Cómo despejar logaritmos

En este artículo explicamos cómo despejar un logaritmo tanto si la incógnita está en el argumento o en la base. También veremos cómo despejar un exponente usando logaritmos.

Incógnita dentro del logaritmo

Si la incógnita aparece dentro del argumento del logaritmo, para despejarla se pueden seguir estos pasos:

  1. Aislar el logaritmo: mover todos los términos que no contengan logaritmos a un lado de la ecuación.
  2. Exponenciar ambos lados: expresar ambos lados de la ecuación como exponentes de la base del logaritmo. Esto hará que se elimine el logaritmo. 
  3. Resolver para la incógnita: despejar la incógnita en un lado de la ecuación.

Ejemplo 1

Resolver *\log_3 (2x)-2=2*

Solución: para despejar la x dentro del argumento, primero aislamos el logaritmo dejándolo en un miembro de la ecuación. Se puede conseguir sumando 2 a ambos miembros:

*\log_3 (2x)-2+2=2+2*

*\log_3 (2x)=4*

Ahora exponenciamos ambos lados. Como la base del logaritmo es 3, usaremos ese número como base:

*\log_3 (2x)=4*

*3^{\log_3 (2x)}=3^4*

Por propiedades de la logaritmación, queda:

*2x=3^4*

*2x=81*

Ahora podemos despejar la x:

*x=\dfrac{81}{2}*

Comprobamos que esta solución es correcta reemplazando en la ecuación original:

*\log_3 (2x)-2=2→\log_3 (2\cdot \frac{81}{2})-2=2*

*\log_3 (81)=4*

*4=4*

Ejemplo 2

Resolver la ecuación logarítmica *\log_2(2x+1)=4*

Solución: debemos despejar x dentro del logaritmo, para ello seguimos los pasos que vimos en el ejemplo anterior. El logaritmo es binario así que se usará la base 2 para despejarlo.

*\log_2(2x+1)=4*

*2^{\log_2(2x+1)}=2^4*

*2x+1=16*

*2x=15*

*x=\dfrac{15}{2}*

Comprobación: 

*\log_2(2x+1)=4*

*\log_2(2\cdot \frac{15}{2}+1)=4*

*\log_2(16)=4*

*4=4*

Ejemplo 3

Resolver *\log(x)+\log(x+2)=\log(4x)*

Solución: en este caso solo aparecen logaritmos en la ecuación. En el primer miembro podemos usar la propiedad de la suma de logaritmos de igual base para reescribirlo como un producto:

*\log(x)+\log(x+2)=\log(4x)*

*\log(x(x+2))=\log(4x)*

Como tenemos una igualdad de logaritmos, los argumentos deben ser iguales:

*\log(x(x+2))=\log(4x)*

*x(x+2)=4x*

*x^2+2x=4x*

*x^2-2x=0*

*x(x-2)=0*

*x=0~~~* o *~~~x=2*

La solución *x=0* se descarta porque no existe *\log(0),* entonces, la solución es *x=2.*

Comprobación:

*\log(x)+\log(x+2)=\log(4x)*

*\log(2)+\log(2+2)=\log(4\cdot 2)*

*\log(2)+\log(4)=\log(8)*

*\log(8)=\log(8)* (por suma de logaritmos)

Ejemplo 4

Resolver la ecuación logarítmica *\ln(2)+\ln(\frac{x}{2})=1*

Solución: la suma de logaritmos del primer miembro se puede escribir como el logaritmo del producto. Para despejar el logaritmo natural, usamos de base el número e.

*\ln(2)+\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)=1*

*\ln\left(2\cdot \dfrac{x}{2}\right)=1*

*\ln(x)=1*

*e^{\ln(x)}=e^1*

*x=e*

Ejemplo 5

Resolver *\log(5x)=2-\log(x-1)*

Solución: procedemos pasando todos los logaritmos a un miembro y aplicando propiedades para escribirlo como un solo logaritmo. Para despejar el logaritmo decimal, usamos de base el número 10. 

