Multiplicación de fracciones

En este artículo explicamos la multiplicación de fracciones. Veremos una guía completa con reglas, fórmulas, propiedades, problemas y ejercicios resueltos paso a paso. 

¿Qué es la multiplicación de fracciones?

La multiplicación de fracciones es una operación matemática que se utiliza para combinar o repetir cantidades fraccionarias. En términos simples, cuando se multiplican dos fracciones entre sí, se está encontrando una fracción que representa el producto total.

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador al producto de los denominadores.

*\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}*

La multiplicación se puede indicar tanto con un punto como con una "x".

Cómo multiplicar fracciones

Para multiplicar fracciones basta seguir los siguientes pasos:

  1. Multiplicar los numeradores de las fracciones y escribir este resultado como numerador de la nueva fracción.
  2. Multiplicar los denominadores y escribir el resultado como el denominador de la nueva fracción.
  3. Simplificar el resultado si es posible.

Es importante señalar que en la multiplicación no importa si las fracciones son homogéneas o heterogéneas, es decir, si tienen o no el mismo denominador. No es necesario hallar un común denominador. Esto solo se hace en el caso de la suma y la resta.

Se debe atender a la regla de los signos: si ambas fracciones tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen distintos signos, el resultado es negativo.

Ejemplo 1

*\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{4}*

En este caso las dos fracciones son positivas, con lo cual el resultado será positivo. Los numeradores son 2 y 5, los denominadores son 3 y 4. Multiplicamos cada uno con su par para obtener el numerador y el denominador del resultado.

*\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{4}=\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 4}*

*=\dfrac{10}{12}*

*=\dfrac{5}{6}*

En este último paso hemos simplificado la fracción dividiendo numerador y denominador entre 2.

Ejemplo 2

*\left(-\dfrac{5}{17}\right)\cdot \left(-\dfrac{2}{5}\right)*

Las dos fracciones que se multiplican son negativas. Por regla de signos, el resultado será positivo. Procedemos a multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador para obtener el resultado. Luego, simplificamos si es posible.

*\left(-\dfrac{5}{17}\right)\cdot \left(-\dfrac{2}{5}\right)=+\dfrac{5\cdot 2}{17\cdot 5}*

*=\dfrac{10}{85}*

*=\dfrac{2}{17}*

Ejemplo 3

*-\dfrac{6}{11}\cdot \dfrac{9}{5}*

Aquí las fracciones tienen diferente signo, por lo que el resultado será negativo. Seguimos los pasos que ya conocemos.

*-\dfrac{6}{11}\cdot \dfrac{9}{5}=-\dfrac{6\cdot 9}{11\cdot 5}*

*=-\dfrac{54}{55}*

El resultado no se puede simplificar más porque ya está en forma irreducible.

Ejemplo 4

Luego de un cumpleaños, María se quedó con 1/2 de pastel. Su amiga le pidió 1/3 del mismo. ¿Qué parte del total tiene que darle?

Solución: Este problema se puede pensar como una multiplicación, pues lo que se quiere conocer es cuánto del total del pastel es 1/3 de su mitad, o sea, equivale a resolver: *\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}.* Esto es:

*\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 1}{3\cdot 2}*

*=\dfrac{1}{6}*

Entonces, María tiene que darle a su amiga 1/6 del pastel original.

Ejemplo 5

Por una oferta, una camisa se vende a 2/5 de su precio normal. Juan decide comprar una, pero descubre un defecto en la misma, por lo cual el cajero ofrece vendérselo a la mitad del precio de oferta. ¿Qué fracción del precio normal pagaría Juan?

Solución: En este caso, se desea saber cuánto es la mitad de 2/5, lo que equivale a hallar el producto entre 1/2 y 2/5:

*\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{1\cdot 2}{2\cdot 5}*

*=\dfrac{2}{10}*

*=\dfrac{1}{5}*

En conclusión, si Juan acepta comprar la camisa, pagaría 1/5 del precio normal.

