Operaciones combinadas con radicales
En este artículo explicamos cómo resolver operaciones combinadas con raíces. Veremos una guía paso a paso con ejercicios resueltos.
Índice
Qué son las operaciones combinadas con radicales
Las operaciones combinadas o mixtas con radicales son expresiones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones donde aparecen raíces. Para resolverlas, es necesario conocer cómo se procede en cada caso. Aquí puedes leer el paso a paso específico de cada operación:
Cómo resolver operaciones combinadas con radicales
Algunas recomendaciones para resolver este tipo de problemas son:
- Simplificar cada radical tanto como sea posible, incluso antes de comenzar a operar. Esto permitirá trabajar con expresiones menos complejas.
- Conocer las propiedades de las raíces como la raíz de un producto, raíz de un cociente y raíz de una raíz. Esto facilitará el proceso de operar.
Es conveniente seguir realizar las operaciones en un cierto orden, de modo que se evite al máximo llegar a resultados incorrectos. Este orden se suele llamar jerarquía de operaciones.
La jerarquía de operaciones para resolver operaciones combinadas es:
- Resolver primero lo que está entre paréntesis, corchetes y llaves.
- Resolver los exponentes y raíces (que se puedan).
- Resolver las multiplicaciones y divisiones.
- Calcular las sumas y restas.
Este orden no es estricto y en la mayoría de casos un mismo problema se puede resolver siguiendo distintos procedimientos, pero seguir la jerarquía puede ser de utilidad.
Ejemplo 1
*\dfrac{\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{\sqrt{5}}*
En el ejercicio aparece la división y la multiplicación. Tienen la misma jerarquía, pero es conveniente resolver primero el producto del numerador y luego el cociente.
Para resolver multiplicaciones y divisiones de radicales es necesario que los radicales tengan el mismo índice. Podríamos primero hacer esto en el denominador y luego, el resultado, igualarlo en índice al denominador, pero para simplificar los cálculos hallamos un índice común de las tres raíces.
*MCM(2,3,2)=6*
Para *\sqrt{2}:*
*\dfrac{6}{2}=3*
Entonces: *\sqrt{2}=\sqrt[2\cdot 3]{2^{3}}=\sqrt[6]{8}*
Para *\sqrt[3]{3}:*
*\dfrac{6}{3}=2*
Entonces: *\sqrt[3]{3}=\sqrt[3\cdot 2]{3^2}=\sqrt[6]{9}*
Para *\sqrt{5}:*
*\dfrac{6}{2}=3*
Entonces: *\sqrt{5}=\sqrt[2\cdot 3]{5^3}=\sqrt[6]{125}*
Habiendo igualado, podemos pasar a resolver el ejercicio:
*\dfrac{\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt[6]{8}\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{125}}*
*=\dfrac{\sqrt[6]{8\cdot 9}}{\sqrt[6]{125}}*
*=\dfrac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{125}}*
*=\sqrt[6]{\dfrac{72}{125}}*
Ejemplo 2
*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})*
En el problema aparece un producto y una suma encerrada entre paréntesis. Por jerarquía, deberíamos resolver primero lo del paréntesis y luego multiplicar. Dada la situación, también es posible aplicar la propiedad distributiva y llegar a un resultado correcto.
Resolviendo por jerarquía:
*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})=5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{3^2\cdot 2})*
*=5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+21\sqrt{2})*
*=5\sqrt{3}\cdot(30\sqrt{2})*
*=5\cdot 30\sqrt{3}{\sqrt{2}}*
*=150\sqrt{6}*
Resolviendo por propiedad distributiva:
*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})=5\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{2}+5\sqrt{3}\cdot 7\sqrt{3^2\cdot 2}*
*=45\sqrt{6}+105\sqrt{6}*
*=150\sqrt{6}*
Ejemplo 3
*\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt[3]{6}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*
Por jerarquía, resolvemos primero la división y luego la resta. Es necesario reducir a índice común.
*MCM(2,3)=6*
*\sqrt{3}=\sqrt[2\cdot 3]{3^3}=\sqrt[6]{27}*
*\sqrt[3]{6}=\sqrt[3\cdot 2]{6^2}=\sqrt[6]{36}*
Reemplazando en el problema original:
*\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt[3]{6}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{6\sqrt[6]{27}}{\sqrt[6]{36}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*
*=6\sqrt[6]{\dfrac{27}{36}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*
*=6\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*
*=5\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*
Ejemplo 4
*\sqrt{2}\sqrt{8}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*
En el ejemplo tenemos multiplicaciones de raíces, suma, resta y división. Lo que está en el primer paréntesis no se puede simplificar más, y lo que está en el segundo paréntesis es el divisor de la operación. Para comenzar podemos resolver la primera multiplicación:
*\sqrt{2}\sqrt{8}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})=\sqrt{2\cdot 8}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*
*=\sqrt{16}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*
*=4-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*
Para más comodidad, reescribiremos la división con una raya fraccionaria. Luego, distribuimos el denominador a cada término. Debido al signo negativo delante, se cambiarán los signos de los dos términos.
*4-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})=4-\dfrac{7\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}*
*=4-\dfrac{7\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}-\dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}*
*=4-\dfrac{7}{4}\sqrt{\dfrac{5}{3}}-\dfrac{1}{2}*
*=\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{4}\sqrt{\dfrac{5}{3}}*
