Intervalo creciente y decreciente de una función cuadrática

Este artículo tiene como propósito tratar los intervalos en los que una función cuadrática crece o decrece y su relación con el vértice de la misma. Comenzamos con los conceptos y definiciones necesarios y luego pasamos a una serie de ejercicios con resolución detallada.

Funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente en un intervalo de su dominio cuando sus valores aumentan mientras x aumenta, es decreciente si sus valores disminuyen a medida que x aumenta. Precisamos estos conceptos con la siguiente definición.

Una función *f* se llama creciente en un intervalo *I* si

*f(x_1)<f(x_2)* siempre que *x_1<x_2* en *I.*

Se llama decreciente en *I* si

*f(x_1)>f(x_2)* siempre que *x_1<x_2* en *I*

Existen funciones que pueden tener intervalos donde son crecientes y otros donde son decrecientes. Este es el caso de las cuadráticas, las cuales presentan un tramo creciente y otro decreciente. El paso de un tramo al otro se da en el vértice, también llamado punto de inflexión.

Sea la función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* con vértice *V=(h,k)*

  • Si *a>0,* *f* es decreciente en *(-∞,h]* y creciente en *[h,+∞).*
  • Si *a<0,* *f* es creciente en *(-∞,h]* y decreciente en *[h,+∞).*
Parábola hacia arriba con intervalos de crecimiento y decrecimiento
Parábola hacia arriba
Parábola hacia abajo con intervalos de crecimiento y decrecimiento
Parábola hacia abajo

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y punto de inflexión de *f(x)=-2x^2+8x-5*

Solución:

La parábola abre hacia abajo porque *a<0,* por tanto, comienza con un tramo creciente y sigue otro decreciente. Calculamos las coordenadas del vértice *V=(2,3).* Nos interesa la primera componente ya que en ella se da el cambio de creciente a decreciente.

Tramo creciente: *(-∞,2]*

Tramo decreciente: *[2,∞)*

El punto de inflexión es el mismo vértice, es decir: *(2,3)*

Ejercicio 2: Calcule los tramos crecientes y decrecientes de la función *f(x)=6x^2-36x+54*

Solución:

La parábola abre hacia arriba porque *a>0,* por lo tanto hay tramo decreciente y luego creciente. El vértice tiene coordenadas *V=(3,0)*

Intervalo decreciente: *(-∞,3]*

Intervalo creciente: *[3,+∞)*

Ejercicio 3: Determine el tramo creciente y decreciente de la función *f(x)=x^2+2x*

Solución:

La parábola abre hacia arriba porque *a>0.* Calculamos el vértice y hallamos que tiene coordenadas *V=(-1,-1)*

Tramo decreciente: *(-∞,-1]*

Tramo creciente: *[-1,+∞)*

Ejercicio 4: Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función *f(x)=-x^2+1*

Solución:

La parábola abre hacia abajo porque *a<0.* El vértice tiene coordenadas *V=(0,1)*

Intervalo creciente: *(-∞,0]*

Intervalo decreciente: *[0,+∞)*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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