Intervalos de números reales: tipos y operaciones

En este artículo abordaremos los subconjuntos de números reales conocidos como intervalos. Veremos qué tipos hay, qué representa cada uno y también estudiaremos las operaciones que pueden realizarse entre ellos.

Índice

Concepto

Con bases en la geometría analítica podemos establecer una relación entre los números reales y los puntos de una recta, de tal manera que a todo número real le corresponda un punto de la recta y viceversa. A esta recta se la conoce como recta real y nos permite representar gráficamente a los números reales. Podemos a partir de aquí hablar de número real o de punto indistintamente.

Sobre una recta marcamos un punto de origen que representará al 0, luego a su derecha marcamos otro punto que representará al 1. Tenemos con esto establecida la escala y la recta que hemos construido no es otra cosa que la recta real. Los números positivos se ubicarán a la derecha del 0 y los números negativos a la izquierda del 0. Si un punto b está más a la derecha que un punto a, entonces significa que b es mayor que a, en símbolos: b>a o a<b.

Gráfico de recta real con cuatro puntos y escala — Gráfico de la recta real

Con la recta real construida puede resultarnos interesante centrarnos en solo una parte de ella (un subconjunto), es decir, considerar en el conjunto de puntos que hay entre dos puntos. Para este fin introducimos el concepto de intervalo.

A partir de dos números reales *a* y *b* tales que *a<b,* definimos los siguientes intervalos.

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado *[a,b]* es el conjunto de números reales formados por *a,* *b* y todos los números comprendidos entre ellos. En símbolos:

*[a,b]=\{x∈\mathbb{R}~|~a≤x≤b\}*

El número *a* se llama extremo inferior del intervalo y el número *b* se llama extremo superior del intervalo. En la representación gráfica sobre la recta real indicamos el intervalo cerrado usando pequeños círculos opacos en los extremos de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en la recta real — Intervalo cerrado

Por ejemplo:

*[-2,5]=\{x∈\mathbb{R}~|-2≤x≤5\}*

Los números *-1, 0,\dfrac{3}{2}, π, 5, e* y los infinitos más que cumplen la condición pertenecen al intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto *(a,b)* es el conjunto formado por todos los números reales que están entre *a* y *b* sin incluirlos a ellos. En símbolos:

*(a,b)=\{x∈\mathbb{R}~|~a<x<b\}*

Para la representación gráfica, en lugar de círculos opacos en los extremos, usamos pequeñas circunferencias, así:

Intervalo abierto en la recta numérica — Intervalo abierto

Por ejemplo: *(-1,2)=\{x∈\mathbb{R}~|-1<x<2\}.* Siguiendo la definición, los números *-1* y *2* no pertenecen al conjunto.

Intervalo semiabierto a derecha

Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda) *[a,b)* es el conjunto formado por todos los números reales que están entre *a* y *b* excluyendo al número *b.* En símbolos:

*[a,b)=\{x∈\mathbb{R}~|~a≤x<b\}*

En la representación gráfica, usamos círculos opacos para el extremo cerrado y circunferencia para el extremo abierto, así:

Intervalo semiabierto a derecha en la recta real — Intervalo semiabierto a derecha

Por ejemplo: *[0,3)=\{x∈\mathbb{R}~|~0≤x<3\}*

Intervalo semiabierto a izquierda

Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha) *(a,b]* es el conjunto formado por todos los números reales entre *a* y *b* excluyendo al número *a.* En símbolos:

*(a,b]=\{x∈\mathbb{R}~|~a<x≤ b\}*

Intervalo semiabierto a izquierda en la recta real — Intervalo semiabierto a izquierda

Por ejemplo: *(-9,0]=\{x∈\mathbb{R}~|-9<x≤0\}*

Los intervalos abiertos o semiabiertos podemos denotarlos también usando un corchete de cierre en lugar del paréntesis de apertura y un corchete de apertura en lugar del paréntesis de cierre, así:

*(a, b) = ]a, b[*

*(a, b] = ]a, b]*

*[a, b) = [a, b[*

Intervalos con límites infinitos

Siguiendo una lógica similar a la anterior, podemos definir intervalos donde nos fijamos en un número a y abarcamos todos los reales mayores o menores a él incluyéndolo o excluyéndolo dependiendo de qué se requiere. En tal caso, colocamos el símbolo de infinito en la componente que corresponda:

*(-∞,a]=\{x∈\mathbb{R}~|~x≤a\}*

*[a,+∞)=\{x∈\mathbb{R}~|~x≥a\}*

*(-∞,a)=\{x∈\mathbb{R}~|~x<a\}*

*(a,+∞)=\{x∈\mathbb{R}~|~x>a\}*

Intervalos infinitos en la recta real — Intervalos con límites infinitos

Por ejemplo: el conjunto de todos los números mayores o iguales a 4 se escribe como *[4,+∞).* El de los estrictamente menores a 4 es *(-∞, 4).*

Nota: El lado del símbolo infinito siempre se escribe como un extremo abierto. El conjunto completo de los números reales puede escribirse en notación de intervalos como *\mathbb{R}=(-∞,+∞)*

Operaciones con intervalos

Podemos operar con los intervalos mediante las operaciones entre conjuntos. Veremos las más utilizadas:

Unión

Partiendo de la definición de unión podemos definir esta operación entre dos intervalos. Solo lo haremos para el caso de intervalos cerrados, pues en los demás casos se procede de manera similar.

*[a,b]\cup [c,d]=\{x\in \mathbb{R}~|~a≤x≤b\lor c≤x≤d\}*

Ejemplos:

*[1,2]\cup [2,5]=\{x\in \mathbb{R}~|~1≤x≤2∨2≤x≤5\}=[1,5]* en este caso se pudieron juntar los dos intervalos en uno solo.

*(-4,0]\cup (1,5)=\{x\in \mathbb{R}~|~1<x≤0∨1<x<5\}*

Intersección

Usamos la definición de intersección para adaptarla al caso de intervalos. Como en el caso anterior, solo lo haremos para el caso de intervalos cerrados.

*[a,b]\cap [c,d]=\{x\in \mathbb{R}~|~a≤x≤b∧c≤x≤d\}*

Ejemplos:

*[0,1]\cap (5,7)=\{x\in \mathbb{R}~|~0≤x≤1∧5<x<7\}=ϕ.* Por no haber elementos que cumplan las dos condiciones simultáneamente, el conjunto es vacío.

*[-2,6]\cap [0,7)=\{x\in \mathbb{R}~|~-2≤x≤6∧0≤x<7\}=[0,6].* Se forma el nuevo intervalo que cumple con las dos condiciones.