Propiedades de las raíces
En este artículo explicamos todas las propiedades de los radicales y sus aplicaciones en matemáticas con ejemplos prácticos. También hacemos foco en la limitación con casos donde no pueden aplicarse estas leyes.
Índice
Definición de raíz
La raíz enésima de un número real se define como aquel número real que, cuando se eleva a la potencia n, da por resultado el número original. En símbolos:
*\sqrt[n]{a}=b~~* si y solo si *~~b^n=a*
donde n es un entero positivo mayor o igual a 2 y a es un número real.
El símbolo *\sqrt[n]{a}* para la raíz enésima de a en se llama radical; el entero n se llama índice y a es el radicando.
Si el índice de un radical es 2, *\sqrt[2]{a}* recibe el nombre de raíz cuadrada de *a* y se omite el índice 2 escribiendo simplemente *\sqrt{a}.* La raíz cuadrada de un número a es un número b que elevado al cuadrado da por resultado a:
*\sqrt{a}=b~~* si y solo si *~~b^2=a*
Si el índice es 3, *\sqrt[3]{a}* se llama raíz cúbica de *a.* La raíz cúbica de un número a se define como el número b que elevado al cubo da como resultado a:
*\sqrt[3]{a}=b~~* si y solo si *~~b^3=a*
Extraer raíces consiste entonces en encontrar un número que, elevado al índice de la raíz, arroje el radicando. Por ejemplo:
*\sqrt{4}=2* porque *2^2=4*
*\sqrt{16}=4* porque *4^2=16*
*\sqrt[3]{-8}=-2* porque *(-2)^3=-8*
*\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}}=\dfrac{1}{2}* porque *\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{1}{32}*
Hay que tener en cuenta que no se puede extraer una raíz de índice par de un número negativo en el campo de los números reales. Por ejemplo, *\sqrt{-1};~\sqrt[4]{-16};~\sqrt[8]{-3}* no se pueden resolver con números reales. En el caso de las raíces de índice impar de negativos, esta limitación no existe; es por ello que, por ejemplo, *\sqrt[3]{-8}* pudo resolverse.
Importante: al resolver raíces de índice par, es habitual encontrar dos números que cumplen con la definición de raíz, uno positivo y otro negativo. Por ejemplo, para *\sqrt{4},* *2* es una solución, pues *2^2=4;* ahora bien, *-2* también es una solución, pues *(-2)^2=4.*
Esto podría llevar a pensar que *\sqrt{4}=±2.* Sin embargo, para evitar confusiones operativas, se reserva el símbolo de raíz cuadrada para la solución positiva, es decir, se hace *\sqrt{4}=2,* y esta recibe el nombre de raíz principal. Para indicar la solución negativa, se coloca el signo menos delante de la raíz: *-\sqrt{4}=-2.*
Si se quieren indicar las dos soluciones en una misma expresión, se debe colocar el símbolo más menos delante de la raíz: *±\sqrt{4}=±2.* Esto mismo se extiende para todas las raíces de índices pares.
Los radicales cumplen una serie de leyes que nos permiten, entre otras cosas, realizar operaciones y simplificaciones. En el siguiente cuadro se muestran todas estas propiedades. Iremos desarrollando las más importantes en detalle.
Sean *a* y *b* números reales, *m* y *n* enteros positivos. Suponiendo que todos los radicales indicados existen, se cumplen las siguientes propiedades:
- *\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}*
- *\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}* *(b≠0)*
- *\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}*
- *(\sqrt[n]{a})^n=a* si *\sqrt[n]{a}* es un número real
- *\sqrt[n]{a^n}=a* si n es impar
- *\sqrt[n]{a^n}=|a|* si n es par
- *\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m*
- *\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}*
Raíz como exponente fraccionario
Esta es a veces tratada como una identidad fundamental: las raíces son una forma diferente de escribir a los exponentes fraccionarios:
Si *a* es un número real y *m* y *n* son enteros positivos, entonces:
*\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}* siempre que *\sqrt[n]{a}* exista
Es decir, un número elevado a una fracción es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y cuyo radicando es el número elevado al numerador de la fracción.
