Propiedades de los logaritmos

En este artículo explicamos las propiedades de los logaritmos y vemos ejemplos de cómo aplicarlas para resolver problemas de simplificación y resolución de ecuaciones.

Lista de las propiedades

Desarrollaremos cada una de estas propiedades y veremos ejemplos a continuación.

Propiedades generales

Estas leyes se derivan fácilmente de la propia definición de logaritmo.

1. El logaritmo de la base es igual a 1. *\log_a{a}=1*
2. El logaritmo de 1 en cualquier base es 0. *\log_a{1}=0*
3. Dado que el logaritmo en base *a* de *b* es el número al que se debe elevar *a* para obtener *b,* entonces: *a^{\log_a{b}}=b*

Logaritmo de la multiplicación y la división

Ejemplos:

 *\log_2(8\cdot 16)=\log_2{8}+\log_2{16}=3+4=7*

 *\log_{10}\left(100\cdot \dfrac{1}{1000}\right)=\log_{10}{100}+\log_{10}{\dfrac{1}{1000}}=2-3=-1*

Ejemplos:

*\log_6\left(\dfrac{36}{1296}\right)=\log_6{36}-\log_6{1296}=2-4=-2*

*\log_2\left(\dfrac{64}{4}\right)=\log_2{64}-\log_2{4}=6-2=4*

Suma y resta de logaritmos

De las propiedades anteriores se deduce que la suma o resta de logaritmos de la misma base se pueden escribir como el logaritmo de un producto o cociente, respectivamente.

*\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{b\cdot c}*

*\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)*

Ejemplos:

*\log_{10}{50}+\log_{10}{2}=\log_{10}(50\cdot 2)=\log_{10}{100}=2*

*\log_2{16}-\log_2{4}=\log_2\left(\dfrac{16}{4}\right)=\log_2{4}=2*

Logaritmo de una potencia

Ejemplos:

*\log_2(16^6)=6\cdot \log_2{16}=6\cdot 4=24*

*\log(100^{-7})=-7\cdot \log{100}=-7\cdot 2=-14*

La propiedad del logaritmo de una potencia, además de servir para simplificar expresiones logarítmicas, también es muy útil para resolver ecuaciones logarítmicas. Si la incógnita se encuentra en un exponente, podemos usar esta propiedad para "bajar" ese exponente y posteriormente despejar la incógnita.

Ejemplo: resolver *2^x=1024*

Utilizando la propiedad antes vista, podemos reescribir esta ecuación si aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros. En este caso usaremos logartimos decimales.

*\log(2^x)=\log(1024)*

*x\cdot \log(2)=\log(1024)*

A partir de este punto, la incógnita ya no se encuentra en un exponente, así que podemos despejarla para encontrar su valor:

*x=\dfrac{\log(1024)}{\log(2)}*

*x=10*

Logaritmo de una raíz

Esta ley se deduce de la anterior, como *\sqrt[n]{b}=b^{1/n},* entonces 

*\log_a(\sqrt[n]{b})=\log_a(b^{1/n})=\dfrac{1}{n}\cdot \log_a{b}=\dfrac{\log_a{b}}{n}*

Ejemplos:

*\log_3{\sqrt{243}}=\dfrac{\log_3{243}}{2}=\dfrac{5}{2}*

*\log_5{\sqrt[3]{125}}=\dfrac{\log_5{125}}{3}=\dfrac{3}{3}=1*

Cambio de base

El logaritmo de un número en una base cualquiera se puede obtener a partir del logaritmo del mismo número en otra base, dividiendo por el logaritmo de la base original en la nueva base.

*\log_a{b}=\dfrac{\log_k{b}}{\log_k{a}}* donde *k* es la nueva base

Esta propiedad es útil a la hora de calcular logaritmos con calculadoras, las cuales solo permiten calcular logaritmos naturales o decimales. Las conversiones son las siguientes:

*\log_a{b}=\dfrac{\log{b}}{\log{a}}*

*\log_a{b}=\dfrac{\ln{b}}{\ln{a}}*

Del mismo modo los logaritmos naturales y decimales se pueden determinar uno a partir del otro:

*\log{b}=\dfrac{\ln{b}}{\ln{10}}*

*\ln{b}=\dfrac{\log{b}}{\log{e}}*

Ejemplos:

*\log_2{512}=\dfrac{\log{512}}{\log{2}}=9*

*\log_5{125}=\dfrac{\ln{125}}{\ln{5}}=3*

Más ejemplos y demostración del cambio de base

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