Intervalos de positividad y negatividad de una función cuadrática
En este artículo explicamos qué son y cómo encontrar los intervalos de positividad y negatividad de una función cuadrática con ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
Funciones positivas y negativas
Una función f es positiva en un intervalo I si ocurre que f(x)>0 para toda x en I. Es negativa en I si f(x)<0 para toda x en I. Geométricamente, la parte positiva de una función se ubica por encima del eje x y la negativa por debajo.
Nuestro objetivo se centra en descubrir aquellos intervalos donde una función cuadrática es positiva o negativa. Es evidente mirando la gráfica que si esta no toca al eje x, será solo negativa o solo positiva, dependiendo de si la parábola abre hacia abajo o hacia arriba:
En cambio, si la función tiene una raíz real, tocará al eje x en un punto y en todos los demás puntos del dominio será positiva o negativa de forma similar al caso anterior:
Recordemos que, si una función cuadrática no toca al eje x, es porque su discriminante es negativo. Si toca al eje x en un punto, el discriminante vale cero.
Sea f(x)=ax² + bx + c, si ocurre que Δ<0, entonces:
- Si a>0, la función es positiva en todo su dominio.
- Si a<0, la función es negativa en todo su dominio.
Si Δ=0 y x1 es la raíz real de f, entonces:
- Si a>0, la función es positiva en *\mathbb{R}-\{x_1\}*
- Si a<0, la función es negativa en *\mathbb{R}-\{x_1\}*
Supongamos ahora que el discriminante es positivo. La gráfica tocará al eje x en dos puntos, permitiendo la existencia de intervalos donde la función es positiva y otros donde es negativa.
Para hallar estos intervalos debemos conocer las raíces de la función y tenerla escrita en forma factorizada.
Primer caso: la parábola abre hacia arriba, a>0
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
Intervalo positivo
Debemos hallar los valores donde *f(x)* sea mayor que cero, es decir,
*a(x-x_1)(x-x_2)>0*
Dividiendo ambos miembros por *a,* como es positivo, el signo de la desigualdad se mantiene:
*(x-x_1)(x-x_2)>0*
Pueden ocurrir dos opciones, que ambos factores sean positivos o que ambos sean negativos. En ambos casos su producto arroja un número positivo.
1. Si ambos son positivos: *(x-x_1)>0∧(x-x_2)>0→(x>x_1)∧(x>x_2)*
Estas condiciones equivalen a la intersección de estos intervalos:
*(x_1,+∞)\cap(x_2,+∞)=(x_2,+∞)*
2. Si ambos son negativos: *(x-x_1)<0∧(x-x_2)<0→(x<x_2)∧(x<x_2)*
*(-∞,x_1)\cap(-∞,x_2)=(-∞,x_1)*
Entonces, la función es positiva en el intervalo: *C^{+}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*
Intervalo negativo:
*a(x-x_1)(x-x_2)<0*
*(x-x_1)(x-x_2)<0*
Puede ocurrir que el primer factor sea positivo y el otro negativo o viceversa.
1. *(x-x_1)<0∧(x-x_2)>0→(x<x_1)∧(x>x_2)*
*(-∞,x_1)\cap(x_2,+∞)=ϕ*
2. *(x-x_1)>0∧(x-x_2)<0→(x>x_1)∧(x<x_2)*
*(x_1,+∞)\cap(-∞,x_2)=(x_1,x_2)*
Entonces, la función es negativa en el intervalo *C^{-}=ϕ\cup(x_1,x_2)=(x_1,x_2)*
La función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a>0* y sus raíces son *x_1* y *x_2* y *x_1<x_2,* es positiva en el intervalo:
*C^{+}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*
y es negativa en el intervalo:
*C^{-}=(x_1,x_2)*
Segundo caso: la parábola abre hacia abajo, a<0
*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*
Intervalo positivo:
*a(x-x_1)(x-x_2)>0*
Dividiendo ambos miembros por *a,* como es negativo, invierte el signo de la desigualdad:
*(x-x_1)(x-x_2)<0*
Antes dedujimos que esto se cumple en el intervalo *(x_1,x_2)*
Intervalo negativo:
*a(x-x_1)(x-x_2)<0*
*(x-x_1)(x-x_2)>0*
Como vimos antes esto ocurre en el intervalo *(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*
La función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a<0* y sus raíces son *x_1* y *x_2* y *x_1<x_2,* es positiva en el intervalo:
*C^{+}=(x_1,x_2)*
y es negativa en el intervalo:
*C^{-}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Hallar los intervalos donde la función *f(x)=2x^2+2x-4* es positiva o es negativa.
Solución:
Hallamos las raíces de la función:
*x_1=-2*
*x_2=1*
Como *a=2* es positivo, estamos frente al primer caso, entonces:
Intervalo positivo: *C^{+}=(−∞,-2)\cup(1,+∞)*
Intervalo negativo: *C^{-}=(-2,1)*
También podríamos haber determinado estos intervalos a partir de la forma factorizada (como se hizo en la deducción) o desde la gráfica de la función.
Ejercicio 2: Encuentre los intervalos de positividad y negatividad de la función *f(x)=-2x^2+28x-90*
Solución:
Calculamos las raíces de la función:
*x_1=5*
*x_2=9*
Como *a=-2* es negativo, estamos frente al segundo caso. Entonces:
Intervalo positivo: *C^{+}=(5,9)*
Intervalo negativo: *C^{-}=(−∞,5)\cup(9,+∞)*
Ejercicio 3: Determine en qué intervalos la función *f(x)=-9x^2-72x-63* es positiva o es negativa.
Solución:
Determinamos primero las raíces:
*x_1=-7*
*x_2=-1*
Como *a=-9* es negativo, estamos frente al segundo caso:
Intervalo positivo: *C^{+}=(-7,-1)*
Intervalo negativo: *C^{-}=(−∞,-7)\cup(-1,+∞)*
