Conjunto unitario
En este artículo explicamos qué es un conjunto unitario y vemos ejemplos y propiedades de estos conjuntos.
Índice
¿Qué es un conjunto unitario?
Un conjunto unitario es aquel que contiene exactamente un elemento. Este elemento puede ser cualquier objeto, número, símbolo o entidad que esté definido dentro del contexto del conjunto.
Ejemplos
A continuación, veremos algunos ejemplos de conjuntos unitarios dados por extensión y por comprensión.
- El conjunto A = {a} es unitario pues contiene solo un elemento: "a".
- El conjunto B = {1, 1, 1, 1, 1} es unitario porque solo tiene un objeto, no importa si este se escribe varias veces.
- El conjunto C = {x | x es la letra inicial de la palabra "casa"} es unitario. Dado por extensión es C = {c}.
- El conjunto de soluciones de la ecuación lineal *2x+1=3* es unitario, pues {x | *2x+1=3*} = {1}.
- El conjunto de partes del conjunto vacío es unitario, pues tiene un solo elemento, el mismo vacío: P(Ø)={Ø}.
- El conjunto M = {x | x es entero y 2 < x < 4} es unitario, pues podemos deducir que M = {3}.
- El conjunto T = {x | x es el planeta que habitan los humanos} es unitario, pues T = {Tierra}.
- El conjunto R = { {1,2,3} } es unitario, pues su único elemento es el conjunto {1,2,3}.
- El conjunto L = {x | x es un satélite natural de la Tierra} es unitario, pues se puede expresar al conjunto como L = {Luna}.
- La intersección de los conjuntos P = {5, 7, 9} y Q = {0, 1, 9} es P ∩ Q = {9}, un conjunto unitario.
Propiedades
Los conjuntos unitarios cumplen las siguientes propiedades.
- Un conjunto unitario tiene solo dos subconjuntos: él mismo y el conjunto vacío. Su conjunto de partes está conformado por esos mismos conjuntos.
- El cardinal de un conjunto unitario es uno, es decir, si A es unitario, entonces |A|=1
- La unión de un conjunto unitario con otro conjunto simplemente resultará en el mismo conjunto unitario o en el conjunto con el nuevo elemento añadido, respectivamente.
- La intersección de un conjunto unitario con cualquier otro conjunto consistirá en el mismo elemento o será vacía, dependiendo de si comparten ese elemento o no.
- La intersección entre dos conjuntos unitarios es el mismo conjunto o el conjunto vacío, dependiendo de si los conjuntos unitarios son iguales o no.
- El complemento de un conjunto unitario en un conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos que están en el universal pero no en el conjunto unitario.
Ejercicios para practicar
Ejercicio 1: Si el conjunto *A=\{2,a,b\}* es un conjunto unitario, calcular *a+b.*
Solución:
Como A es unitario, todos sus elementos son iguales, es decir, *2=a=b.* De aquí extraemos que *a=2* y *b=2,* por lo tanto *a+b=2+2=4.*
Ejercicio 2: los conjuntos *A=\{2m, 12, n+2\}* y *B=\{20, 5p, q\}* son unitarios. Calcule la suma *m+n+p+q.*
Solución:
Como A y B son unitarios, ambos tienen un solo elemento, es decir:
Para A: *2m=12=n+2*
Se pueden hallar *m* y *n* resolviendo simultáneamente las ecuaciones *2m=12* y *n+2=12,* de ahí de extrae que *m=6,* *n=10.*
Para B: *20=5p=q*
Se pueden hallar *p* y *q* resolviendo las ecuaciones *20=5p* y *20=q.* De ahí se extrae que *p=4* y *q=20.*
Teniendo los valores solicitados, podemos calcular *m+n+p+q=6+10+4+20=40*
Ejercicio 3: El conjunto *A=\{a+b; b+c; a+c; 6\}* es unitario. Calcular *a+b+c.*
Solución:
Como A es unitario, todos sus elementos son iguales, es decir: *a+b=b+c=a+c=6,* en forma de sistema:
*\begin{cases} a+b=6 \\ b+c=6 \\ a+c=6 \end{cases}*
Resolviendo el sistema se encuentra que *a=3,* *b=3* y *c=3,* por lo tanto *a+b+c=9.*
Ejercicio 4: dados los conjuntos unitarios: *A=\{x+7; 2x+5\}* y *B=\{y-3; 5y-15\},* ¿cuánto es el valor de *x+y*?
Solución:
Como A es unitario, *x+7=2x+5* de donde se extrae que *x=2.* Como B también es unitario, debe ocurrir que *y-3=5y-15,* de donde se extrae que *y=3.* Teniendo *x* e *y,* podemos calcular *x+y=2+3=5.*
