Multiplicación de raíces
En este artículo explicamos cómo resolver la multiplicación de raíces paso a paso con ejercicios resueltos. Veremos el caso donde las raíces tienen el mismo índice y el caso donde son diferentes.
Índice
¿Qué es la multiplicación de raíces?
La multiplicación de radicales es una operación que consiste en multiplicar dos o más expresiones que contienen raíces (símbolos radicales). Para realizar la multiplicación, es importante conocer algunas propiedades matemáticas que facilitan el proceso.
La propiedad más utilizada nos dice que el producto de dos raíces del mismo índice puede escribirse como la raíz del producto de los radicandos.
*\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}* siempre que *\sqrt[n]{a}* y *\sqrt[n]{b}* existan.
Multiplicación de raíces de igual índice
Dos o más radicales se dicen homogéneos cuando tienen el mismo índice. Los números que multiplican a un radical se llaman coeficientes. Por ejemplo: la expresión *2\sqrt{20}\cdot 6\sqrt{5}* contiene radicales homogéneos, sus coeficientes son *2* y *6* respectivamente.
Para multiplicar radicales con igual índice, se mantiene el índice y se multiplican los coeficientes y los radicandos por separado, estos últimos integrados dentro de la misma raíz.
*\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}*
*p\sqrt[n]{a}\cdot q\sqrt[n]{b}=p\cdot q\sqrt[n]{a\cdot b}*
Ejemplo 1
*2\sqrt{20}\cdot 6\sqrt{5}*
Identificamos que los radicales tienen el mismo índice (recuerde que cuando no se vea el índice, este es 2, o sea que se tiene una raíz cuadrada). Visto esto, multiplicamos coeficiente con coeficiente e integramos los radicandos dentro de una misma raíz.
*2\sqrt{20}\cdot 6\sqrt{5}=(2\cdot 6)\sqrt{20}\sqrt{5}*
*=12\sqrt{20\cdot 5}*
*=12\sqrt{100}*
*=12\cdot 10*
*=120*
El resultado hacer un producto de radicales puede ser un número irracional o uno racional, en este caso, es racional.
Ejemplo 2
*-4\sqrt[3]{5}\cdot 3\sqrt[3]{-4}*
En la expresión hay dos raíces homogéneas, pues tienen el mismo índice. Procedemos a multiplicar los coeficientes entre sí y los radicandos dentro de una misma raíz, siguiendo la ley de los signos.
*-4\sqrt[3]{5}\cdot 3\sqrt[3]{-4}=-4\cdot 3\sqrt[3]{5\cdot (-4)}*
*=-12\sqrt[3]{-20}*
Recuerde que la raíz cúbica de un número negativo sí es un número real. En cambio, si tuvieramos la raíz cuadrada (o cualquier índice par) de un número negativo, no podríamos realizar la operación, pues no son números reales.
Ejemplo 3
*\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{2}*
En este ejemplo tenemos tres raíces cuadradas y todos los coeficientes son 1. Resolvemos la operación multiplicando todos los radicandos dentro de la misma raíz.
*\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{2}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 2}=\sqrt{20}*
Cuando obtengamos el resultado es conveniente extraer factores del radical, si es posible. Esto se hace para lograr una forma más simplificada del radical. En este caso:
*\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{2}=\sqrt{20}*
*=\sqrt{2^2\cdot 5}*
*=\sqrt{2^2}\sqrt{5}*
*=2\sqrt{5}*
Ejemplo 4
*\sqrt{7}\cdot (\sqrt{8}+\sqrt{11})*
En el ejemplo se tiene la multiplicación de un radical por una suma encerrada entre paréntesis. Podemos utilizar la propiedad distributiva para resolverlo.
*\sqrt{7}\cdot (\sqrt{8}+\sqrt{11})=\sqrt{7}\sqrt{8}+\sqrt{7}\sqrt{11}*
*=\sqrt{7\cdot 8}+\sqrt{7\cdot 11}*
*=\sqrt{56}+\sqrt{77}*
*=2\sqrt{14}+\sqrt{77}*
Si se pudiera, se realiza la suma de las raíces, en el ejemplo esto no se pudo.
