Cómo ubicar números irracionales en la recta numérica

En este artículo explicaremos un método para representar gráficamente a los números irracionales dados por raíces cuadradas no exactas de números naturales en la recta numérica.

Radicales en la recta numérica

Sabemos que los números irracionales son aquellos que completan los huecos que dejan los racionales en la recta numérica. Las raíces no exactas son irracionales. Como estos números tienen infinitos decimales, en muchos casos debemos recurrir a aproximaciones para su representación en la recta.

Sin embargo, podemos valernos del Teorema de Pitágoras para representar cualquier raíz cuadrada con radicando natural en la recta numérica. Para raíces de otros órdenes no podemos utilizar la siguiente técnica.

Raíz cuadrada de 2

Construimos sobre la recta numérica un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales a 1. Por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa del mismo mide *\sqrt{2}.*

*a^2=b^2+c^2*

*a^2=1^2+1^2*

*a^2=2*

*a=\sqrt{2}*

Representación en la recta numérica de la raíz cuadrada de 2

Tenemos un segmento cuya longitud es el número irracional que queremos representar, ahora debemos trasladar esa misma medida a la recta numérica.

Con ayuda de un compás con centro en *0,* tomamos la medida de la hipotenusa, la llevamos sobre la recta numérica y marcamos el punto de corte. Dicho punto indica el lugar que ocupa *\sqrt{2}* en la recta. Hemos terminado el trabajo.

Representación en la recta numérica del número irracional raíz cuadrada de 2

Raíz cuadrada de 3

Del ejercicio anterior tenemos marcada en la recta la raíz cuadrada de *2,* utilizamos ese mismo número para representar *\sqrt{3}.* Volvemos a construir un triángulo cuya base sea *\sqrt{2}* y altura 1. Por el Teorema de Pitágoras:

*a^2=(\sqrt{2})^2+1^2*

*a^2=2+1*

*a^2=3*

*a=\sqrt{3}*

La hipotenusa del triángulo medirá *\sqrt{3},* trasladamos esa medida a la recta numérica siguiendo el mismo procedimiento que antes con el compás.

Representación en la recta numérica del número irracional raíz cuadrada de 3

Raíz cuadrada de 5

Debemos encontrar dos números que, utilizados como medidas de catetos, arrojen una hipotenusa igual al número irracional *\sqrt{5}.* Por ejemplo *2* y *1,* ya que:

*a^2=2^2+1^2*

*a^2=4+1*

*a^2=5*

*a=\sqrt{5}*

Representación en la recta numérica del número irracional raíz cuadrada de 5

El proceso de encontrar los números que usaremos como longitudes de catetos puede ser complicado, por ello planteamos una metodología específica. Es importante que siempre uno de los catetos tenga una longitud entera, ya que necesitaremos marcarla usando una regla. 

En el siguiente proceso dejaremos fija la longitud del cateto vertical, igual a *1,* de modo que solo debamos hallar la medida del cateto horizontal. Si suponemos que *\sqrt{n}* es el número irracional que queremos representar, el cateto horizontal medirá *\sqrt{n-1}* (la raíz cuadrada del número natural anterior). Por el Teorema de Pitágoras:

*(\sqrt{n})^2=(\sqrt{n-1})^2+1^2*

*n=n-1+1*

*n=n*

Ejemplo: para representar *\sqrt{5},* el cateto horizontal que usaremos medirá *\sqrt{5-1}* y el vertical *1,* porque:

*(\sqrt{5})^2=(\sqrt{5-1})^2+1^2*

*5=(\sqrt{4})^2+1*

*5=4+1*

*5=5*

Pasos para ubicar una raíz cuadrada en la recta numérica

  1. Calcular el número *\sqrt{n-1},* siendo *\sqrt{n}* el irracional que se quiere representar.
  2. Usar el número anterior como la longitud del cateto horizontal de un triángulo rectángulo construido sobre la recta numérica.
  3. Usar el número 1 como longitud del cateto vertical.
  4. Trasladar la medida de la hipotenusa a la recta numérica con ayuda de un compás.

Raíz cuadrada de 6

Usando el procedimiento antes descrito, encontramos los dos números que serán medidas de los catetos: 

Cateto vertical: *1*

Cateto horizontal: *\sqrt{6-1}=\sqrt{5}*

Es evidente que primero necesitaremos ubicar la *\sqrt{5}* para luego marcar *\sqrt{6}.*

Representación en la recta numérica del número irracional raíz cuadrada de 6

Raíz cuadrada de 7

Seguimos el procedimiento: 

Cateto vertical: *1*

Cateto horizontal: *\sqrt{7-1}=\sqrt{6}*

Se necesita primero tener ubicada la *\sqrt{6}.*

Representación en la recta numérica del número irracional raíz cuadrada de 7

Raíz cuadrada de 10

Siguiendo el procedimiento necesitamos tener ubicada la *\sqrt{9}* primero, pero como este número es racional *(\sqrt{9}=3),* se nos facilita el trabajo, entonces:

Cateto vertical: *1*

Cateto horizontal: *\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3*

Representación en la recta numérica del número irracional raíz cuadrada de 10

Ubicar números irracionales negativos

Para ubicar números irracionales negativos en la recta numérica, basta con construir el triángulo hacia la izquierda del cero, en lugar de la derecha. El procedimiento a seguir seguirá siendo el mismo.

Representación en la recta numérica del número irracional negativo raíz cuadrada de 2
Negativo de la raíz cuadrada de 2 en la recta numérica

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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