Cómo hallar dominio y rango de una función cuadrática

En este artículo explicamos cómo hallar el dominio y el rango de una función cuadrática con los distintos casos particulares que pueden ocurrir hasta llegar al caso general. Además, veremos ejercicios resueltos paso a paso.

Dominio de una función cuadrática

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales. Esto es debido a que se trata de una función polinómica, por tanto, hereda su dominio. Entonces, la función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* tiene por dominio a *D_f=\mathbb{R}.*

Rango de una función cuadrática

El rango depende de si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo y de si está desplazada hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. Para calcular el rango nos fijaremos en los coeficientes de la ecuación, es decir, en los números a, b y c, llamados coeficiente principal, coeficiente lineal y término independiente, respectivamente. Iremos desarrollando casos particulares hasta llegar a la generalización.

Primer caso: b=0 y c=0

Si el término lineal el independiente son iguales a cero, la función adquiere la forma *f(x)=ax^2*

El cuadrado de un número x siempre dará un número no negativo, con lo cual nuestra atención se centra en el signo de a, pues si este es positivo, la parábola abrirá hacia arriba, haciendo que el rango vaya desde cero hasta infinito positivo. Si a es negativo, la parábola abrirá hacia abajo, provocando que el rango vaya desde infinito negativo hasta cero. Nótese en las gráficas como ocurre esto.

Funciones cuadráticas de la forma ax^2 con a positivo y negativo
La gráfica de la función "empieza" o "termina" en cero, dependiendo de si a es positivo o negativo.

Entonces, dada una función cuadrática que solo tiene término cuadrático, el rango será un intervalo que tiene a cero en uno de sus extremos y depende de si el coeficiente principal es positivo o negativo.

Así, dada una función *f(x)=ax^2:*

Si *a* es positivo, *R_f=[0, +∞)*
Si *a* es negativo, *R_f=(-∞, 0]*

Ejemplos:

  1. *f(x)=2x^2*    *R_f=[0,+∞)*
  2. *g(x)=-5x^2*     *R_g=(-∞, 0]*

Segundo caso: b=0

Si el coeficiente lineal es cero, la función cuadrática tiene la forma *f(x)=ax^2+c*

Introducir el término c no representa gran dificultad, ya que solo desplazará la gráfica de *ax^2* hacia arriba si c es positivo o hacia abajo si c es negativo. Con ayuda de una gráfica podemos deducir que lo que realmente afectará será el signo de a:

gráficas de funciones cuadráticas y=ax^2+c con a positivo y a negativo
La gráfica de la función "empieza" o "termina" en el valor del término independiente c y depende de si la parábola abre hacia arriba o abajo.

Dada una función cuadrática sin término lineal, el rango será un intervalo que tiene en uno de los extremos al valor del término independiente y depende de si el coeficiente principal es positivo o negativo.

Sea la función cuadrática *f(x)=ax^2+c:*

Si *a* es positivo, *R_f=[c, +∞)*
Si *a* es negativo, *R_f=(-∞ , c]*

Ejemplos:

  1. *f(x)=-x^2+3* tiene *R_f=(-∞, 3]* porque *a=-1* es negativo y *c=3*
  2. *g(x)=5x^2-2* tiene *R_g=[-2, +∞)* porque *a=5* es positivo y *c=-2*

Tercer caso (general)

En el caso general, la función cuadrática tiene la forma *f(x)=ax^2+bx+c*

Introducir el término bx nos impide predecir a simple vista hacia donde se moverá la gráfica de la función. Sin embargo, sabiendo que la gráfica de una función cuadrática es una parábola, podemos calcular su vértice, el cual es un punto extremo de la función.

Conocer este punto nos ayudará a calcular el rango ya que nos dirá exactamente cuál es el valor máximo o mínimo de la función. Si es máximo, entonces el rango irá desde infinito negativo hasta él, porque no hay mayores que él. Si es mínimo, el rango irá desde él hasta el infinito positivo. 

Si el vértice es máximo o mínimo depende del signo de a. Si a es positivo, el vértice será un mínimo. Si a es negativo, el vértice será un máximo. Véase el siguiente gráfico:

máximo y mínimo de una función cuadrática, vértice de una parábola
La gráfica de la función "empieza" o "termina" en la coordenada y del vértice dependiendo de si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

El vértice tiene coordenadas *V=(h,k)* donde:

*h=\dfrac{-b}{2a}*

*k=f(h)*

Nos interesa la segunda coordenada, es decir, *k=f(h),* ya que este será el mínimo o el máximo de la función.

Dada una función cuadrática general, el rango será un intervalo que tiene en uno de los extremos a la coordenada y del vértice (simbolizada como k) y depende de si el coeficiente principal es positivo o negativo.

Sea *f(x)=ax^2+bx+c*

Si *a* es positivo, *R_f=[k,+∞)*
Si *a* es negativo, *R_f=(-∞,k]*

donde *k=f(h)* y *h=\dfrac{-b}{2a}*

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Calcular dominio y rango de la función *f(x)=-2x^2+3x+1*

Solución:

Sabemos que *D_f=\mathbb{R}*

Hallamos el vértice para conocer el rango. *b* es el coeficiente que acompaña a *x,* en este caso, *b=3.* *a* es el coeficiente que acompaña a *x^2,* en este caso *a=-2.*

El vértice está en el punto *V=(h,k)* donde:

*h=\dfrac{-b}{2a}*

*k=f(h)*

Reemplazando los valores obtenemos:

*h=\dfrac{-3}{2(-2)}=\dfrac{3}{4}*

*k=f\left(\dfrac{3}{4}\right)=-2\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+3\left(\dfrac{3}{4}\right)+1=\dfrac{17}{8}*

Entonces *V=\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{17}{8}\right)*

Para el rango nos interesa solo la segunda coordenada, *k=\dfrac{17}{8}*

Como *a=-2* es negativo, el vértice es un máximo y el rango es:

*R_f=(-∞, \frac{17}{8}]*

Ejercicio 2: Hallar rango y dominio de la función *f(x)=4x^2-x-3*

Solución:

*D_f=\mathbb{R}*

Identificamos *a=4,* *b=-1.* *V=(h, k)*

*h=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-1)}{2(4)}=\dfrac{1}{8}*

*k=f\left(\dfrac{1}{8}\right)=4\left(\dfrac{1}{8}\right)^2-\dfrac{1}{8}-3=-\dfrac{49}{16}*

*V=\left(\dfrac{1}{8}; -\dfrac{49}{16}\right)*

Como *a=4* es positivo, el vértice es un mínimo, por lo tanto:

*R_f=\left[-\dfrac{49}{16}; +∞\right)*

Ejercicio 3: Determinar dominio y rango de la función *f(x)=x^2+9*

Solución:

*D_f=\mathbb{R}*

Podríamos calcular el vértice para hallar el rango, pero por la ausencia del término b no es necesario. Estamos frente al segundo caso que vimos antes. Como *a=1* es positivo y *c=9,* resulta:

*R_f=[9,+∞)*

Ejercicio 4: Encontrar el dominio y rango de la función *f(x)=-x^2-14*

Solución:

*D_f=\mathbb{R}*

Estamos frente a una función del segundo caso, como *a=-1* es negativo y *c=-14,* el rango es:

*R_f=(-∞,-14]*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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