*\log(5x)=2-\log(x-1)*

*\log(5x)+\log(x-1)=2*

*\log(5x(x-1))=2*

*10^{\log(5x(x-1))}=10^2*

*5x(x-1)=100*

*5x^2-5x-100=0*

Ahora podemos usar la fórmula resolvente para ecuaciones cuadráticas:

*x=\dfrac{+5±\sqrt{(-5)^2-4\cdot 5\cdot (-100)}}{2\cdot 5}*

*x=\dfrac{5±\sqrt{2025}}{10}*

*x=\dfrac{5±45}{10}*

*x=5~~~* o *~~~x=-4*

Tenemos dos soluciones posibles. Descartamos *x=-4* porque reemplazando en la ecuación original nos quedaría *\log(-20)=2-\log(-5),* pero no existen los logaritmos de números negativos. Por tanto, la solución es *x=5.*

Ejemplo 6

Resolver la ecuación logarítmica *\log(22-x)=-1+\log(x)*

Solución: pasamos los logaritmos a un mismo miembro y aplicamos propiedad de resta de logaritmos para reescribirlo como un cociente. Para despejar el logaritmo decimal, nuevamente usamos la base 10.

*\log(22-x)=-1+\log(x)*

*\log(22-x)-\log(x)=-1*

*\log\left(\dfrac{22-x}{x}\right)=-1*

*10^{\log(\frac{22-x}{x})}=10^{-1}*

*\dfrac{22-x}{x}=\dfrac{1}{10}*

*10(22-x)=x*

*220-10x-x=0*

*-11x=-220*

*x=\dfrac{-220}{-11}*

*x=20*

Incógnita en la base

Si la incógnita aparece dentro de la base del logaritmo, para despejarla podemos realizar los siguientes pasos:

  1. Aislar el logaritmo: mover todos los términos que no contengan logaritmos a un lado de la ecuación.
  2. Convertir a forma exponencial: usar la definición del logaritmo para reescribir la ecuación en forma exponencial, donde la incógnita aparece como base de una potencia.
  3. Resolver la ecuación resultante: aplicar las propiedades de las potencias para despejar la incógnita.

Ejemplo 1

Resolver la ecuación *\log_x(25)=2*

Solución: recordemos que la definición de logaritmo dice que *\log_a(b)=x* si y sólo si *a^x=b.* Es decir, la base elevada a lo que está en el segundo miembro debe ser igual al argumento. Aplicando esto a nuestra ecuación:

 *\log_x(25)=2~* si y sólo si *~x^2=25*

Ahora tenemos una ecuación cuadrática que podemos despejar sencillamente:

*x^2=25*

*x=±\sqrt{25}*

*x=±5*

*x=5~~* o *~~x=-5*

Tenemos dos soluciones posibles. Descartamos *x=-5* porque la base de un logaritmo no puede ser negativa. Entonces, la solución es *x=5.*

Ejemplo 2

Resolver *\log_{x-1}(8)=3*

Solución: si escribimos el logaritmo en forma exponencial, podremos despejar la x:

*\log_{x-1}(8)=3~~* si y solo si *~~(x-1)^3=8*

*(x-1)^3=8*

*x-1=\sqrt[3]{8}*

*x-1=2*

*x=3*

Ejemplo 3

Resolver *\log_x(25)=3-\log_x(5)*

Solución: para resolver esta ecuación, aislamos en el primer miembro a los logaritmos y aplicamos propiedades para convertirlo en un solo logaritmo. Luego, pasamos a forma exponencial.

*\log_x(25)=3-\log_x(5)*

*\log_x(25)+\log_x(5)=3*

*\log_x(25\cdot 5)=3*

*\log_x(125)=3*

En forma exponencial: *x^3=125,* aplicando raíz cúbica a ambos miembros:

*x=\sqrt[3]{125}*

*x=5*

Ejemplo 4

Resolver la ecuación *\log_{2x}(3+x)=1*

Solución: en este caso, tenemos incógnita tanto en el argumento como en la base. Podemos proceder escribiendo en forma exponencial y luego resolviendo como es habitual.