Un caso especial se da cuando *m=1:*
*\sqrt[n]{a}=a^{1/n}*
Note que si *n* es par y *a<0* entonces *\sqrt[n]{a}* y *a^{1/n}* no existen. Aplicando esta propiedad a las raíces cuadradas, la fórmula es: *\sqrt{a}=a^{1/2}*
Ejemplos:
*\sqrt{4}=4^{1/2}*
*\sqrt[3]{11}=11^{1/3}*
*\sqrt[5]{4^3}=4^{3/5}*
*\sqrt[4]{20^6}=20^{6/4}*
Teniendo en cuenta la propiedad 7, se da que:
*\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}=(a^{1/n})^m=(a^m)^{1/n}*
Esta identidad es útil a la hora de simplificar radicales y también demostrar propiedades, ya que todos los radicales cumplen con las leyes de los exponentes.
Cancelación de raíces
Si *\sqrt{a}=b* entonces *b^2=a;* esto es, *(\sqrt{a})^2=a.* Si *\sqrt[3]{a}=b,* entonces *b^3=a* o *(\sqrt[3]{a})=a.* Generalizando este patrón para obtener las propiedades 5 y 6, que nos permiten anular radicales donde el índice es igual al exponente, teniendo especial cuidado cuando el índice es par.
Sea *a* un número real y *n* un entero positivo, entonces:
*\sqrt[n]{a^n}=a* si *n* es impar
*\sqrt[n]{a^n}=|a|* si *n* es par
Es decir, la raíz enésima de una potencia enésima es igual a la base, cuando n es impar. Y la raíz enésima de una potencia enésima es igual al valor absoluto de la base, cuando n es par.
Para el caso particular de raíces cuadradas, la propiedad nos dice que la raíz cuadrada de un número al cuadrado es igual al valor absoluto de ese número: *\sqrt{a^2}=|a|*
Ejemplos:
*\sqrt{4^2}=4*
*\sqrt[3]{(-8)^3}=-8*
*(\sqrt[5]{-27})^5=-27*
Recuerde que *\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m,* el exponente puede estar dentro o fuera de la raíz.
Teniendo un índice impar se puede cancelar de manera más directa, en el caso del índice par es necesario realizar el valor absoluto del radicando. La explicación de esto último es por lo que ocurre cuando hay números negativos.
*\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2*
No es correcto cancelar directamente la raíz con el exponente, pues:
*\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2*
Raíz de un producto
Sean *a* y *b* números reales, *n* un entero positivo y *a≥0* y *b≥0* si *n* es par, entonces:
*\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}*
Es decir, la raíz de un producto es el producto de las raíces de cada factor, conservando el mismo índice.
Ejemplos:
*\sqrt{3\cdot 5}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}*
*\sqrt[3]{(-20)\cdot 6}=\sqrt[3]{-20}\cdot \sqrt[3]{6}*
*\sqrt[8]{5^2\cdot 3^3}=\sqrt[8]{5^2}\cdot \sqrt[8]{3^3}*
Es importante aclarar que todas las raíces existan de forma independiente, pues podría ocurrir un caso como el siguiente donde no se cumple la propiedad:
*\sqrt{(-2)(-5)}≠\sqrt{-2}\sqrt{-5}*
Nótese que las raíces del segundo miembro no son números reales. Por esto, en el enunciado se exigió que los factores sean no negativos cuando el índice es par.
Podemos utilizar la misma propiedad para multiplicar dos raíces de igual índice: se conserva el índice y se multiplican los radicandos.
*\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}*
Raíz de un cociente
Sean *a* y *b* números reales, *n* un entero positivo, y *a≥0* y *b>0* si *n* es par, entonces:
*\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}* *(b≠0)*
Es decir, la raíz de un cociente es el cociente entre las raíces del dividendo y el divisor.
Ejemplos:
*\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}*
*\sqrt[5]{\dfrac{-5}{8}}=\dfrac{\sqrt[5]{-5}}{\sqrt[5]{8}}*
Al igual que con el caso anterior, se exige que las raíces existan de forma independiente.
La propiedad puede utilizarse para el cociente de raíces de igual índice: se conserva el índice y se dividen los radicandos.
*\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}*
Raíz de una raíz
Sea *a* un número real, *m* y *n* enteros positivos, si se supone que todas las raíces existen, entonces:
*\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}*
Es decir, la raíz de una raíz es igual a otra raíz cuyo índice es el producto de los índices originales.
