Simplificación de radicales
En este artículo veremos cómo simplificar radicales explicado y con ejercicios resueltos. Veremos los casos que pueden darse y qué hacer en cada uno.
Índice
Qué es un radical simplificado
Simplificar un radical es escribirlo de la forma más sencilla posible de modo que:
- El índice sea el menor posible.
- Ningún factor del radicando tenga un exponente mayor o igual al índice, de modo que no se pueda extraer ningún factor.
- El radicando no tenga fracciones.
Al realizar esta tarea podemos valernos de las leyes de los radicales, las cuales nos permiten simplificar de forma efectiva.
Sean *m* y *n* enteros positivos, *a* y *b* números reales y todos los siguientes radicales definidos, entonces:
- *\sqrt[n]{a^n}=a* si n es impar
- *\sqrt[n]{a^n}=|a|* si n es par
- *\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}*
- *\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}*
Como los radicales son una forma de escribir exponentes racionales, la siguiente propiedad también será de utilidad.
Sea *m/n* un número racional, donde *n* es un entero positivo mayor a *1.* Si *a* es un número real tal que *\sqrt[n]{a}* existe, entonces:
- *a^{1/n}=\sqrt[n]{a}*
- *a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}*
- *a^{m/n}=(a^{1/n})^m=(a^m)^{1/n}*
Casos de simplificación
Vemos a continuación los distintos casos que pueden darse a la hora de simplificar raíces.
Cancelación de raíces
Si el índice y el exponente de una raíz son iguales, es posible removerlos siguiendo la primera y segunda ley de los radicales. Estas se conocen como raíces perfectas.
Ejemplos:
*\sqrt{2^2}=2*
*\sqrt[3]{7^3}=7*
*\sqrt[7]{6^7}=6*
*\sqrt[4]{(-2)^4}=|-2|=2*
Un error muy común es simplificar *\sqrt{x^2}* como *x.* Esto solo es válido cuando *x* es no negativo. Lo mismo ocurre en cualquier raíz con índice par. Lo correcto es realizar el valor absoluto, como en el último ejemplo. Nótese que *\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2,* con lo cual no es correcto simplificar como *-2.*
Si utilizamos variables en lugar de números, se sigue el mismo principio, siempre teniendo cuidado cuando la raíz es de índice par.
*\sqrt{y^2}=|y|*
*\sqrt[3]{w^3}=w*
*\sqrt[9]{(14x)^9}=14x*
*\sqrt[4]{(-4x)^4}=|-4x|*
La cancelación tiene sentido también cuando se expresa a los radicales como exponentes. Si *a* es un número no negativo, entonces:
*\sqrt[n]{a^n}=(a^n)^{1/n}=a^{n/n}=a^1=a*
Extracción de factores del radical
Si el exponente de la raíz es mayor que el índice, es posible extraer algunos factores fuera del radical, incluso a veces eliminar la raíz.
Por ejemplo, *\sqrt{2^4}* se puede escribir en forma de exponente como *2^{\frac{4}{2}}.* Escribir *\dfrac{4}{2}* es equivalente a escribir *2,* ya que son el mismo número. Entonces: *\sqrt{2^4}= 2^{\frac{4}{2}}=2^2=4*
*\sqrt[7]{20^{14}}=20^{\frac{14}{7}}=20^2=400*
*\sqrt[3]{2^{27}}=2^{27/3}=2^9=512*
Se podrían resolver los mismos ejercicios sin necesidad de expresar el radical como exponente, haciendo uso de la siguiente propiedad.
Si se dividen o se multiplican el índice y el exponente de una raíz por un mismo número entero positivo, la nueva raíz que se obtiene es equivalente a la original.
*\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot k]{a^{m\cdot k}}*
*a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m\cdot k}{n\cdot k}}*
Por esto, el radical *\sqrt[3]{4^9}* se puede simplificar dividiendo el índice y el exponente por el número *3:* *\sqrt[\frac{3}{3}]{4^{\frac{9}{3}}}=4^3=64*
Ahora pasamos al caso en que el exponente es mayor al índice pero estos no son múltiplos, por ejemplo: *\sqrt[3]{2^4}.*
Una técnica consiste en descomponer el radicando en factores cuyos exponentes sean iguales al índice de la raíz.
*2^4* puede escribirse como *2^3\cdot 2* (por producto de potencias de igual base, el resultado es el mismo). De este modo, haciendo uso de la propiedad de la raíz de un producto:
*\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{2^3\cdot 2}=\sqrt[3]{2^3}\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}*
Se ha logrado sacar fuera de la raíz al número 2. Dejando un radical irreducible.
En el caso de raíces cuadradas, los factores deberán tener exponente 2; con raíces cuartas, exponente 4; etc. En ocasiones también será necesario primero descomponer el radicando en factores primos.
