Inclusión de conjuntos

En este artículo explicamos qué es la inclusión de conjuntos, los tipos que existen, las propiedades que cumplen y ejemplos de cada una.

¿Qué es la inclusión de conjuntos?

La inclusión es una relación entre dos conjuntos donde todos los elementos del primer conjunto también son elementos del segundo. En otras palabras, el primer conjunto está contenido en el segundo. Existen dos tipos de inclusión: la amplia y la estricta.

Inclusión amplia

Un conjunto está incluido ampliamente en otro si los elementos del primero son también elementos del segundo, pudiendo ser ambos conjuntos iguales. Esta relación se simboliza con ⊆:

*A ⊆ B~* si y solo si *~∀x: (x∈A → x∈B)*

Si un conjunto A está incluido ampliamente en un conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. Como este tipo de inclusión es la más utilizada, la llamaremos simplemente "inclusión"; cuando queramos hablar del otro tipo, lo señalaremos adecuadamente.

Para indicar que un conjunto no está incluido en otro, se utiliza el símbolo tachado ⊈. Así, A ⊈ B significa que A no está incluido ampliamente en B.

Ejemplos

  1. El conjunto A = {1, 2, 3} está incluido en el conjunto B= {1, 2, 3, 4, 5}, porque los elementos de A son también elementos de B, entonces A ⊆ B.
  2. El conjunto C = {a, b, c, d} está incluido en el conjunto D = {1, 2, 3, a, b, c, d, e}, porque todo elemento de C también está contenido en D, entonces C ⊆ D.
  3. El conjunto M = {-1, 0, 1} no está contenido en N = {1, 0} porque M tiene elementos que no están en N, entonces: M⊈N. Sin embargo, podemos notar que N sí está incluido en M, entonces N⊆M.
  4. El conjunto E = {1, 2} está incluido en F = {2, 1}, porque todo elemento de E es también un elemento de F, entonces E ⊆ F. La relación recíproca también es cierta: F ⊆ E. Esto ocurre porque los conjuntos E y F son iguales.
  5. El conjunto de los números naturales N está incluido en el conjunto de los números enteros Z, porque todo número natural también es un número entero, entonces: N ⊆ Z. La relación recíproca no es cierta, porque existen números enteros que no son naturales (el cero y los negativos), entonces Z ⊈ N.

En base a los ejemplos podemos decir que para demostrar que un conjunto está incluido en otro, basta con probar que todo elemento del primero es también elemento del segundo.

Diagrama de Venn de la inclusión de conjuntos
Diagrama de Venn de la inclusión de conjuntos. A está incluido en B.

Propiedades de la inclusión

La inclusión amplia cumple las propiedades siguientes propiedades:

1) Reflexividad: todo conjunto está incluido en sí mismo, es decir, A ⊆ A.

2) Antisimetría: si un conjunto está incluido en otro y éste a su vez está incluido en el primero, entonces ambos conjuntos son iguales. Es decir, si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A=B.

3) Transitividad: si un conjunto está incluido en otro, y éste a su vez está incluido en un tercero, entonces el primer conjunto también está incluido en el tercero. Es decir, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.

4) El conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos, hasta en sí mismo. Es decir, *Ø⊆A,* también *Ø⊆Ø.* La demostración de esta propiedad se realiza a partir de la definición:

*Ø ⊆ A~* si y sólo si *~∀x: (x∈Ø → x∈A)*

Como la proposición x ∈ Ø es falsa, porque el conjunto vacío no tiene elementos, la implicación x ∈ Ø → x ∈ A es verdadera por tener antecedente falso. Entonces, se cumple que Ø ⊆ A.

Inclusión estricta

Un conjunto está incluido estrictamente en otro si los elementos del primero son también elementos del segundo, pero existen elementos del segundo que no están en el primero, es decir, no pueden ser conjuntos iguales. Esta relación se simboliza con ⊂:

*A ⊂ B~* si y solo si *~∀x: (x∈A → x∈B)* y además *A\neq B*

Si un conjunto A está incluido estrictamente en un conjunto B, se dice que A es un subconjunto propio de B. Para indicar que un conjunto no está incluido estrictamente en otro, se utiliza el símbolo tachado ⊄. Así, A ⊄ B significa que A no está incluido estrictamente en B.

Ejemplos

  1. El conjunto A = {1, 2, 3} está incluido estrictamente en el conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}, porque los elementos de A son también elementos de B, y además existen elementos de B que no están en A (el "4" y el "5"). Entonces A ⊂ B.
  2. El conjunto E = {1, 2} no está incluido estrictamente en F = {2, 1}, porque, aunque todo elemento de E es también elemento de F, no existen elementos de F que no estén en E. En otras palabras, el conjunto F no es más grande que E, por lo tanto, no se cumple la inclusión estricta: E ⊄ F.

Toda inclusión estricta es también una inclusión amplia, pero no toda inclusión amplia es estricta. Un conjunto puede no estar incluido estrictamente en otro, pero sí estar incluido ampliamente, como en el segundo ejemplo. 

Diagrama de Venn de la inclusión estricta
Diagrama de Venn de la inclusión estricta del primer ejemplo

Simbología

En la siguiente tabla se resume la simbología utilizada para la inclusión de conjuntos.

SímboloSignificado
A ⊆ BA está incluido en B
A ⊈ BA no está incluido en B
A ⊂ BA está incluido estrictamente en B
A ⊄ BA no está incluido estrictamente en B

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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