Operaciones con fracciones
En este artículo explicamos las operaciones con fracciones: desde las operaciones aritméticas básicas hasta potenciación y radicación. Veremos una guía completa con fórmulas, explicaciones, las reglas para cada operación y ejemplos paso a paso.
Índice
Todas las operaciones
Suma de fracciones
Para sumar fracciones con igual denominador (también llamadas homogéneas) se suman los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
*\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}*
Ejemplos:
*\dfrac{18}{15}+\dfrac{19}{15}=\dfrac{18+19}{15}=\dfrac{37}{15}*
*\dfrac{28}{6}+\dfrac{14}{6}=\dfrac{28+14}{6}=\dfrac{42}{6}=7*
*\dfrac{2}{4}+\dfrac{8}{4}=\dfrac{2+8}{4}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}*
Al operar con fracciones es conveniente simplificar al máximo la fracción obtenida como resultado.
Para sumar fracciones con distinto denominador (también llamadas heterogéneas), se multiplica el numerador de la primera con el denominador de la segunda y se suma al denominador de la primera por el numerador de la segunda, luego se ubica este resultado en el numerador. El denominador de la fracción suma se obtiene multiplicando los denominadores de las dos fracciones.
*\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac+bc}{bd}*
Luego, si es necesario, se simplifica el resultado.
Ejemplos:
*\dfrac{11}{5}+\dfrac{4}{7}=\dfrac{11\cdot 7+5\cdot 4}{5\cdot 7}=\dfrac{97}{35}*
*\dfrac{27}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{27\cdot 2+8\cdot 1}{8\cdot 2}=\dfrac{62}{16}=\dfrac{31}{8}*
La forma descrita para resolver se conoce como el método mariposa para sumar fracciones.
Resta de fracciones
Para restar fracciones con igual denominador se restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador
*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}*
Ejemplos:
*\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{8-7}{3}=\dfrac{1}{3}*
*\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{1-2}{4}=-\dfrac{1}{4}*
Para restar fracciones con distinto denominador se multiplica el numerador de la primera con el denominador de la segunda y se resta al denominador de la primera por el numerador de la segunda, luego se ubica este resultado en el numerador. El denominador de la fracción suma se obtiene multiplicando los denominadores de las dos fracciones.
*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac-bc}{bd}*
Ejemplos:
*\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7\cdot 12-6\cdot 5}{6\cdot 12}=\dfrac{54}{72}=\dfrac{3}{4}*
*\dfrac{1}{3}-\dfrac{14}{5}=\dfrac{1\cdot 5-3\cdot 14}{3\cdot 5}=-\dfrac{37}{15}*
El proceso descrito para resolver se conoce como el método mariposa para restar fracciones.
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
*\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}*
Para multiplicar una fracción por un número entero, se multiplica el entero por el numerador y de la fracción.
*a\cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{a\cdot b}{c}*
Ejemplos:
*\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{2\cdot 3}{5\cdot 4}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}*
*7\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{7\cdot 3}{4}=\dfrac{21}{4}*
División de fracciones
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda, que se obtiene de cambiar el numerador por el denominador y viceversa.
*\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}*
Ejemplos:
*\dfrac{2}{7}:\dfrac{5}{4}=\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{2\cdot 4}{7\cdot 5}=\dfrac{8}{35}*
*-\dfrac{27}{5}:\dfrac{14}{2}=-\dfrac{27}{5}\cdot \dfrac{2}{14}=-\dfrac{27\cdot 2}{5\cdot 14}=-\dfrac{54}{70}=-\dfrac{27}{35}*
Potenciación de fracciones
Para elevar una fracción a un exponente, se elevan el numerador y el denominador a dicho exponente.
*\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}*
Ejemplo:
*\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}*
Si el exponente es negativo, el numerador y el denominador intercambiarán sus lugares:
*\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}*
donde *-n* es un número negativo.
Ejemplo:
*\left(\dfrac{7}{6}\right)^{-2}=\left(\dfrac{6}{7}\right)^2=\dfrac{6^2}{7^2}=\dfrac{36}{49}*
Radicación de fracciones
Para calcular la raíz de una fracción, se calcula la raíz del numerador y la del denominador.
*\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}*
Ejemplo:
*\sqrt[3]{\dfrac{8}{64}}=\dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{64}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}*
Operaciones combinadas con fracciones
Es posible combinar todas o algunas de las operaciones en un solo ejercicio, para resolverlo es importante conocer individualmente cada caso y la jerarquía a seguir:
- Realizar las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera.
- Resolver las potencias y raíces, de izquierda a derecha.
- Efectuar las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Efectuar las sumas y restas, de izquierda a derecha.
Ejemplo:
*\left(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{3}\right)^2-\sqrt{\dfrac{25}{49}}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{8}-\dfrac{9}{2}:\dfrac{1}{2}=*
*=\left(\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{5}{7}+\dfrac{10}{24}-\dfrac{18}{2}=*
*=\dfrac{25}{36}-\dfrac{5}{7}+\dfrac{10}{24}-\dfrac{18}{2}=*
*=-\dfrac{542}{63}*
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las operaciones aritméticas básicas con fracciones?
Las operaciones aritméticas básicas con fracciones son la suma (+), la resta (-), la multiplicación (x) y la división (÷). En la suma y la resta se deberá tener en cuenta si las fracciones tienen el mismo o diferente denominador.
¿Cómo sumar fracciones con denominadores diferentes?
Para sumar fracciones con denominadores diferentes, primero se encuentran denominadores comunes (mínimo común múltiplo) y se convierten las fracciones a equivalentes con ese denominador común. Luego se suman los numeradores y se conserva el denominador común.
¿Cómo restar fracciones con denominadores diferentes?
Similar a la suma, se encuentran denominadores comunes y se convierten las fracciones a equivalentes con ese denominador común. Luego se restan los numeradores y se conserva el denominador común.
¿Cómo multiplicar fracciones?
Se multiplican los numeradores entre sí para obtener el nuevo numerador y se multiplican los denominadores entre sí para obtener el nuevo denominador. El resultado se simplifica si es posible.
¿Cómo dividir fracciones?
La división de fracciones se resuelve multiplicando la primera fracción por el inverso de la segunda fracción. Es decir, se multiplica la primera fracción por la fracción recíproca (invertida) de la segunda.
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