*\sqrt{7^5}=\sqrt{7^2 7^2 7}=\sqrt{7^2}\sqrt{7^2}\sqrt{7}=7\cdot 7\sqrt{7}=49\sqrt{7}*
*\sqrt[5]{3^{13}}=\sqrt[5]{3^5 3^5 3^3}=\sqrt[5]{3^5}\sqrt[5]{3^5}\sqrt[5]{3^3}=3\cdot 3\sqrt[5]{3^3}=9\sqrt[5]{27}*
*\sqrt{x^6}=\sqrt{x^2\cdot x^2\cdot x^2}=\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{x^2}\cdot \sqrt{x^2}=|x|\cdot |x|\cdot |x|=|x^3|*
*\sqrt{125}=\sqrt{5^3}=\sqrt{5^2 5}=\sqrt{5^2}\sqrt{5}=5\sqrt{5}*
*\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=\sqrt{2^22^22}=\sqrt{2^2}\sqrt{2^2}\sqrt{2}=4\sqrt{2}*
Otra técnica consiste en realizar la división entera entre el exponente y el índice. El cociente será el exponente del factor que queda fuera y el resto será el exponente del factor que queda dentro de la raíz.
Ejemplo: *\sqrt[3]{2^{11}}*
Realizando la división entera *11:3,* el cociente es *3* y el resto es *2.* Por tanto, el exponente del factor que va afuera será *3* y el que queda dentro de la raíz es *2.*
*\sqrt[3]{2^{11}}=2^3\sqrt[3]{2^2}=8\sqrt[3]{4}*
Si realizamos la descomposición del radicando y resulta en factores diferentes dentro del radical, hacemos lo que corresponda con cada uno. Si el exponente es igual al índice, se extrae el factor; si el exponente es mayor, se calcula cuántos factores quedarán dentro y cuántos fuera, etc.
Ejemplos:
*\sqrt{40}=\sqrt{2^3 5}=\sqrt{2^2\cdot 2\cdot 5}=\sqrt{2^2}\sqrt{2\cdot 5}=2\sqrt{10}*
*\sqrt[3]{432}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2^4}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2^3\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3}\sqrt[3]{2^3}\sqrt[3]{2}=6\sqrt[3]{2}*
Si aparecen variables hay que acordarse de efectuar el valor absoluto en el caso de que la raíz tenga índice par.
*\sqrt[4]{y^4 x^7}=\sqrt[4]{y^4\cdot x^4\cdot x^3 }=\sqrt[4]{y^4}\cdot \sqrt[4]{x^4}\cdot \sqrt[4]{x^3}=|y||x| \sqrt[4]{x^3}=|xy|\sqrt[4]{x^3}*
*\sqrt[3]{y^3x^4z}=\sqrt[3]{y^3\cdot x^3\cdot xz}=\sqrt[3]{y^3}\cdot \sqrt[3]{x^3}\cdot \sqrt[3]{xz}=xy\sqrt[3]{xz}*
*\sqrt[4]{x^6y^3}=\sqrt[4]{x^4\cdot x^2y^3}=\sqrt[4]{x^4}\sqrt[4]{x^2y^3}=|x|\sqrt[4]{x^2y^3}*
Simplificación de índice y exponente
Puede pasar que el índice sea mayor al exponente pero múltiplo de este. En tal caso, se puede recurrir a la forma con exponente para simplificar o dividir índice y exponente por un número conveniente.
Ejemplos:
*\sqrt[4]{3^2}=3^{2/4}=3^{1/2}=\sqrt{2}*
*\sqrt[6]{x^2}=x^{2/6}=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}*
*\sqrt[20]{16}=\sqrt[20]{2^4}=2^{4/20}=2^{1/5}=\sqrt[5]{2}*
Eliminación de fracciones del radicando
Al principio del artículo vimos que el último criterio para decir que un radical está simplificado es que no existan fracciones en el radicando. Solucionar esta cuestión es sencillo utilizando la ley de raíz de un cociente.
Por ejemplo, *\sqrt{\dfrac{2}{5}}* se puede escribir como *\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.* Con esto se eliminan las fracciones del radicando.
Sin embargo, existe una convención que incita a que el denominador de un cociente sea un número racional, es decir, remover los radicales del denominador. Esto se llama racionalizar el denominador.
En nuestro ejemplo podemos hacer esto multiplicando toda la expresión por un cociente igual a uno, situando en el numerador y denominador al radical *\sqrt{5}.*
*\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2\cdot 5}}{(\sqrt{5})^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}*
Hay que asegurarse de que todos los radicales existan de forma independiente. Esto es porque, por ejemplo, *\sqrt{\dfrac{-2}{-7}}* es un número real. Si aplicamos la ley sin cuidado, lo convertimos en *\dfrac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-7}},* el cual no es un número real, porque en este campo no existen raíces cuadradas de números negativos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un radical simplificado?
Un radical simplificado es aquel que está en la forma más simple posible, donde:
1. El índice es el menor posible.
2. Ningún factor del radicando tiene un exponente mayor o igual al índice.
3. Dentro del radicando no hay fracciones.
¿Cómo simplificar un radical?
Para simplificar un radical se pueden identificar los cuadrados perfectos, descomponer el radicando en factores primos, extraer factores que se puedan y eliminar las fracciones del radicando usando propiedades.
