Hallar función cuadrática a partir de las raíces y un punto

En este artículo veremos cómo hallar una función cuadrática si conocemos sus raíces y un punto de la misma, que puede ser el vértice.

Deducción del procedimiento

Sean *x_1* y *x_2* dos números reales, buscamos determinar función cuadrática *f* que los tiene como raíces. Recurrimos a la forma factorizada para situar las raíces:

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

Es evidente que para cada valor de *a* existirá una función diferente que cumple la condición de que sus raíces son *x_1* y *x_2*

Cómo hallar una función cuadrática si conocemos sus raíces
Existen infinitas funciones cuadráticas que tienen las mismas raíces

Si, además, sabemos que la función pasa por el punto *(x_0,y_0),* podremos determinar una única función usando este dato:

*f(x_0)=y_0*

*f(x_0)=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)=y_0*

Despejamos *a:*

*a=\dfrac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}*

De este modo ya disponemos de los datos para hallar una sola función cuadrática cuyas raíces son *x_1* y *x_2* y además pasa por el punto *(x_0,y_0)*

Pasos para hallar una función cuadrática dadas sus raíces

  1. Reemplazar los datos de las raíces en la forma factorizada.
  2. Asignar distintos valores al coeficiente principal para encontrar funciones cuadráticas que posean dichas raíces.
  3. Si la función pasa por otro punto, utilizar esa información para despejar el valor único de a.
  4. Desarrollar, si se requiere, para hallar la función en forma polinómica.

En el caso de que el dato sea que la función tiene una sola raíz , deberá interpretarse que la misma es de multiplicidad 2, utilizando entonces la fórmula *f(x)=a(x-x_1)^2*

Si el punto que se nos da es el vértice *V=(h,k),* trabajamos con él de la misma manera que con cualquier otro punto.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Hallar las funciones cuadráticas cuyas raíces son *-5* y *1*

Solución:

Reemplazamos las raíces en la forma factorizada sabiendo que *x_1=-5,x_2=1*

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

*f(x)=a(x-(-5))(x-1)*

*f(x)=a(x+5)(x-1)*

Para cada valor de *a* habrán funciones cuadráticas que tienen por raíces a los números dados. Por ejemplo:

Si *a=1, f(x)=(x+5)(x-1)*

Si *a=2, f(x)=2(x+5)(x-1)*

Si desarrollamos los productos obtendremos la forma polinómica de la función. Haciendo esto en el último caso nos queda:

*f(x)=2x^2+8x-10*

Ejercicio 2: Determinar la función cuadrática cuyas raíces son *-2* y *14* y pasa por el punto *(-3,10)*

Solución:

Reemplazamos las raíces en la forma factorizada sabiendo que *x_1=-2,x_2=14*

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

*f(x)=a(x-(-2))(x-14)*

*f(x)=a(x+2)(x-14)*

Ahora, para determinar el valor de *a* que hace que la función pase por el otro punto, usamos la información de que *f(-3)=10*

*f(-3)=a(-3+2)(-3-14)=10*

Despejamos *a:*

*a=\dfrac{10}{(-3+2)(-3-14)}=\dfrac{10}{(-1)(-17)}=\dfrac{10}{17}*

Entonces, la función solicitada es:

*f(x)=\dfrac{10}{17}(x+2)(x-14)*

Ejercicio 3: Encontrar la función cuadrática cuyas raíces son *0* y *2* y pasa por el punto *(-1,-5)*

Solución:

Sustituimos los datos de las raíces en la forma factorizada: *x_1=0,x_2=2*

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

*f(x)=a(x-0)(x-2)*

*f(x)=ax(x-2)*

Ahora usamos la información del otro punto, *f(-1)=-5*

*f(-1)=a(-1)(-1-2)=-5*

Despejamos *a:*

*a=\dfrac{-5}{(-1)(-1-2)}=\dfrac{-5}{-1(-3)}=\dfrac{-5}{3}*

Entonces, la función solicitada es:

*f(x)=-\dfrac{5}{3}x(x-2)*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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