Cómo hallar la forma factorizada de una función cuadrática

En este artículo veremos cómo escribir a una función cuadrática en su forma factorizada, es decir, usando las raíces para lograr una ecuación en forma de producto.

¿Qué es la forma factorizada?

Dada una función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* podemos escribirla como un producto utilizando sus raíces y su coeficiente principal. Esta es conocida como la forma factorizada de la función cuadrática:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

*x_1* y *x_2* son las raíces de la función.

Si el discriminante es cero, ocurrirá que las raíces son iguales *x_1=x_2* y la ecuación adquiere la forma:

*f(x)=a(x-x_1)^2*

Debido a que trabajamos con funciones reales, no consideraremos el caso en que el discriminante sea negativo, pues las raíces serán números complejos.

Es evidente que para hallar la forma factorizada primero debemos conocer las raíces de la función. Para esto es necesario primero revisar este artículo:

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Encuentre la forma factorizada de la función *f(x)=3x^2+3x-18*

Solución:

Usando la fórmula resolvente hallamos las raíces de *f:* *x_1=2,x_2=-3.* Escribimos la función de forma factorizada así:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

*f(x)=3(x-2)(x-(-3))*

*f(x)=3(x-2)(x+3)*

Ejercicio 2: Escriba la función *f(x)=-5x^2-10x-5* en forma factorizada.

Solución:

Hallamos las raíces de la función y vemos que solo tiene una, con multiplicidad dos: *x_1=-1.* Escribimos la forma factorizada:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

Como *x_1=x_2,* resulta:

*f(x)=a(x-x_1)^2*

*f(x)=-5(x-(-1))^2*

*f(x)=-5(x+1)^2*

Ejercicio 3: Factorizar la función cuadrática *f(x)=x^2-16*

Solución:

Calculamos las raíces: *x_1=-4, x_2=4* y escribimos la forma factorizada:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

*f(x)=1(x-(-4))(x-4)*

*f(x)=(x+4)(x-4)*

Ejercicio 4: Halle la forma factorizada de la función *f(x)=-7x^2*

Solución:

Hallamos las raíces y vemos que hay solo una con multiplicidad dos: *x_1=0,* en este caso le corresponde la forma factorizada:

*f(x)=a(x-x_1)^2*

*f(x)=-7(x-0)^2*

*f(x)=-7x^2*

Vemos que en este caso la forma factorizada y la forma polinómica coinciden.

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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