Radicación de fracciones
En este artículo desarrollamos la radicación de números fraccionarios mediante una guía completa con fórmulas, explicaciones, propiedades y ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
Repaso sobre radicación
La radicación es una operación que consiste en encontrar una cantidad, llamada raíz, que elevada a un exponente específico, produce un número dado. La radicación es la inversa de la potenciación, pues mientras que elevar un número a un exponente implica multiplicar ese número por sí mismo varias veces, la radicación implica encontrar cuál es el número que, elevado a un exponente específico, produce un valor dado.
La raíz cuadrada de un número *a* es otro número *b* que elevado al cuadrado es igual a *a.* En símbolos:
*\sqrt{a}=b* si y solo si *b^2=a*
La raíz cúbica de un número *a* es otro número *b* que elevado al cubo es igual a *a.* En símbolos:
*\sqrt[3]{a}=b* si y solo si *b^3=a*
El símbolo *\sqrt{~}* se llama radical, el número *a* (que está dentro del radical) se llama radicando, el número pequeño encima del símbolo radical se llama índice de la raíz y *b* se llama raíz de a. En el caso de raíces cuadradas, el índice no suele escribirse, o sea *\sqrt{~}* es una raíz cuadrada, los demás índices siempre se escriben.
De forma similar a la anterior se pueden definir raíces de índices 4, 5, 6, 7, etc. La lógica es siempre la misma: el resultado es un número que elevado al índice de la raíz produce lo que está dentro de ella, en el radicando.
Qué es la radicación de fracciones
La raíz cuadrada de una fracción *\dfrac{a}{b}* es otra fracción *\dfrac{c}{d}* que elevada al cuadrado es igual *\dfrac{a}{b}.* En símbolos:
*\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{c}{d}* si y solo si *\left(\dfrac{c}{d}\right)^2=\dfrac{a}{b}*
La raíz cúbica de una fracción *\dfrac{a}{b}* es otra fracción *\dfrac{c}{d}* que elevada al cubo al cubo es igual *\dfrac{a}{b}.* En símbolos:
*\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{c}{d}* si y solo si *\left(\dfrac{c}{d}\right)^3=\dfrac{a}{b}*
Por ejemplo:
- *\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}* porque *\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}*
- *\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}* porque *\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{27}{8}*
Algo importante a destacar es que las raíces cuadradas de números negativos no son números reales (habitualmente se dice que "no existen"), lo mismo ocurre con cualquier raíz de índice par. En cambio, con las raíces cúbicas o de índice impar este problema no ocurre.
Por una propiedad de la radicación, cuando queremos calcular la raíz de una fracción, podemos "distribuir" la raíz al numerador y al denominador, o sea:
*\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}*
*\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}*
siempre que todas las raíces existan. Utilizando esta propiedad tenemos una forma práctica de calcular las raíces de fracciones.
Cómo calcular las raíces de fracciones
Para calcular la raíz de una fracción, se calcula la raíz del numerador y la del denominador.
*\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}*
Para extraer la raíz cuadrada de una fracción, se extraen las raíces cuadradas del numerador y del denominador:
*\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}*
Para extraer la raíz cúbica de una fracción, se extraen las raíces cúbicas del numerador y del denominador:
*\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}*
Para comprobar que el resultado obtenido es el correcto, podemos hacer una verificación usando la definición. O sea, si hemos calculado una raíz cuadrada, elevar el resultado al cuadrado tiene que dar igual al radicando; en el caso de raíces cúbicas, elevar el resultado al cubo debe arrojar el radicando; y así con los demás índices.
Ejercicios resueltos de raíces de fracciones
Veremos a continuación algunos ejercicios resueltos de radicación de fracciones usando el procedimiento antes dicho.
Raíces cuadradas
*\sqrt{\dfrac{4}{16}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{16}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}*
*\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\dfrac{1}{5}*
*\sqrt{\dfrac{36}{4}}=\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}=\dfrac{6}{2}=3*
Raíces cúbicas
*\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}=\dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}}=\dfrac{3}{5}*
*\sqrt[3]{-\dfrac{8}{216}}=\dfrac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{216}}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}*
*\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}=\dfrac{1}{4}*
Raíces de otros índices
*\sqrt[4]{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\dfrac{3}{2}*
*\sqrt[5]{\dfrac{32}{243}}=\dfrac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}}=\dfrac{2}{3}*
Cómo calcular raíces de fracciones negativas
Las fracciones siguen las mismas reglas que los demás números. Por tanto, la raíz de índice par de una fracción negativa no existe (no es un número real), mientras que la raíz de índice impar de una fracción negativa sí existe (sí es un número real).
Ejemplos:
*\sqrt[3]{-\dfrac{512}{64}}=\dfrac{\sqrt[3]{-512}}{\sqrt[3]{64}}=\dfrac{-8}{4}=-2*
*\sqrt{-\dfrac{3}{11}}* No existe, pues no se puede resolver una raíz cuadrada de una fracción negativa.
