Operaciones con logaritmos

En este artículo explicamos las operaciones con logaritmos con ejemplos: suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.

Índice

Logaritmo de una multiplicación y suma de logaritmos

El logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Del mismo modo, una suma de logaritmos de igual base es igual al logaritmo del producto de los argumentos.

*\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)*

*\log_a(x)+\log_a(y)=\log_a(xy)*

Ejemplos

*\log_2(5\cdot 3)=\log_2(5)+\log_2(3)*
*\log(20x)=\log(20)+\log(x)*
*\ln(2)+\ln(\frac{x}{2})=\ln(2\cdot\frac{x}{2})=\ln(x)*

La multiplicación de logaritmos no puede escribirse en forma simplificada, sino que se debe calcular individualmente cada logaritmo y multiplicar los números para obtener el resultado.

*\log (100)\cdot \log (1000)=(2)(3)=6*
*\log_2 (4)\cdot \ln(1/e)=(2)(-1)=-2*

Logaritmo de una división y resta de logaritmos

El logaritmo de una división es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y divisor. De forma similar, una resta de logaritmos de igual base es igual al logaritmo del cociente de los argumentos.

*\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)*

*\log_a(x)-\log_a(y)=\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)*

Ejemplos

*\log_2\left(\dfrac{5}{3}\right)=\log_2(5)-\log_2(3)*
*\log(22-x)-\log(x)=\log\left(\dfrac{22-x}{x}\right)*

Importante: el logaritmo de una suma o una resta no se puede descomponer en suma o resta de logaritmos. Además, la multiplicación de logaritmos no es igual al logaritmo de la multiplicación. Solo puede descomponerse cuando dentro del logaritmo hay una multiplicación, una división o una potencia.

*\log(a+b){\color{red}≠}\log(a)+\log(b)*

*\log(a-b){\color{red}≠}\log(a)-\log(b)*

*\log(a)\log(b){\color{red}≠}\log(a\cdot b)*

Logaritmos de potencias y raíces

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

*\log_b(a^n)=n\log_b(a)*

*\log_b(\sqrt[n]{a})=\dfrac{\log_b(a)}{n}*

La segunda propiedad se deduce de la primera considerando que *\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.*

Ejemplos

*\log_3(6^2)=2\log_3(6)*
*\ln(e^{-7})=-7\ln(e)=-7*
*\log(x^3)=3\log(x)*

La multiplicación de un número por un logaritmo, por propiedad de potencia, se puede expresar como el exponente del argumento. Por ejemplo:

*5\log(27)=\log (27^5)*
*-9 \ln(7)=\ln(7^{-9})*

División de logaritmos

La división de logaritmos de igual base es igual al logaritmo del argumento del dividendo con base igual al argumento del divisor. Esto es así por la propiedad del cambio de base.

*\dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)}=\log_b(a)*

Ejemplos