^2*
  4. *y=-x-5-6*
  5. *y=2\pi+\pi x*
  6. *y=\sqrt{x}+3*
  7. *y=-2(x-7)+5*
  8. *y=-x^3+2*
  9. *y=x+\sqrt{5}*
  10. *y=\sqrt{7}~x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}*

Soluciones:

  1. *y=-\dfrac{1}{2}x+1* es una función lineal. Su pendiente es *-\dfrac{1}{2}* y ordenada al origen *1.*
  2. *y=\sqrt{2}~x* es una función lineal. La pendiente es *\sqrt{2}* y la ordenada al origen *0.*
  3. *y=-7+x^2* no es una función lineal porque tiene un término cuadrático.
  4. *y=-x-5-6* es una función lineal. La podemos reescribir como *y=-x-11.* La pendiente es *-1* y la ordenada al origen *-11.*
  5. *y=2\pi+\pi x* es una función lineal. La pendiente es *\pi* y la ordenada al origen es *2\pi.*
  6. *y=\sqrt{x}+3* no es una función lineal porque la *x* está dentro de una raíz.
  7. *y=-2(x-7)+5* es una función lineal. Se puede reescribir como *y=-2x+14+5=-2x+19.* La pendiente es *-2* y la ordenada al origen es *19.*
  8. *y=-x^3+2* no es una función lineal porque tiene un término cúbico.
  9. *y=x+\sqrt{5}* es una función lineal. La pendiente es *1* y la ordenada al origen es *\sqrt{5}.*
  10. *y=\sqrt{7}~x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}* es una función lineal. La pendiente es *\sqrt{7}* y la ordenada al origen es *\dfrac{\sqrt{3}}{2}*

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función polinómica de la forma f(x)=mx+b, donde m y b son números reales cualesquiera. Su gráfica es una línea recta.

¿Qué grado tiene una función lineal?

Una función lineal puede tener grado 1 (cuando la pendiente es distinta de cero) o grado 0 (cuando la pendiente es igual a cero).

¿Qué significa m y b en una función lineal?

En una función lineal f(x)=mx+b, m es la pendiente: el valor que indica la inclinación de la recta; b es la ordenada al origen: el punto donde la gráfica corta al eje y.

¿Cuál es la diferencia entre función lineal y cuadrática?

La diferencia entre una función lineal y una cuadrática es que la lineal tiene grado 1 o 0, y la función cuadrática tiene grado 2. Además, la gráfica de una función lineal es una recta y la de una cuadrática es una parábola.

¿Cómo saber si una función es lineal o no?

Para saber si una función es lineal o no hay que mirar su ecuación: si es un polinomio de grado menor o igual a 1, entonces la función es lineal. En otras palabras, el máximo exponente que puede tener la x es 1.

¿Cuál es la diferencia entre función lineal y ecuación lineal?

Una función lineal es un tipo específico de función matemática que describe una relación lineal entre las variables, tiene la forma f(x)=mx+b. En tanto, una ecuación lineal es una igualdad que involucra expresiones algebraicas lineales, tiene la forma ax+b=0

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

Este sitio web usa cookies. Más información