Funciones radicales

En este artículo explicamos qué son las funciones radicales y vemos ejemplos, características, gráficas y aplicaciones.

Índice

¿Qué es una función radical?

Una función radical es una función algebraica cuya ecuación es una raíz cuadrada, cúbica o de otro índice y la variable independiente aparece en el radicando. Es decir, las funciones radicales tienen la forma *f(x)=a\sqrt[n]{g(x)}* donde *g(x)* es una función polinómica o racional.

Algunos ejemplos de funciones radicales son:

*y=\sqrt{x}*

*y=\sqrt[3]{x}*

*y=\sqrt[4]{x}*

*y=\sqrt{x+1}*

*y=\sqrt{x^2-2x+4}*

*y=\sqrt[3]{\dfrac{2x+6}{x^2-1}}*

Gráfica de la función raíz cuadrada de x — Gráfica de la función raíz cuadrada

Gráfica de la función raíz cúbica de x — Gráfica de la función raíz cúbica

Las funciones radicales tienen aplicaciones en matemática, física y otras ciencias, algunas de ellas son:

Para modelar fenómenos físicos como el movimiento de un objeto en caída libre y otros de movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Para conocer la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si se conocen las longitudes a y b de sus catetos: *h=\sqrt{a^2+b^2}.*
Para conocer la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Si *(x_1,y_1)* y *(x_2,y_2)* son dos puntos del plano, la distancia entre ellos es *d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.*
Para calcular el radio de un círculo dependiendo de su área A: *r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}.*
En estadística, para calcular el desvío estándar, una medida de dispersión que indica cuánto se desvían los valores de una muestra respecto a la media.

Características

A continuación, desarrollamos las características y propiedades de las funciones radicales.

Dominio

Para obtener el dominio de una función radical es crucial tener en cuenta el índice de la raíz: si es par, el radicando debe ser no negativo; si es impar, el radicando puede tomar cualquier valor real.

Ejemplos:

La función raíz cuadrada *y=\sqrt{x}* tiene dominio *[0,+\infty)* porque debe ocurrir que *x≥0.*
La función raíz cúbica *y=\sqrt[3]{x}* tiene dominio *\mathbb{R}* porque x puede tomar cualquier valor sin restricción.
El dominio de la función *y=\sqrt[3]{\dfrac{2x+6}{x^2-1}}* es *\mathbb{R}-\{-1,1\}* porque x puede tomar cualquier valor real excepto *x=-1* y *x=1* porque estos anulan al denominador del radicando.

Gráfica de la función radical irracional raíz cúbica de una función racional — Gráfica de la función radical del último ejemplo

Rango

El rango de una función radical depende de su ecuación, pero para los casos básicos donde el radicando es solamente x se puede obtener el siguiente patrón:

Las funciones de la forma *y=\sqrt[n]{x},* donde n es un número par, tienen por rango al conjunto de los números reales no negativos: *[0,+\infty).*
Las funciones de la forma *y=\sqrt[n]{x},* donde n es un número impar, tienen por rango al conjunto de los números reales: *\mathbb{R}.*

Por ejemplo: la función raíz cuadrada *y=\sqrt{x}* tiene como rango a *[0,+\infty)* y la función raíz quinta *y=\sqrt[5]{x}* tiene por rango a *\mathbb{R}.*

Otros aspectos

Raíces: las raíces o ceros son los valores de x donde la función es cero, para encontrarlos se debe analizar cada caso particular. En las funciones del tipo *y=\sqrt[n]{x},* el valor x=0 es la única raíz.
Intersección con el eje y: las funciones radicales pueden tener intersección con el eje y. Aquellas del tipo *y=\sqrt[n]{x}* tienen intersección en el punto *(0,0).*
Continuidad: en general, las funciones radicales son continuas en sus dominios.
Simetría: las funciones radicales de la forma *y=\sqrt[n]{x},* donde n es impar, son impares, es decir, simétricas respecto al origen de coordenadas.
Asíntotas: las funciones radicales pueden presentar asíntotas en sus gráficas. Sin embargo, si tienen la forma *y=\sqrt[n]{x}* donde n es un número natural, no existen asíntotas.
Crecimiento y decrecimiento: las funciones radicales de la forma *y=\sqrt[n]{x}* son siempre crecientes; las de la forma *y=-\sqrt[n]{x}* son siempre decrecientes. Los demás casos se deben analizar individualmente.
Al igual que con todas las funciones, con las radicales se pueden realizar operaciones matemáticas como la suma, resta, multiplicación y división. Se debe tener cuidado con el dominio de estas operaciones para asegurarse de que la función resultante tenga sentido.

Ejemplos y gráficas

A continuación veremos algunos ejemplos de gráficas que pueden servir de guía para saber cómo graficar una función radical y la forma que ésta tendrá.

Gráficas de las funciones radicales de índice par: raíz cuadrada, cuarta y sexta — Funciones radicales de índice par. Las gráficas se asemejan a la de la función raíz cuadrada y el dominio son los reales no negativos.

Gráficas de las funciones radicales de índice impar: cubica, quinta, séptima — Funciones radicales de índice impar. Las gráficas se asemejan a la de la función raíz cúbica y el dominio son todos los números reales.

Preguntas frecuentes

¿Cómo reconocer una función radical?

Se puede reconocer una función radical observando si su ecuación es una raíz cuadrada, cúbica o de otro índice y la variable independiente se encuentra dentro del radicando.

¿Cómo se calcula el dominio de una función radical?

Para calcular el dominio de una función radical hay que asegurarse, entre otras cosas, de que las raíces de índice par tengan un radicando no negativo. Si la raíz es de índice impar, esta restricción no aplica.

¿Cuál es la diferencias entre una función racional y una radical?

Una función racional se expresa como el cociente de dos polinomios, mientras que una función radical involucra raíces cuadradas, cúbicas u otras raíces. Las funciones racionales no pueden tener a la variable independiente bajo un signo radical, mientras que las funciones radicales sí pueden hacerlo.