*\log_{2x}(3+x)=1~~* si y sólo si *~~(2x)^1=3+x*

*(2x)^1=3+x*

*2x=3+x*

*2x-x=3*

*x=3*

Incógnita en un exponente

Si en una ecuación la incógnita está en un exponente, esta se llama ecuación exponencial, podemos hacer el despeje mediante logaritmos adecuados realizando los siguientes pasos:

  1. Aislar el término con incógnita: mover todos los términos que no contengan la incógnita a un lado de la ecuación.
  2. Aplicar logaritmo adecuado: usar logaritmos de base conveniente a ambos lados de la ecuación.
  3. Aplicar propiedades de logaritmos: utilizar la propiedad del logaritmo de una potencia para “bajar” el exponente con incógnita y resolver como una ecuación normal.

Ejemplo 1

Resolver la ecuación exponencial *3^x-3=240*

Solución: comenzamos dejando al término con incógnita a un lado de la ecuación.

*3^x-3=240*

*3^x=240+3*

*3^x=243*

Ahora aplicamos logaritmos a los dos lados de la ecuación. Como el exponente con la incógnita tiene base 3, usamos un logaritmo de esa base:

*3^x=243*

*\log_3(3^x)=\log_3(243)*

Por propiedad del logaritmo de una potencia, el exponente se multiplica al logaritmo. Luego, podemos despejar la x:

*\log_3(3^x)=\log_3(243)*

*x\cdot \log_3(3)=\log_3(243)*

*x=\dfrac{\log_3(243)}{\log_3(3)}*

*x=\dfrac{5}{1}*

*x=5*

Ejemplo 2

Resolver *-40+7^{3x-1}=9*

Solución: procedemos acomodando la expresión y aplicando logaritmo de base 7 para despejar la incógnita.

*-40+7^{3x-1}=9*

*7^{3x-1}=9+40*

*7^{3x-1}=49*

*\log_7 (7^{3x-1})=\log_7(49)*

*(3x-1) \log_7(7)=\log_7(49)*

*(3x-1)(1)=2*

*3x-1=2*

*3x=3*

*x=1*

Ejemplo 3

Despejar t de la ecuación *(2a)^{t/3}=5*

Solución: podemos aplicar logaritmos de base a para despejar la incógnita t.

*(2a)^{t/3}=5*

*\log_a (2a)^{t/3}=\log_a (5)*

*(t/3) \log_a (2a)=\log_a (5)*

*\dfrac{t}{3}=\dfrac{\log_a (5)}{\log_a (2a)}*

*t=3\dfrac{\log_a (5)}{\log_a (2a)}*

Aunque ya se ha logrado el despeje, la última expresión puede simplificarse aún más usando la propiedad del cambio de base:

*t=3\dfrac{\log_a (5)}{\log_a (2a)}*

*t=3\log_{2a} (5)*

Ejercicios para practicar

Ejercicio: resolver las siguientes ecuaciones.

  1. *\log_5(x+4)=3*
  2. *\log_6 (x-2)=2*
  3. *\log_2 (4x)=3*
  4. *\ln(x-1)-\ln(x+1)=8*
  5. *3\log_x(125)=9*
  6. *-2\log_x(32)=-10*
  7. *2^{3x}=8*
  8. *3^{2x}=27*
  9. *9^{x+2}=81*
  10. *e^{2x}=7*

Soluciones:

  1. *x=121*
  2. *x=38*
  3. *x=2*
  4. *x=\dfrac{e^8+1}{1-e^8}*
  5. *x=5*
  6. *x=2*
  7. *x=1*
  8. *x=\dfrac{3}{2}*
  9. *x=0*
  10. *x=\dfrac{\ln(7)}{2}≈0,973*
Como despejar la x de un logaritmo natural ln o un logaritmo decimal log

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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