Conjunto de partes: qué es y cómo calcularlo

En este artículo veremos qué es el conjunto de partes de un conjunto y cómo calcularlo con ejemplos paso a paso.

Concepto

Dado un conjunto A, es posible obtener un nuevo conjunto cuyos elementos sean todos los subconjuntos de A. Lo llamamos conjunto de partes o conjunto potencia de A y lo denotamos como P(A).

*P(A)=\{X~|~X \subseteq A\}*

Cómo calcular el conjunto de partes

Para obtener el conjunto de partes de un conjunto A debemos tener en cuenta que, si éste tiene *n* elementos, entonces hay *2^n* conjuntos incluidos en él. El conjunto vacío y el mismo A son dos de ellos, pues el vacío está incluido en todos los conjuntos, también todo conjunto está incluido en sí mismo. Los demás se forman combinando elementos de A de todas las formas posibles.

Ejemplo 1: Hallar el conjunto de partes de *A=\{1,3\}*

Solución: como A tiene dos elementos, hay *2^{2}=4* conjuntos incluidos en él. Ellos son *ϕ, \{1\}, \{3\}, \{1,3\}=A.* Entonces:

*P(A)=\{ϕ,\{1\},\{3\},A\}*

Ejemplo 2: Calcular el conjunto potencia de *B=\{c,d,e\}*

Solución: con tres elementos, podemos saber que hay *2^{3} = 8* conjuntos incluidos en B. Ellos son: 

ϕ {c} {d} {e}

{c,d} {c,e}  {d,e}

{c,d,e}

Entonces, *P(B)* es el conjunto formado por todos los conjuntos anteriores.

Recuerde que en la notación por extensión no se establece un orden a priori de elementos, es por ello que, por ejemplo, los conjuntos *\{c,e\}* y *\{e,c\}* son iguales y solo se escribe uno de ellos.

Ejemplo 3: Dado el conjunto *C=\{1,3,5,7\}* obtener su conjunto de partes.

Solución: Teniendo cuatro elementos, hay *2^4=16* conjuntos incluidos en C. Ellos son: 

ϕ {1}  {3}  {5}  {7} 

{1, 3} {1, 5} {1, 7}

{3, 5} {3, 7} {5, 7}

{1, 3, 5} {1, 3, 7} {3, 5, 7} {1, 5, 7}

{1, 3, 5, 7}

Entonces *P(C)* es el conjunto formado por todos los conjuntos nombrados.

Es útil formar primero todos los conjuntos de un solo elemento, luego los de dos, luego los de tres, etc. De ese modo no se pierden conjuntos. Al final de todo siempre verificar que la cantidad coincida con lo que calculamos inicialmente.  

Puede llegar a confundir la idea de un conjunto formado por conjuntos, pues habíamos visto relaciones entre conjuntos como inclusión o la igualdad (que puede ser planteada como inclusión).

Dado un conjunto A, sus subconjuntos pertenecen a *P(A)* y están incluidos en A. Fijándonos en el primer ejemplo: *\{c\}\in P(A)* y *\{c\} \subseteq A*. No es cierto que *\{c\}* esté incluido en *P(A)* (aunque ambos sean conjuntos, la relación entre ellos es de pertenencia, no de inclusión). Tampoco es cierto que *\{c\}* pertenezca a A, pues A no contiene al conjunto *\{c\},* sino directamente a c. Por tanto: *\{c\} \notin A* y *\{c\} \nsubseteq P(A)*.

Conjunto de partes del vacío y conjuntos unitarios

Como el conjunto vacío no tiene elementos, hay *2^0=1* conjunto incluido en él: el mismo vacío. Por lo tanto, el conjunto de partes del vacío es el conjunto cuyo único elemento es el vacío:

*P(ϕ)=\{ϕ\}*

Un conjunto unitario es aquel que solo tiene un elemento, es por ello que tendrá *2^1=2* conjuntos incluidos en él: el vacío y él mismo. O sea, si A es unitario,

*P(A)=\{ϕ,A\}*

Definición del conjunto de partes o conjunto potencia de un conjunto
Ejemplo del conjunto de partes de un conjunto con dos elementos
Conjunto de partes o conjunto potencia del conjunto vacío

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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