Negación lógica
En este artículo explicamos qué es la negación lógica, su tabla de verdad, ejemplos, propiedades y las aplicaciones que tiene en otros campos.
Índice
¿Qué es la negación?
La negación es un conectivo lógico que toma una proposición y la convierte en su opuesto lógico. Si una proposición es verdadera, su negación es falsa, y viceversa. Se denota comúnmente con el símbolo ¬ o ~. Así, la negación de la proposición p es ¬p.
Existen diversas formas de leer ¬p, las más comunes son:
- no p.
- no es cierto que p.
- no ocurre que p.
- es falso que p.
Ejemplos de negación:
- Si p es la proposición "está lloviendo", entonces ¬p es "no está lloviendo".
- Si q es "el número 7 es par", entonces ¬q es "el número 7 no es par".
- Si r es “el Sol es brillante”, la proposición ¬r es “es falso que el Sol es brillante”.
Tabla de verdad
La tabla de verdad de la negación es simple: devuelve un valor falso cuando la proposición original es verdadera y un valor verdadero cuando la proposición original es falsa.
| p | ¬p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Ejemplos
En la siguiente tabla se muestran ejemplos de proposiciones en la primera columna y sus negaciones en la segunda.
| Proposición original | Negación |
|---|---|
| Juan terminó su tarea | Juan no terminó su tarea |
| 2+2=5 | 2+2≠5 |
| El cielo no es azul | El cielo es azul |
| María es ingeniera | María no es ingeniera |
| Las rosas son plantas | Las rosas no son plantas |
| Llueve y hace frío | No es cierto que llueve y hace frío |
| Carlos está en su casa o en la oficina | Es falso que Carlos está en su casa o en la oficina |
Es posible negar tanto una proposición simple (los primeros cinco ejemplos) como una proposición compuesta (los últimos dos ejemplos). En el caso de las compuestas, la negación puede ser más compleja y dependerá del tipo de conectivo lógico que une las proposiciones simples que la componen.
Existen reglas específicas para negar proposiciones compuestas que involucran conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales. También, la negación de una negación (como en el ejemplo de “el cielo no es azul”) tiene una regla particular. Las veremos todas a continuación.
Propiedades de la negación
El conectivo lógico de negación cumple las propiedades que veremos a continuación.
Doble negación
También llamada ley de involución, nos dice que la negación de la negación de una proposición devuelve la proposición original. En símbolos, esto se expresa como:
¬(¬p) ≡ p
Ejemplos
- “No es cierto que el libro no esté sobre la mesa” es equivalente a decir “el libro está sobre la mesa”.
- “Es falso que Pedro desaprobó el examen” es equivalente a “Pedro aprobó el examen”.
- “No es cierto que María no vive en Buenos Aires” es equivalente a “María vive en Buenos Aires”.
Leyes de De Morgan
La negación no es distributiva, sin embargo, las leyes de De Morgan permiten hacer una especie de “distributividad” de la negación sobre una conjunción y una disyunción.
Negación de una conjunción: se obtiene negando cada una de las proposiciones simples que la componen y uniéndolas con una disyunción.
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Ejemplos
- Para la proposición compuesta "llueve y hace frío", la negación es “no llueve o no hace frío”.
- La proposición “Ana va al cine y cena con amigos” tiene por negación a “Ana no va al cine o no cena con amigos”.
- La proposición “Pedro estudia mucho y saca buenas notas” es negada como “Pedro no estudia mucho o no saca buenas notas”.
Negación de una disyunción: se obtiene negando cada una de las proposiciones simples que la componen y uniéndolas con una conjunción.
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Ejemplos
- Si la proposición compuesta es “Carlos está en su casa o en su oficina”, su negación es “Carlos no está en su casa y no está en la oficina”.
- La proposición “mañana iré al parque o al museo” tiene por negación a “mañana no iré al parque y no iré al museo”.
- La proposición “Juan come pasta o pizza” es negada como “Juan no come pasta y no come pizza”.
Negación de condicional y bicondicional
Negación de un condicional: negar una implicación p→q es equivalente a la conjunción entre el antecedente y la negación del consecuente. En símbolos:
¬(p→q) ≡ p ∧ ¬q
Ejemplo: la proposición "si está lloviendo (p), entonces llevo un paraguas (q)" tiene como negación a “no es cierto que si está lloviendo lleve un paraguas", esta es equivalente a decir "está lloviendo y no llevo un paraguas".
