Operaciones con radicales

En este artículo se explican las operaciones básicas con expresiones radicales: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación con ejemplos resueltos. Además, veremos los procesos de simplificación de raíces y la racionalización. Trabajamos con raíces de cualquier índice: cuadradas, cúbicas, etc.

Suma y resta de radicales

Para sumar o restar radicales estos deben ser semejantes, o sea, las raíces deben ser idénticas. El procedimiento consiste en sumar los coeficientes y copiar la misma raíz.

*a\sqrt[n]{k}+b \sqrt[n]{k}=(a+b) \sqrt[n]{k}*

Si los radicales no son semejantes, se intentan modificar para que lo sean.

Ejemplos:

*5\sqrt{5}+4\sqrt{5}=(5+4)\sqrt{5}=9\sqrt{5}*

*4\sqrt[3]{14}-10\sqrt[3]{14}=(4-10)\sqrt[3]{14}=-6\sqrt[3]{14}*

Puedes ver más ejemplos y qué ocurre con radicales no semejantes en este artículo:

Multiplicación de radicales

Para multiplicar dos radicales, estos deben tener el mismo índice. El procedimiento consiste en multiplicar los coeficientes y los radicandos por separado, estos últimos dentro de una misma raíz con el mismo índice.

*\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}*

*p\sqrt[n]{a}\cdot q\sqrt[n]{b}=p\cdot q\sqrt[n]{a\cdot b}*

Si los radicales son de diferente índice, es necesario igualarlos hallando un radical equivalente.

Ejemplos:

*-4\sqrt[3]{5}\cdot 6\sqrt[3]{4}=(-4\cdot 6)\sqrt[3]{5\cdot 4}=-24\sqrt[3]{20}*

*3\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{2}=3\sqrt{5\cdot 2\cdot 2}=3\sqrt{20}*

Mira más ejemplos y qué hacer con radicales de distinto índice en este artículo:

División de radicales

Para dividir dos radicales, estos deben tener igual índice. Lo que se hace es mantener el índice e integrar los radicandos en una misma raíz. Los coeficientes se operan por fuera.

*\dfrac{a\sqrt[n]{p}}{b\sqrt[n]{q}}=\dfrac{a}{b}\sqrt[n]{\dfrac{p}{q}}*

Si los radicales son de diferente índice, es necesario igualarlos primero.

Ejemplos:

*\dfrac{3\sqrt{48}}{4\sqrt{8}}=\dfrac{3}{4}\sqrt{\dfrac{48}{8}}=\dfrac{3}{4}\sqrt{6}*

*\dfrac{6\sqrt{20}}{4\sqrt{5}}=\dfrac{6}{4}\sqrt{\dfrac{20}{5}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{4}=\dfrac{3}{2}\cdot 2=3*

Puedes ver más ejemplos y qué hacer con radicales de distinto índice en este artículo:

Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas con radicales, también llamadas mixtas, son expresiones que contienen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de raíces. Para resolverlas es importante conocer los procedimientos de cada caso.

Ejemplo:

*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})=5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{3^2\cdot 2})=5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+21\sqrt{2})*

*=5\sqrt{3}\cdot(30\sqrt{2})=5\cdot 30\sqrt{3}{\sqrt{2}}=150\sqrt{6}*

Potenciación de radicales

Una raíz elevada a un exponente es igual a elevar el radicando al exponente conservando el mismo índice. Esto es posible por una propiedad de las raíces.

*(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}*

*(\sqrt{2})^4=\sqrt{2^4}=\sqrt{16}=4*

*(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}*

*(-\sqrt[5]{4})^6=\sqrt[5]{4^6}=\sqrt[5]{4096}*

Radicación de radicales

La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con igual radicando y con índice igual al producto de los índices originales. Esta igualdad surge por una propiedad de las raíces.

*\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}*

Ejemplos:

*\sqrt[4]{\sqrt[6]{7}}=\sqrt[4\cdot 6]{7}=\sqrt[24]{7}*

*\sqrt{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[2\cdot 3]{5}=\sqrt[6]{5}*

*\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt{14}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 2]{14}=\sqrt[20]{14}*

Simplificación

Simplificar un radical consiste en escribirlo de la forma más sencilla posible, de modo que tenga el menor índice, no pueda extraerse ningún factor del radicando y no haya fracciones en este.

Ejemplos:

*\sqrt[3]{7^3}=7*

*\sqrt[7]{20^{14}}=20^{\frac{14}{7}}=20^2=400*

*\sqrt[3]{2^{11}}=2^3\sqrt[3]{2^2}=8\sqrt[3]{4}*

Mira más ejemplos y procedimientos en el siguiente artículo:

Racionalización

Racionalizar es reescribir un cociente de modo que se remuevan los radicales del numerador o del denominador.

Ejemplos:

*\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}*

*\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\dfrac{(\sqrt{8})^2}{\sqrt{3\cdot 8}}=\dfrac{8}{\sqrt{24}}*

*\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}}=\dfrac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{49}}{7}*

Mira más ejemplos y casos de racionalización en el siguiente artículo:

Potencias de radicales como se resuelven
Potencias de radicales ejercicio resuelto
Raíz de radicales, raíz de otra raíz, formula
Raíces de radicales, raíz de otra raíz, ejercicio resuelto

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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