Ejemplo 5
*\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}*
En este caso se tiene la multiplicación de dos raíces que son iguales (semejantes). Procedemos como es habitual:
*\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}*
*=\sqrt{7^2}*
*=7*
Se obtuvo como resultado el mismo radicando. Esto es cierto en general siempre que las raíces se multipliquen por sí mismas tantas veces como el índice de ellas. Se agrega una condición especial cuando el índice es un número par: el radicando no puede ser negativo; si el índice es impar, esta restricción no aplica. Se tiene entonces lo siguiente para raíces cuadradas y cúbicas:
- Multiplicar una raíz cuadrada por sí misma una vez da como resultado el radicando, siempre que este no sea negativo: $$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=(\sqrt{a})^2=a~~~(a>0)$$
- Multiplicar una raíz cúbica por sí misma tres veces da como resultado el radicando: $$\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}=(\sqrt[3]{a})^3=a$$
Nota: exigir que el radicando no sea negativo cuando el índice es par, es equivalente a exigir que la raíz sea un número real.
Ejemplo 6
*\sqrt{13}\cdot (a+b\sqrt{7})*
Cuando hay variables (letras) dentro del paréntesis, en los coeficientes o como parte del radicando, el procedimiento para resolver la multiplicación es el mismo.
*\sqrt{13}\cdot (a+b\sqrt{7})=a\sqrt{13}+b\sqrt{13}\sqrt{7}*
*=a\sqrt{13}+b\sqrt{91}*
Ejercicios para practicar: resolver las siguientes multiplicaciones.
- *\sqrt{28}\cdot \sqrt{7}*
- *(\sqrt{4}+\sqrt{8})\cdot \sqrt{2}*
- *-4\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{4}*
Soluciones:
- *\sqrt{28}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{28\cdot 7}=\sqrt{196}=14*
- *(\sqrt{4}+\sqrt{8})\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}\sqrt{2}+\sqrt{8}\sqrt{2}=\sqrt{8}+\sqrt{16}=2\sqrt{2}+4*
- *-4\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{4}=-4\sqrt[3]{5\cdot 4}=-4\sqrt[3]{20}*
Multiplicación de raíces con diferentes índices
Dos o más radicales se dicen heterogéneos cuando tienen distinto índice. Por ejemplo: *\sqrt[3]{2}* y *\sqrt{2}* son radicales heterogéneos, porque una es una raíz cúbica y la otra una raíz cuadrada.
Para multiplicar radicales con distinto índice, primero es necesario homogeneizarlos (igualar los índices), luego efectuar el producto como vimos anteriormente.
El procedimiento de homogeneizar consiste en calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de los índices diferentes y convertir las raíces a una expresión con los índices iguales, haciendo uso de la siguiente propiedad:
Si se multiplican el índice y el exponente de una raíz por un mismo entero positivo k, la nueva raíz que se obtiene es equivalente a la original.
*\sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{a^k}*
El procedimiento para homogeneizar radicales (igualar sus índices) es:
- Hallar el mínimo común múltiplo de los índices.
- Dividir el MCM entre cada uno de los índices.
- Multiplicar el valor obtenido en el paso anterior por los índices originales y el exponente del radicando correspondiente. Con esto los índices quedarán igualados.
Con la siguiente calculadora podrás obtener rápidamente el Mínimo Común Múltiplo entre dos o más números:
Ejemplo 1
*\sqrt{7}\cdot \sqrt[3]{5}*
Los índices son diferentes, es necesario igualarlos.
