Intervalos creciente y decreciente de una función cuadrática
En este artículo explicamos cómo encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática con ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
Funciones crecientes y decrecientes
Una función es creciente en un intervalo de su dominio cuando sus valores aumentan mientras x aumenta, es decreciente si sus valores disminuyen a medida que x aumenta. Precisamos estos conceptos con la siguiente definición.
Una función f se llama creciente en un intervalo I si
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I.
Se llama decreciente en I si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I
Crecimiento y decrecimiento en funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas tienen un tramo donde son crecientes y otro donde son decrecientes. El paso de un tramo al otro se da en el vértice, también llamado punto de inflexión.
Sea la función cuadrática f(x)=ax²+bx+c con vértice V=(h, k), entonces:
- Si a>0, la función es decreciente en (-∞, h] y creciente en [h, +∞).
- Si a<0, la función es creciente en (-∞, h] y decreciente en [h, +∞).
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Determine los intervalos de crecimiento, decrecimiento y punto de inflexión de *f(x)=-2x^2+8x-5*
Solución:
La parábola abre hacia abajo porque *a<0,* por tanto, comienza con un tramo creciente y sigue otro decreciente. Calculamos las coordenadas del vértice *V=(2,3).* Nos interesa la primera componente ya que en ella se da el cambio de creciente a decreciente.
Tramo creciente: *(-∞,2]*
Tramo decreciente: *[2,∞)*
El punto de inflexión es el mismo vértice, es decir: *(2,3)*
Ejercicio 2: Calcule los tramos crecientes y decrecientes de la función *f(x)=6x^2-36x+54*
Solución:
La parábola abre hacia arriba porque *a>0,* por lo tanto hay tramo decreciente y luego creciente. El vértice tiene coordenadas *V=(3,0)*
Intervalo decreciente: *(-∞,3]*
Intervalo creciente: *[3,+∞)*
Ejercicio 3: Determine el tramo creciente y decreciente de la función *f(x)=x^2+2x*
Solución:
La parábola abre hacia arriba porque *a>0.* Calculamos el vértice y hallamos que tiene coordenadas *V=(-1,-1)*
Tramo decreciente: *(-∞,-1]*
Tramo creciente: *[-1,+∞)*
Ejercicio 4: Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función *f(x)=-x^2+1*
Solución:
La parábola abre hacia abajo porque *a<0.* El vértice tiene coordenadas *V=(0,1)*
Intervalo creciente: *(-∞,0]*
Intervalo decreciente: *[0,+∞)*