Negación de un bicondicional: la negación de una doble implicación es equivalente a la disyunción exclusiva de las proposiciones componentes. En símbolos:
¬(p↔q) ≡ p ⊻ q
Ejemplo: para la proposición “llueve si y solo si hace frío”, su negación es “o llueve o hace frío, pero no ambas”.
Otras propiedades
- No es posible que una proposición y su negación sean verdaderas al mismo tiempo. Esto se conoce como el principio de la no contradicción: ¬(p ∧ ¬p).
- La proposición p ∨ ¬p siempre es verdadera y se conoce como el principio del tercero excluido: una proposición es verdadera o es falsa, sin opción intermedia.
- La negación de una tautología (una proposición siempre verdadera) es una contradicción (una proposición siempre falsa), y la negación de una contradicción es una tautología.
Negación en teoría de conjuntos
En la teoría de conjuntos, la negación lógica se utiliza para definir el complemento: el complemento de un conjunto A, denotado por A' o Ac, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto universal pero que no pertenecen a A.
A' = {x ∈ U | x ∉ A}
Nótese que la expresión x ∉ A es equivalente a decir ¬(x∈A).
Ejemplos
- Si tomamos como universal al conjunto de todas las personas y al conjunto A como las personas mayores de 18 años, el complemento de A está formado por todas las personas que no son mayores de 18.
- Consideremos el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5} y el conjunto A = {2, 4}. Entonces, el complemento de A es A' = {1, 3, 5}, porque está compuesto por todos los elementos que le faltan a A para ser igual al universal.
El complemento de un conjunto cumple una serie de propiedades que están estrechamente relacionadas con las propiedades de la negación que vimos anteriormente. Entre ellas tenemos:
- Propiedad de involución: el complemento del complemento de un conjunto es igual al conjunto original: (A')' = A.
- Ley de De Morgan para la unión: el complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.
- Ley de De Morgan para la intersección: el complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos: (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
Recordemos que, en teoría de conjuntos, la intersección (∩) es el equivalente a la conjunción (∧), y la unión (∪) es equivalente a la disyunción (∨).
Negación en circuitos lógicos
En el ámbito de la lógica digital y la electrónica, el circuito lógico de la negación, también conocido como inversor o puerta NOT, es un circuito electrónico fundamental que realiza la operación de negación lógica sobre una señal de entrada. Su función principal es invertir el valor de verdad de la señal de entrada, es decir, si la entrada es 1 (nivel alto), la salida será 0 (nivel bajo), y viceversa.
| A (entrada) | ¬A (salida) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Negación en informática
El conectivo lógico de negación es conocido como operador NOT en informática y juega un papel crucial en la construcción de algoritmos y la manipulación de datos. Su función principal es invertir el valor de verdad de una expresión booleana, permitiendo realizar operaciones lógicas más complejas y tomar decisiones de control precisas.
La negación lógica se representa en la mayoría de los lenguajes de programación como ! (signo de exclamación) o not (palabra clave). Este operador se aplica delante de la expresión booleana que se desea negar.
La negación lógica se puede combinar con otros operadores lógicos para formar expresiones más complejas. Por ejemplo:
- Conjunción negada: not (P and Q) es equivalente a not P or not Q.
- Disyunción negada: not (P or Q) es equivalente a not P and not Q.
Nótese que el comportamiento del operador está regido por las Leyes de De Morgan.
La negación lógica, junto con las otras operaciones, es fundamental en el diseño y funcionamiento de los procesadores modernos. Se aplica en la ALU (Unidad Aritmético-Lógica), encargada de realizar las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división. También es usada en otros componentes internos para decisiones condicionales y control de flujo en programas y sistemas operativos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el símbolo de la negación?
En lógica proposicional, el símbolo más común para la negación es ¬ (también es usado ~). Se coloca delante de la proposición que se quiere negar y se lee como "no" o "no es cierto que".
¿Qué significa ¬p en lógica?
La expresión ¬p representa la negación de la proposición p. Si p es verdadera, entonces ¬p es falsa. Si p es falsa, entonces ¬p es verdadera.