1. Calculamos el mínimo común múltiplo entre los índices: *MCM(2,3)=6*
2. Dividimos este número entre cada uno de los índices:
Para la primera raíz: *\dfrac{6}{2}=3*
Para la segunda raíz: *\dfrac{6}{3}=2*
3. Los números obtenidos los multiplicamos por el índice y el exponente actual de la correspondiente raíz:
Primera raíz: *\sqrt[2\cdot 3]{7^3}=\sqrt[6]{343}*
Segunda raíz: *\sqrt[3\cdot 2]{5^2}=\sqrt[6]{25}*
Hemos hallado raíces equivalentes a las originales, ambas con el mismo índice, ahora podemos efectuar la multiplicación:
*\sqrt{7}\cdot \sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{343}\cdot \sqrt[6]{25}*
*=\sqrt[6]{343\cdot 25}*
*=\sqrt[6]{8575}*
Ejemplo 2
*6\sqrt[4]{9}\cdot 4\sqrt[6]{14}*
Hallamos el MCM de los índices: *MCM (4,6)=12*
Dividimos el MCM entre cada uno de los índices:
Primera raíz: *\dfrac{12}{4}=3*
Segunda raíz: *\dfrac{12}{6}=2*
Ahora multiplicamos el número obtenido en cada caso por el índice y el exponente de la raíz correspondiente:
Primera raíz: *\sqrt[4\cdot 3]{9^3}=\sqrt[12]{729}*
Segunda raíz: *\sqrt[6\cdot 2]{14^2}=\sqrt[12]{196}*
Finalmente, con los índices igualados, podemos realiza la multiplicación reemplazando las raíces en la expresión original.
*6{\color{green}\sqrt[4]{9}}\cdot 4{\color{purple}\sqrt[6]{14}}=6{\color{green}\sqrt[12]{729}}\cdot 4{\color{purple}\sqrt[12]{196}}*
*=24\sqrt[12]{729\cdot 196}*
*=24\sqrt[12]{142884}*
Una forma práctica de encontrar el mínimo común múltiplo consiste en hallar el producto entre los factores comunes y no comunes de la factorización de los números en cuestión, con su mayor exponente.
Por ejemplo, para hallar el MCM entre *8* y *14*, descomponemos ambos en factores primos:
*8=2^3*
*14=2\cdot 7*
Los factores diferentes que aparecen son *7* y *2*, el mayor exponente de este último número es *3,* entonces:
*MCM(8,14)=7\cdot 2^3=56*
Ejercicios para practicar: resolver las siguientes multiplicaciones.
- *\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5}*
- *\sqrt{6} \cdot (-5\sqrt[4]{2})*
- *\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{3}*
Soluciones:
- *\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{3^3}\cdot \sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{3^3\cdot 5^2}=\sqrt[6]{225}*
- *\sqrt{6} \cdot (-5\sqrt[4]{2})=-5\sqrt[4]{6^2}\cdot \sqrt[4]{2}=-5\sqrt[4]{6^2\cdot 2}=-5\sqrt[4]{72}*
- *\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{2^4}\cdot \sqrt[12]{3^3}=\sqrt[12]{2^4\cdot 3^3}=\sqrt[12]{432}*
Resumen y preguntas frecuentes
¿Cómo se multiplican radicales con el mismo índice?
Para multiplicar radicales con igual índice, se mantiene el índice y se multiplican los coeficientes y los radicandos por separado, estos últimos integrados dentro de la misma raíz.
¿Se pueden multiplicar radicales de diferente índice?
Los radicales de diferente índice sí pueden multiplicarse, pero primero es necesario homogeneizarlos, o sea, hacer que tengan el mismo índice.
¿Cómo se multiplican radicales con diferentes índices?
Para multiplicar radicales con distinto índice, primero es necesario homogeneizarlos (igualar los índices), luego efectuar el producto habitual.
¿Qué son los radicales equivalentes?
Dos radicales son equivalentes si uno se puede obtener del otro multiplicando el índice y el exponente por un mismo entero positivo.
¿Qué propiedades se utilizan para la multiplicación de radicales?
La propiedad más utilizada para multiplicar radicales es la que dice que el producto de dos raíces del mismo índice puede escribirse como la raíz del producto de los radicandos.