Ejemplo 6

A Lautaro le asignaron 5/7 del lote total de libros para que los venda. Él consiguió vender 2/3 de lo que le asignaron. ¿Cuánto representa esto del lote total?

Solución: Se quiere conocer cuánto es 2/3 de 5/7, lo que es equivalente a multiplicar esas fracciones:

*\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 7}*

*=\dfrac{10}{21}*

En conclusión, Lautaro logró vender 10/21 del lote total de libros.

Ejercicios para practicar: resolver las siguientes multiplicaciones de fracciones.

  1. *~~\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}*
  2. *~~\dfrac{3}{5}\cdot \left(-\dfrac{5}{4}\right)*
  3. *~~\left(-\dfrac{7}{8}\right)\cdot \dfrac{8}{7}*
  4. *~~\dfrac{6}{3}\cdot \dfrac{1}{8}*
  5. *~~\left(-\dfrac{1}{9}\right)\cdot \left(-\dfrac{9}{8}\right)*
  6. *~~\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot \dfrac{4}{10}*

Soluciones:

  1. *~~\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}*
  2. *~~\dfrac{3}{5}\cdot \left(-\dfrac{5}{4}\right)=-\dfrac{3\cdot 5}{3\cdot 4}=-\dfrac{15}{12}=-\dfrac{3}{4}*
  3. *~~\left(-\dfrac{7}{8}\right)\cdot \dfrac{8}{7}=-\dfrac{7\cdot 8}{8\cdot 7}=-\dfrac{56}{56}=-1*
  4. *~~\dfrac{6}{3}\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{6\cdot 1}{3\cdot 8}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}*
  5. *~~\left(-\dfrac{1}{9}\right)\cdot \left(-\dfrac{9}{8}\right)=+\dfrac{1\cdot 9}{9\cdot 8}=\dfrac{9}{72}=\dfrac{1}{8}*
  6. *~~\left(-\dfrac{3}{5}\right)\cdot \dfrac{4}{10}=-\dfrac{3\cdot 4}{5\cdot 10}=-\dfrac{12}{50}=-\dfrac{6}{25}*

Cómo multiplicar una fracción por un entero

Multiplicar una fracción por un número entero significa repetir esa fracción tantas veces como indica el entero. Recuerde que un número entero es una fracción con denominador 1.

Para multiplicar un entero por una fracción, se multiplica el entero por el numerador y de la fracción y se mantiene el mismo denominador.

*a\cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{a\cdot b}{c}*

Ejemplo 1

*5\cdot \dfrac{3}{4}*

Se quiere obtener cuánto es 5 veces la fracción 3/4. Para ello, podemos pensar al 5 como la fracción 5/1 y realizar la multiplicación.

*5\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{1}\cdot \dfrac{3}{4}*

*=\dfrac{5\cdot 3}{1\cdot 4}*

*=\dfrac{15}{4}*

El resultado hubiera sido el mismo si multiplicamos el entero 5 por el numerador de la fracción.

Ejemplo 2

*-20\cdot \dfrac{1}{2}*

En este caso, se tiene un número entero negativo por una fracción positiva. Por regla de signos, el resultado será negativo. Para resolver la operación, multiplicamos el entero por el numerador de la fracción y simplificamos:

*-20\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{-20\cdot 1}{2}*

*=-\dfrac{20}{2}*

*=-10*

Ejemplo 3

Juan desea hornear 10 galletas y cada una requiere 1/2​ de taza de azúcar. ¿Cuántas tazas de azúcar necesitará en total?

Solución: Como cada galleta requiere 1/2 taza de azúcar, el total de galletas que quiere hornear Juan requerirá 10 veces 1/2 taza de azúcar, lo que equivale a multiplicar estos dos números:

*10\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{10\cdot 1}{2}*

*=\dfrac{10}{2}*

*=5*

En conclusión, Juan requerirá 5 tazas de azúcar para hacer las diez galletas.

Ejemplo 4

Pedro llenó con agua tres quintos de un balde con capacidad para cinco litros. ¿Cuántos litros de agua hay en el balde?

