Sistemas de ecuaciones logarítmicas

En este artículo explicamos qué son y cómo resolver sistemas de ecuaciones con logaritmos paso a paso.

Índice

¿Qué es un sistema de ecuaciones logarítmicas?

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un conjunto de ecuaciones logarítmicas con una o varias incógnitas cuya solución son los valores que deben tomar las incógnitas para satisfacer todas las ecuaciones simultáneamente.

Para poder resolver estos sistemas, es necesario conocer las propiedades de los logaritmos y las propiedades de las potencias, además de métodos de solución de sistemas de ecuaciones algebraicas.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

*\begin{cases} \log_4 (x)+\log_4 (y)=3 \\ \log_4 (x)-\log_4 (y)=1 \end{cases}*

Solución: usamos propiedades de la logaritmación para escribir la suma y resta de logaritmos como el logaritmo de un producto y de un cociente, respectivamente.

*\begin{cases} \log_4 (xy)=3 \\ \log_4 (x/y)=1 \end{cases}*

Ahora podemos usar los mismos métodos que usábamos para resolver ecuaciones logarítmicas comunes: escribir a ambos miembros de las ecuaciones como exponentes de una potencia de base 4 para eliminar los logaritmos.

*\begin{cases} 4^{\log_4 (xy)}=4^3 \\ 4^{\log_4 (x/y)}=4^1\end{cases}*

Desarrollando:

*\begin{cases} xy=64 \\ \\ \dfrac{x}{y}=4 \end{cases}*

A partir de ahora podemos usar métodos habituales para resolver sistemas de ecuaciones. A partir de la segunda ecuación:

*\dfrac{x}{y}=4→x=4y*

Sustituyendo en la primera ecuación:

*xy=64→(4y)y=64→4y^2=64→y^2=16→y=±4*

Descartamos la solución negativa porque, reemplazándola en la ecuación original, hace que el argumento un logaritmo sea negativo, lo cual no puede ocurrir. Entonces, *y=4.* Reemplazando en lo obtenido anteriormente:

*x=4y→x=4(4)→x=16*

Por tanto, las soluciones son:

*\begin{cases} x=16 \\ y=4 \end{cases}*

Ejercicio 2

*\begin{cases} \log (x)-\log (y)=1 \\ x+2y=24 \end{cases}*

Solución: procedemos utilizando propiedades para convertir el sistema en uno más sencillo, como en el ejercicio anterior:

*\begin{cases} \log (x/y)=1\\ x+2y=24 \end{cases}*

Como solo la primera ecuación tiene logaritmo, debemos exponenciar esa. Usamos la base 10 porque es un logaritmo decimal.

*\begin{cases} 10^{\log (x/y)}=10^1\\ x+2y=24 \end{cases}*

*\begin{cases} \dfrac{x}{y}=10\\ x+2y=24 \end{cases}*

Ahora, a partir de la primera ecuación: *\dfrac{x}{y}=10→x=10y.* Sustituyendo en la segunda:

*x+2y=24→10y+2y=24→12y=24→y=2.* Como *x=10y→x=10(2)=20.*

Las soluciones del sistema son:

*\begin{cases} x=20 \\ y=2 \end{cases}*

Ejercicio 3

*\begin{cases} \log(x)+\log(y)=2 \\ x-y=21 \end{cases}*

Solución: este ejercicio es similar al anterior pero se usará la propiedad del logaritmo de un producto. El procedimiento que sigue es análogo.

*\begin{cases} \log(xy)=2 \\ x-y=21 \end{cases}*

*\begin{cases} 10^{\log(xy)}=10^2 \\ x-y=21 \end{cases}*

*\begin{cases} xy=100 \\ x-y=21 \end{cases}*

A partir de la segunda ecuación: *x-y=21→x=21+y,* sustituyendo en la primera:

*xy=100→(21+y)y=100→y^2+21y-100=0*

Usando la fórmula resolvente para ecuaciones cuadráticas se obtiene que: *y=4* o *y=-1.* La solución negativa no tiene sentido porque hace negativo a un argumento, por tanto, *y=4.* Como *x=21+y→x=21+4→x=25*

Las soluciones de la ecuación son:

*\begin{cases} x=25 \\ y=4 \end{cases}*

Ejercicio 4

*\begin{cases} \log(x)+\log(y)=0 \\ \log(x)-\log(y)=0 \end{cases}*

Solución: procedemos aplicando propiedades de los logaritmos.

*\begin{cases} \log(xy)=0 \\ \log(x/y)=0 \end{cases}*

*\begin{cases} 10^{\log(xy)}=10^0 \\ 10^{\log(x/y)}=10^0 \end{cases}*

*\begin{cases} xy=1 \\ \\ \dfrac{x}{y}=1 \end{cases}*

A partir de la segunda ecuación: *\dfrac{x}{y}=1→x=y.* Entonces, por la primera ecuación: *xy=1→yy=1→y^2=1→y=±1.* Como la solución negativa no es válida, *y=1,* por tanto *x=1.*

La solución del sistema de ecuaciones es:

*\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}*

Ejercicio 5

*\begin{cases} \log_3 (x-2y)-\log_3 (y-2)=2 \\ \log_3 (5y+2)-\log_3 (y+4)=1 \end{cases}*

Solución: procedemos aplicando propiedades de los logaritmos como en los ejemplos anteriores.

*\begin{cases} \log_3 \left(\dfrac{x-2y}{y-2}\right)=2 \\ \\ \log_3 \left(\dfrac{5y+2}{y+4}\right)=1 \end{cases}*

*\begin{cases} 3^{\log_3 \left(\frac{x-2y}{y-2}\right)}=3^2 \\ \\ 3^{\log_3 \left(\frac{5y+2}{y+4}\right)}=3^1 \end{cases}*

*\begin{cases} \dfrac{x-2y}{y-2}=9 \\ \\ \dfrac{5y+2}{y+4}=3 \end{cases}*

De la primera ecuación: *\dfrac{x-2y}{y-2}=9→x-2y=9(y-2)→x=9y-18+2y→x=11y-18*

En la segunda ecuación:

*\dfrac{5y+2}{y+4}=3*

*5y+2=3(y+4)*