Hallar función cuadrática a partir de las raíces y un punto
En este artículo veremos cómo hallar una función cuadrática si conocemos sus raíces y un punto de la misma, que puede ser el vértice.
Índice
Deducción del procedimiento
Sean *x_1* y *x_2* dos números reales, buscamos determinar función cuadrática *f* que los tiene como raíces. Recurrimos a la forma factorizada para situar las raíces:
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
Es evidente que para cada valor de *a* existirá una función diferente que cumple la condición de que sus raíces son *x_1* y *x_2*
Si, además, sabemos que la función pasa por el punto *(x_0,y_0),* podremos determinar una única función usando este dato:
*f(x_0)=y_0*
*f(x_0)=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)=y_0*
Despejamos *a:*
*a=\dfrac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}*
De este modo ya disponemos de los datos para hallar una sola función cuadrática cuyas raíces son *x_1* y *x_2* y además pasa por el punto *(x_0,y_0)*
Pasos para hallar una función cuadrática dadas sus raíces
- Reemplazar los datos de las raíces en la forma factorizada.
- Asignar distintos valores al coeficiente principal para encontrar funciones cuadráticas que posean dichas raíces.
- Si la función pasa por otro punto, utilizar esa información para despejar el valor único de a.
- Desarrollar, si se requiere, para hallar la función en forma polinómica.
En el caso de que el dato sea que la función tiene una sola raíz , deberá interpretarse que la misma es de multiplicidad 2, utilizando entonces la fórmula *f(x)=a(x-x_1)^2*
Si el punto que se nos da es el vértice *V=(h,k),* trabajamos con él de la misma manera que con cualquier otro punto.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Hallar las funciones cuadráticas cuyas raíces son *-5* y *1*
Solución:
Reemplazamos las raíces en la forma factorizada sabiendo que *x_1=-5,x_2=1*
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
*f(x)=a(x-(-5))(x-1)*
*f(x)=a(x+5)(x-1)*
Para cada valor de *a* habrán funciones cuadráticas que tienen por raíces a los números dados. Por ejemplo:
Si *a=1, f(x)=(x+5)(x-1)*
Si *a=2, f(x)=2(x+5)(x-1)*
Si desarrollamos los productos obtendremos la forma polinómica de la función. Haciendo esto en el último caso nos queda:
*f(x)=2x^2+8x-10*
Ejercicio 2: Determinar la función cuadrática cuyas raíces son *-2* y *14* y pasa por el punto *(-3,10)*
Solución:
Reemplazamos las raíces en la forma factorizada sabiendo que *x_1=-2,x_2=14*
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
*f(x)=a(x-(-2))(x-14)*
*f(x)=a(x+2)(x-14)*
Ahora, para determinar el valor de *a* que hace que la función pase por el otro punto, usamos la información de que *f(-3)=10*
*f(-3)=a(-3+2)(-3-14)=10*
Despejamos *a:*
*a=\dfrac{10}{(-3+2)(-3-14)}=\dfrac{10}{(-1)(-17)}=\dfrac{10}{17}*
Entonces, la función solicitada es:
*f(x)=\dfrac{10}{17}(x+2)(x-14)*
Ejercicio 3: Encontrar la función cuadrática cuyas raíces son *0* y *2* y pasa por el punto *(-1,-5)*
Solución:
Sustituimos los datos de las raíces en la forma factorizada: *x_1=0,x_2=2*
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
*f(x)=a(x-0)(x-2)*
*f(x)=ax(x-2)*
Ahora usamos la información del otro punto, *f(-1)=-5*
*f(-1)=a(-1)(-1-2)=-5*
Despejamos *a:*
*a=\dfrac{-5}{(-1)(-1-2)}=\dfrac{-5}{-1(-3)}=\dfrac{-5}{3}*
Entonces, la función solicitada es:
*f(x)=-\dfrac{5}{3}x(x-2)*