Solución: Están ocupados 3/5 de un balde con capacidad para 5 litros. Para obtener la cantidad de agua, basta con saber cuánto es 3/5 de 5 litros, multiplicando esos números:

*\dfrac{3}{5}\cdot 5=\dfrac{3\cdot 5}{5}*

*=\dfrac{3\cdot \cancel{5}}{\cancel{5}}*

*=3*

Entonces, en el balde hay 3 litros de agua.

Ejercicios para practicar: resolver los siguientes productos de fracciones con enteros.

  1. *~~3\cdot \dfrac{2}{5}*
  2. *~~\dfrac{3}{8}\cdot (-4)*
  3. *~~5\cdot \dfrac{1}{3}*
  4. *~~-2\cdot \dfrac{4}{7}*
  5. *~~-\dfrac{2}{9}\cdot (-6)*
  6. *~~9\cdot -\dfrac{2}{3}*

Soluciones:

  1. *~~3\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}*
  2. *~~\dfrac{3}{8}\cdot (-4)=-\dfrac{3}{2}*
  3. *~~5\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}*
  4. *~~-2\cdot \dfrac{4}{7}=-\dfrac{8}{7}*
  5. *~~-\dfrac{2}{9}\cdot (-6)=\dfrac{4}{3}*
  6. *~~9\cdot -\dfrac{2}{3}=-6*

Multiplicaciones sucesivas de tres o más fracciones

Tres o más fracciones se pueden multiplicar siguiendo los mismos pasos que vimos inicialmente. Hay que tener en cuenta la regla de los signos, por ello resulta conveniente deducir de antemano el signo que tendrá el resultado.

Ejemplo:

*\dfrac{16}{4}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{9}{5}\right)\cdot \left(-\dfrac{2}{7}\right)=*

*\dfrac{16\cdot 1\cdot (-9)\cdot (-2)}{4\cdot 2\cdot 5\cdot 7}=*

*=+\dfrac{288}{280}*

*=\dfrac{36}{35}*

Propiedades de la multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones cumple con una serie de propiedades matemáticas. Estas son:

  • Conmutatividad: el orden de los factores no altera el producto. Es decir,
    $$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{a}{b}$$
  • Asociatividad: la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir,
    $$\left(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}\right)\cdot \dfrac{e}{f}=\dfrac{a}{b}\cdot \left(\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{e}{f}\right)$$
  • Distributividad respecto a la suma y resta: una suma (o resta) multiplicada por una fracción es igual a la suma (o resta) de esa fracción por cada término. Es decir:
    $$\dfrac{a}{b}\cdot \left(\dfrac{c}{d}±\dfrac{e}{f}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}±\dfrac{a}{b}\cdot  \dfrac{e}{f}$$
  • Elemento neutro: existe una fracción que multiplicada por cualquier otra fracción no altera su valor: esa fracción es *\dfrac{1}{1}.* Es decir,
    $$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{1}=\dfrac{a}{b}$$
  • Elemento inverso o simétrico: para cada fracción existe otra tal que si las multiplicamos da como resultado 1, es decir, el elemento neutro. Esta fracción es la inversa y se obtiene de cambiar el orden del numerador y denominador. Es decir,
    $$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{1}=1$$

Preguntas frecuentes

¿Cómo se multiplican las fracciones?

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

¿Cómo se multiplica una fracción por un número entero?

Para multiplicar una fracción por un número entero, se multiplica el número entero por el numerador de la fracción y se conserva el mismo denominador.

¿Cómo se multiplican fracciones con el mismo denominador?

En la multiplicación no importa si los denominadores son iguales, el procedimiento es siempre el mismo: multiplicar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.

¿Cómo se multiplican fracciones con diferente denominador?

En la multiplicación no es relevante si las fracciones son homogéneas o heterogéneas, el procedimiento es el mismo: multiplicar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. No se debe encontrar un denominador común como en el caso de la suma.

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Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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