Escribiendo en forma de exponente se puede llegar a una demostración por potencia de otra potencia:
*\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=(\sqrt[n]{a})^{1/m}=(a^{1/n})^{1/m}=a^{1/m\cdot n}=\sqrt[m\cdot n]{a}*
Ejemplos:
*\sqrt[3]{\sqrt{5}}=\sqrt[3\cdot 2]{5}=\sqrt[6]{5}*
*\sqrt[5]{\sqrt[4]{9}}=\sqrt[5\cdot 4]{9}=\sqrt[20]{9}*
*\sqrt{\sqrt{11}}=\sqrt[2\cdot 2]{11}=\sqrt[4]{11}*
Raíz de una potencia
Sea *a* un número real, *m* y *n* enteros positivos, si *a≥0* cuando *n* es par, entonces:
*\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m*
Es decir, la raíz de una potencia es igual a extraer la raíz de la base y elevar el resultado al exponente.
Esta ley es útil porque en ocasiones es más sencillo primero extraer la raíz y luego elevarla al exponente correspondiente; en otras ocasiones, conviene hacerlo al revés.
Ejemplos:
*\sqrt[3]{8^4}=(\sqrt[3]{8})^4=2^4=16*
*\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4*
*\sqrt[5]{(-32)^2}=(\sqrt[5]{-32})^2=(-2)^2=4*
Composición y descomposición de raíces
Sean *a* y *b* números reales, *n* un entero positivo, si se supone que todas las raíces existen, entonces:
*b\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a\cdot b^n}*
*\sqrt[n]{a\cdot b^n}=b\sqrt[n]{a}*
Es decir, un número que multiplica a un radical se puede ingresar multiplicando al radicando y elevado al índice de la raíz. Del mismo modo, si existe un factor en el radicando cuyo exponente es igual al índice de la raíz, se puede extraer del radical. Este último proceso es utilizado para simplificar un radical.
Ejemplos:
*5\cdot \sqrt[4]{13}=\sqrt[4]{13\cdot 5^4}=\sqrt[4]{8125}*
*\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 2^2}=2\cdot \sqrt{3}*
*\sqrt[3]{-40}=\sqrt[3]{(-5)\cdot 2^3}=2\sqrt[3]{-5}*
Puedes ver más ejemplos en este artículo:
Se debe tener cuidado si hay sumas o diferencias en el radicando. A continuación, se muestran dos advertencias particulares referentes a errores que se cometen con frecuencia.
- La raíz cuadrada de una suma de cuadrados no se puede simplificar: $$\sqrt{a^2+b^2}≠a+b$$
- La raíz cuadrada de una suma no es igual a la suma de las raíces de los sumandos: $$\sqrt{a+b}≠\sqrt{a}+\sqrt{b}$$
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las propiedades de las raíces?
Las propiedades de las raíces son las siguientes:
1. Cancelación: La raíz enésima de una potencia enésima es igual a la base, cuando n es impar. Y la raíz enésima de una potencia enésima es igual al valor absoluto de la base, cuando n es par.
2. Raíz de un producto: La raíz de un producto es el producto de las raíces de cada factor, conservando el mismo índice.
3. Raíz de un cociente: La raíz de un cociente es el cociente entre las raíces del dividendo y el divisor.
4. Raíz de una raíz: La raíz de una raíz es igual a otra raíz cuyo índice es el producto de los índices originales.
5. Raíz de una potencia: La raíz de una potencia es igual a extraer la raíz de la base y elevar el resultado al exponente.
6. Composición y descomposición: Un número que multiplica a un radical se puede ingresar multiplicando al radicando y elevado al índice de la raíz. Se puede extraer de un radical un factor cuyo exponente sea igual al índice de la raíz.
¿Cuáles son las propiedades de la raíz cuadrada?
Las propiedades importantes de la raíz cuadrada son:
1. La raíz cuadrada de un producto es igual al producto las raíces cuadradas de los factores.
2. La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente las raíces cuadradas del dividendo y el divisor.
3. La raíz cuadrada de una raíz cuadrada de un número es igual a la raíz cuarta del número.
4. La raíz cuadrada de un número al cuadrado es igual al valor absoluto de ese número.
5. La raíz cuadrada de una potencia es igual a la potencia de la raíz cuadrada de la base.
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