Operaciones combinadas con radicales

En este artículo explicamos cómo resolver operaciones combinadas con raíces. Veremos una guía paso a paso con ejercicios resueltos.

Qué son las operaciones combinadas con radicales

Las operaciones combinadas o mixtas con radicales son expresiones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones donde aparecen raíces. Para resolverlas, es necesario conocer cómo se procede en cada caso. Aquí puedes leer el paso a paso específico de cada operación:

Cómo resolver operaciones combinadas con radicales

Algunas recomendaciones para resolver este tipo de problemas son:

  • Simplificar cada radical tanto como sea posible, incluso antes de comenzar a operar. Esto permitirá trabajar con expresiones menos complejas.
  • Conocer las propiedades de las raíces como la raíz de un producto, raíz de un cociente y raíz de una raíz. Esto facilitará el proceso de operar.

Es conveniente seguir realizar las operaciones en un cierto orden, de modo que se evite al máximo llegar a resultados incorrectos. Este orden se suele llamar jerarquía de operaciones.

La jerarquía de operaciones para resolver operaciones combinadas es:

  1. Resolver primero lo que está entre paréntesis, corchetes y llaves.
  2. Resolver los exponentes y raíces (que se puedan).
  3. Resolver las multiplicaciones y divisiones.
  4. Calcular las sumas y restas.

Este orden no es estricto y en la mayoría de casos un mismo problema se puede resolver siguiendo distintos procedimientos, pero seguir la jerarquía puede ser de utilidad.

Ejemplo 1

*\dfrac{\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{\sqrt{5}}*

En el ejercicio aparece la división y la multiplicación. Tienen la misma jerarquía, pero es conveniente resolver primero el producto del numerador y luego el cociente.

Para resolver multiplicaciones y divisiones de radicales es necesario que los radicales tengan el mismo índice. Podríamos primero hacer esto en el denominador y luego, el resultado, igualarlo en índice al denominador, pero para simplificar los cálculos hallamos un índice común de las tres raíces.

*MCM(2,3,2)=6*

Para *\sqrt{2}:*

*\dfrac{6}{2}=3*

Entonces: *\sqrt{2}=\sqrt[2\cdot 3]{2^{3}}=\sqrt[6]{8}*

Para *\sqrt[3]{3}:*

*\dfrac{6}{3}=2*

Entonces: *\sqrt[3]{3}=\sqrt[3\cdot 2]{3^2}=\sqrt[6]{9}*

Para *\sqrt{5}:*

*\dfrac{6}{2}=3*

Entonces: *\sqrt{5}=\sqrt[2\cdot 3]{5^3}=\sqrt[6]{125}*

Habiendo igualado, podemos pasar a resolver el ejercicio:

*\dfrac{\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt[6]{8}\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{125}}*

*=\dfrac{\sqrt[6]{8\cdot 9}}{\sqrt[6]{125}}*

*=\dfrac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{125}}*

*=\sqrt[6]{\dfrac{72}{125}}*

Ejemplo 2

*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})*

En el problema aparece un producto y una suma encerrada entre paréntesis. Por jerarquía, deberíamos resolver primero lo del paréntesis y luego multiplicar. Dada la situación, también es posible aplicar la propiedad distributiva y llegar a un resultado correcto.

Resolviendo por jerarquía:

*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})=5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{3^2\cdot 2})*

*=5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+21\sqrt{2})*

*=5\sqrt{3}\cdot(30\sqrt{2})*

*=5\cdot 30\sqrt{3}{\sqrt{2}}*

*=150\sqrt{6}*

Resolviendo por propiedad distributiva:

*5\sqrt{3}\cdot(9\sqrt{2}+7\sqrt{18})=5\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{2}+5\sqrt{3}\cdot 7\sqrt{3^2\cdot 2}*

*=45\sqrt{6}+105\sqrt{6}*

*=150\sqrt{6}*

Ejemplo 3

*\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt[3]{6}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*

Por jerarquía, resolvemos primero la división y luego la resta. Es necesario reducir a índice común.

*MCM(2,3)=6*

*\sqrt{3}=\sqrt[2\cdot 3]{3^3}=\sqrt[6]{27}*

*\sqrt[3]{6}=\sqrt[3\cdot 2]{6^2}=\sqrt[6]{36}*

Reemplazando en el problema original:

*\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt[3]{6}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{6\sqrt[6]{27}}{\sqrt[6]{36}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*

*=6\sqrt[6]{\dfrac{27}{36}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*

*=6\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}-\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*

*=5\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}*

Ejemplo 4

*\sqrt{2}\sqrt{8}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*

En el ejemplo tenemos multiplicaciones de raíces, suma, resta y división. Lo que está en el primer paréntesis no se puede simplificar más, y lo que está en el segundo paréntesis es el divisor de la operación. Para comenzar podemos resolver la primera multiplicación:

*\sqrt{2}\sqrt{8}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})=\sqrt{2\cdot 8}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*

*=\sqrt{16}-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*

*=4-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})*

Para más comodidad, reescribiremos la división con una raya fraccionaria. Luego, distribuimos el denominador a cada término. Debido al signo negativo delante, se cambiarán los signos de los dos términos.

*4-(7\sqrt{5}+2\sqrt{3}):(4\sqrt{3})=4-\dfrac{7\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}*

*=4-\dfrac{7\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}-\dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}*

*=4-\dfrac{7}{4}\sqrt{\dfrac{5}{3}}-\dfrac{1}{2}*

*=\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{4}\sqrt{\dfrac{5}{3}}*

Operaciones combinadas con radicales ejemplo resuelto 1
Operaciones combinadas con radicales ejemplo resuelto 2

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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