Intervalos creciente y decreciente de una función cuadrática

En este artículo explicamos cómo encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática con ejercicios resueltos paso a paso.

Índice

Funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente en un intervalo de su dominio cuando sus valores aumentan mientras x aumenta, es decreciente si sus valores disminuyen a medida que x aumenta. Precisamos estos conceptos con la siguiente definición.

Una función f se llama creciente en un intervalo I si

f(x₁) < f(x₂) siempre que x₁ < x₂ en I.

Se llama decreciente en I si

f(x₁) > f(x₂) siempre que x₁ < x₂ en I

Crecimiento y decrecimiento en funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas tienen un tramo donde son crecientes y otro donde son decrecientes. El paso de un tramo al otro se da en el vértice, también llamado punto de inflexión.

Sea la función cuadrática f(x)=ax²+bx+c con vértice V=(h, k), entonces:

Si a>0, la función es decreciente en (-∞, h] y creciente en [h, +∞).
Si a<0, la función es creciente en (-∞, h] y decreciente en [h, +∞).

Parábola hacia arriba con intervalos de crecimiento y decrecimiento — Parábola hacia arriba, a>0.

Parábola hacia abajo con intervalos de crecimiento y decrecimiento — Parábola hacia abajo, a<0.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y punto de inflexión de *f(x)=-2x^2+8x-5*

Solución:

La parábola abre hacia abajo porque *a<0,* por tanto, comienza con un tramo creciente y sigue otro decreciente. Calculamos las coordenadas del vértice *V=(2,3).* Nos interesa la primera componente ya que en ella se da el cambio de creciente a decreciente.

Tramo creciente: *(-∞,2]*

Tramo decreciente: *[2,∞)*

El punto de inflexión es el mismo vértice, es decir: *(2,3)*

Ejercicio 2: Calcule los tramos crecientes y decrecientes de la función *f(x)=6x^2-36x+54*

Solución:

La parábola abre hacia arriba porque *a>0,* por lo tanto hay tramo decreciente y luego creciente. El vértice tiene coordenadas *V=(3,0)*

Intervalo decreciente: *(-∞,3]*

Intervalo creciente: *[3,+∞)*

Ejercicio 3: Determine el tramo creciente y decreciente de la función *f(x)=x^2+2x*

Solución:

La parábola abre hacia arriba porque *a>0.* Calculamos el vértice y hallamos que tiene coordenadas *V=(-1,-1)*

Tramo decreciente: *(-∞,-1]*

Tramo creciente: *[-1,+∞)*

Ejercicio 4: Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función *f(x)=-x^2+1*

Solución:

La parábola abre hacia abajo porque *a<0.* El vértice tiene coordenadas *V=(0,1)*

Intervalo creciente: *(-∞,0]*

Intervalo decreciente: *[0,+∞)*

Bibliografía

Chorny, F., Casares, P. y Salpeter, C. (2015). Matemática 4. Editorial Estrada.
Effenberger, P. (2016). Matemática III. Kapelusz Editora.
Entre Números III. (2016). Santillana.
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.