Forma factorizada de una función cuadrática
En este artículo explicamos qué es y cómo hallar la forma factorizada de una función cuadrática con ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
¿Qué es la forma factorizada?
La forma factorizada de una función cuadrática es un modo de escribirla como el producto de binomios de primer grado. Dada una función f(x) = ax² + bx + c, su forma factorizada es:
f(x) = a(x - x1)(x - x2)
donde:
- a es el coeficiente cuadrático (el número que multiplica a la x²).
- x1 y x2 son las raíces o ceros de la función (los valores de x para los que f(x) = 0).
Si el discriminante es cero, ocurrirá que las raíces son iguales x1 = x2 y la ecuación adquiere la forma:
f(x) = a(x - x1)²
Debido a que trabajamos con funciones reales, no consideraremos el caso en que el discriminante sea negativo, pues las raíces serán números complejos.
Por ejemplo, las siguientes funciones están escritas en fórmula factorizada:
- *f(x)=(x + 2)(x + 3)*
- *g(x)=-3(x-1)(x+5)*
- *h(x)=5(x-2)^2*
Es evidente que para hallar la forma factorizada primero debemos conocer las raíces de la función. Para esto es necesario primero revisar este artículo:
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Encuentre la forma factorizada de la función *f(x)=3x^2+3x-18*
Solución:
Usando la fórmula resolvente hallamos las raíces de *f:* *x_1=2,x_2=-3.* Escribimos la función de forma factorizada así:
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
*f(x)=3(x-2)(x-(-3))*
*f(x)=3(x-2)(x+3)*
Ejercicio 2: Escriba la función *f(x)=-5x^2-10x-5* en forma factorizada.
Solución:
Hallamos las raíces de la función y vemos que solo tiene una, con multiplicidad dos: *x_1=-1.* Escribimos la forma factorizada:
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
Como *x_1=x_2,* resulta:
*f(x)=a(x-x_1)^2*
*f(x)=-5(x-(-1))^2*
*f(x)=-5(x+1)^2*
Ejercicio 3: Factorizar la función cuadrática *f(x)=x^2-16*
Solución:
Calculamos las raíces: *x_1=-4, x_2=4* y escribimos la forma factorizada:
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
*f(x)=1(x-(-4))(x-4)*
*f(x)=(x+4)(x-4)*
Ejercicio 4: Halle la forma factorizada de la función *f(x)=-7x^2*
Solución:
Hallamos las raíces y vemos que hay solo una con multiplicidad dos: *x_1=0,* en este caso le corresponde la forma factorizada:
*f(x)=a(x-x_1)^2*
*f(x)=-7(x-0)^2*
*f(x)=-7x^2*
Vemos que en este caso la forma factorizada y la forma polinómica coinciden.
