Intervalos de positividad y negatividad de una función cuadrática

En este artículo veremos los intervalos de positividad y negatividad de una función cuadrática y cómo calcularlos dependiendo de cada caso.

Funciones positivas y negativas

Una función *f* es positiva en un intervalo *I* si ocurre que *f(x)>0* para toda *x* en *I.* Es negativa en *I* si *f(x)<0* para toda *x* en *I.* Geométricamente, la parte positiva de una función se ubica por encima del eje x y la negativa por debajo.

Nuestro objetivo se centra en descubrir aquellos intervalos donde una función cuadrática es positiva o negativa. Es evidente mirando la gráfica que si esta no toca al eje x, será solo negativa o solo positiva, dependiendo de si la parábola abre hacia abajo o hacia arriba:

función cuadrática con gráfica hacia arriba o hacia abajo
Si a>0, la función es positiva en todo su dominio. Si a<0, es negativa en todo el dominio.

En cambio, si la función tiene una raíz real, tocará al eje x en un punto y en todos los demás puntos del dominio será positiva o negativa de forma similar al caso anterior:

función cuadrática con gráfica hacia arriba o hacia abajo
Si a>0, la función es positiva en todo el dominio excepto en la raíz, y si a<0, es negativa en todo el dominio excluyendo la raíz.

Recordemos que si una función cuadrática no toca al eje x, es porque su discriminante es negativo. Si toca al eje x en un punto, el discriminante vale cero.

Sea *f(x)=ax^2+bx+c,* si ocurre que *Δ<0,* entonces:

  1. Si *a>0,* la función es positiva en *\mathbb{R}*
  2. Si *a<0,* la función es negativa en *\mathbb{R}*

Si *Δ=0* y *x_1* es la raíz real de *f,* entonces:

  1. Si *a>0,* la función es positiva en *\mathbb{R}-\{x_1\}*
  2. Si *a<0,* la función es negativa en *\mathbb{R}-\{x_1\}*

Supongamos ahora que el discriminante es positivo. La gráfica tocará al eje x en dos puntos, permitiendo la existencia de intervalos donde la función es positiva y otros donde es negativa.

Existe una parte del dominio donde la función cuadrática es positiva y otra donde es negativa.
Existe una parte del dominio donde la función es positiva y otra donde es negativa.

Para hallar estos intervalos debemos conocer las raíces de la función y tenerla escrita en forma factorizada.

Primer caso: la parábola abre hacia arriba, a>0

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

Intervalo positivo

Debemos hallar los valores donde *f(x)* sea mayor que cero, es decir,

*a(x-x_1)(x-x_2)>0*

Dividiendo ambos miembros por *a,* como es positivo, el signo de la desigualdad se mantiene:

*(x-x_1)(x-x_2)>0*

Pueden ocurrir dos opciones, que ambos factores sean positivos o que ambos sean negativos. En ambos casos su producto arroja un número positivo.

1. Si ambos son positivos: *(x-x_1)>0∧(x-x_2)>0→(x>x_1)∧(x>x_2)*

Estas condiciones equivalen a la intersección de estos intervalos:

*(x_1,+∞)\cap(x_2,+∞)=(x_2,+∞)*

2. Si ambos son negativos: *(x-x_1)<0∧(x-x_2)<0→(x<x_2)∧(x<x_2)*

*(-∞,x_1)\cap(-∞,x_2)=(-∞,x_1)*

Entonces, la función es positiva en el intervalo: *C^{+}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

Intervalo negativo:

*a(x-x_1)(x-x_2)<0*

*(x-x_1)(x-x_2)<0*

Puede ocurrir que el primer factor sea positivo y el otro negativo o viceversa.

1. *(x-x_1)<0∧(x-x_2)>0→(x<x_1)∧(x>x_2)*

*(-∞,x_1)\cap(x_2,+∞)=ϕ*

2. *(x-x_1)>0∧(x-x_2)<0→(x>x_1)∧(x<x_2)*

*(x_1,+∞)\cap(-∞,x_2)=(x_1,x_2)*

Entonces, la función es negativa en el intervalo *C^{-}=ϕ\cup(x_1,x_2)=(x_1,x_2)*

La función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a>0* y sus raíces son *x_1* y *x_2* y *x_1<x_2,* es positiva en el intervalo:

*C^{+}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

y es negativa en el intervalo:

*C^{-}=(x_1,x_2)*

Entre las raíces, la gráfica de la función cuadrática se ubica por debajo del eje x (es negativa) y en el resto del dominio se ubica por encima (es positiva).
Entre las raíces, la gráfica de la función se ubica por debajo del eje x (es negativa) y en el resto del dominio se ubica por encima (es positiva).

Segundo caso: la parábola abre hacia abajo, a<0

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

Intervalo positivo:

*a(x-x_1)(x-x_2)>0*

Dividiendo ambos miembros por *a,* como es negativo, invierte el signo de la desigualdad:

*(x-x_1)(x-x_2)<0*

Antes dedujimos que esto se cumple en el intervalo *(x_1,x_2)*

Intervalo negativo:

*a(x-x_1)(x-x_2)<0*

*(x-x_1)(x-x_2)>0*

Como vimos antes esto ocurre en el intervalo *(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

La función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a<0* y sus raíces son *x_1* y *x_2* y *x_1<x_2,* es positiva en el intervalo:

*C^{+}=(x_1,x_2)*

y es negativa en el intervalo:

*C^{-}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

Entre las raíces, la gráfica de la función cuadrática se ubica por encima del eje x (es positiva) y en el resto del dominio se ubica por debajo (es negativa).
Entre las raíces, la gráfica se ubica por encima del eje x (es positiva) y en el resto del dominio se ubica por debajo (es negativa).

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Hallar los intervalos donde la función *f(x)=2x^2+2x-4* es positiva o es negativa.

Solución:

Hallamos las raíces de la función:

*x_1=-2*

*x_2=1*

Como *a=2* es positivo, estamos frente al primer caso, entonces:

Intervalo positivo: *C^{+}=(−∞,-2)\cup(1​,+∞)*

Intervalo negativo: *C^{-}=(-2,1)*

También podríamos haber determinado estos intervalos a partir de la forma factorizada (como se hizo en la deducción) o desde la gráfica de la función.

Ejercicio 2: Encuentre los intervalos de positividad y negatividad de la función *f(x)=-2x^2+28x-90*

Solución:

Calculamos las raíces de la función:

*x_1=5*

*x_2=9*

Como *a=-2* es negativo, estamos frente al segundo caso. Entonces:

Intervalo positivo: *C^{+}=(5,9)*

Intervalo negativo: *C^{-}=(−∞,5)\cup(9​,+∞)*

Ejercicio 3: Determine en qué intervalos la función *f(x)=-9x^2-72x-63* es positiva o es negativa.

Solución:

Determinamos primero las raíces:

*x_1=-7*

*x_2=-1*

Como *a=-9* es negativo, estamos frente al segundo caso:

Intervalo positivo: *C^{+}=(-7,-1)*

Intervalo negativo: *C^{-}=(−∞,-7)\cup(-1​,+∞)*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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