Intervalos de positividad y negatividad de una función cuadrática

En este artículo explicamos qué son y cómo encontrar los intervalos de positividad y negatividad de una función cuadrática con ejercicios resueltos paso a paso.

Índice

Funciones positivas y negativas

Una función f es positiva en un intervalo I si ocurre que f(x)>0 para toda x en I. Es negativa en I si f(x)<0 para toda x en I. Geométricamente, la parte positiva de una función se ubica por encima del eje x y la negativa por debajo.

Nuestro objetivo se centra en descubrir aquellos intervalos donde una función cuadrática es positiva o negativa. Es evidente mirando la gráfica que si esta no toca al eje x, será solo negativa o solo positiva, dependiendo de si la parábola abre hacia abajo o hacia arriba:

función cuadrática con gráfica hacia arriba o hacia abajo — Si a>0, la función es positiva en todo su dominio. Si a<0, es negativa en todo el dominio.

En cambio, si la función tiene una raíz real, tocará al eje x en un punto y en todos los demás puntos del dominio será positiva o negativa de forma similar al caso anterior:

Recordemos que, si una función cuadrática no toca al eje x, es porque su discriminante es negativo. Si toca al eje x en un punto, el discriminante vale cero.

Sea f(x)=ax² + bx + c, si ocurre que Δ<0, entonces:

Si a>0, la función es positiva en todo su dominio.
Si a<0, la función es negativa en todo su dominio.

Si Δ=0 y x₁ es la raíz real de f, entonces:

Si a>0, la función es positiva en *\mathbb{R}-\{x_1\}*
Si a<0, la función es negativa en *\mathbb{R}-\{x_1\}*

Supongamos ahora que el discriminante es positivo. La gráfica tocará al eje x en dos puntos, permitiendo la existencia de intervalos donde la función es positiva y otros donde es negativa.

Existe una parte del dominio donde la función cuadrática es positiva y otra donde es negativa. — Existe una parte del dominio donde la función es positiva y otra donde es negativa.

Para hallar estos intervalos debemos conocer las raíces de la función y tenerla escrita en forma factorizada.

Primer caso: la parábola abre hacia arriba, a>0

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

Intervalo positivo

Debemos hallar los valores donde *f(x)* sea mayor que cero, es decir,

*a(x-x_1)(x-x_2)>0*

Dividiendo ambos miembros por *a,* como es positivo, el signo de la desigualdad se mantiene:

*(x-x_1)(x-x_2)>0*

Pueden ocurrir dos opciones, que ambos factores sean positivos o que ambos sean negativos. En ambos casos su producto arroja un número positivo.

1. Si ambos son positivos: *(x-x_1)>0∧(x-x_2)>0→(x>x_1)∧(x>x_2)*

Estas condiciones equivalen a la intersección de estos intervalos:

*(x_1,+∞)\cap(x_2,+∞)=(x_2,+∞)*

2. Si ambos son negativos: *(x-x_1)<0∧(x-x_2)<0→(x<x_2)∧(x<x_2)*

*(-∞,x_1)\cap(-∞,x_2)=(-∞,x_1)*

Entonces, la función es positiva en el intervalo: *C^{+}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

Intervalo negativo:

*a(x-x_1)(x-x_2)<0*

*(x-x_1)(x-x_2)<0*

Puede ocurrir que el primer factor sea positivo y el otro negativo o viceversa.

1. *(x-x_1)<0∧(x-x_2)>0→(x<x_1)∧(x>x_2)*

*(-∞,x_1)\cap(x_2,+∞)=ϕ*

2. *(x-x_1)>0∧(x-x_2)<0→(x>x_1)∧(x<x_2)*

*(x_1,+∞)\cap(-∞,x_2)=(x_1,x_2)*

Entonces, la función es negativa en el intervalo *C^{-}=ϕ\cup(x_1,x_2)=(x_1,x_2)*

La función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a>0* y sus raíces son *x_1* y *x_2* y *x_1<x_2,* es positiva en el intervalo:

*C^{+}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

y es negativa en el intervalo:

*C^{-}=(x_1,x_2)*

Entre las raíces, la gráfica de la función cuadrática se ubica por debajo del eje x (es negativa) y en el resto del dominio se ubica por encima (es positiva). — Entre las raíces, la gráfica de la función se ubica por debajo del eje x (es negativa) y en el resto del dominio se ubica por encima (es positiva).

Segundo caso: la parábola abre hacia abajo, a<0

*f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)*

Intervalo positivo:

*a(x-x_1)(x-x_2)>0*

Dividiendo ambos miembros por *a,* como es negativo, invierte el signo de la desigualdad:

*(x-x_1)(x-x_2)<0*

Antes dedujimos que esto se cumple en el intervalo *(x_1,x_2)*

Intervalo negativo:

*a(x-x_1)(x-x_2)<0*

*(x-x_1)(x-x_2)>0*

Como vimos antes esto ocurre en el intervalo *(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

La función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a<0* y sus raíces son *x_1* y *x_2* y *x_1<x_2,* es positiva en el intervalo:

*C^{+}=(x_1,x_2)*

y es negativa en el intervalo:

*C^{-}=(-∞,x_1)\cup(x_2,+∞)*

Entre las raíces, la gráfica de la función cuadrática se ubica por encima del eje x (es positiva) y en el resto del dominio se ubica por debajo (es negativa). — Entre las raíces, la gráfica se ubica por encima del eje x (es positiva) y en el resto del dominio se ubica por debajo (es negativa).

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Hallar los intervalos donde la función *f(x)=2x^2+2x-4* es positiva o es negativa.

Solución:

Hallamos las raíces de la función:

*x_1=-2*

*x_2=1*

Como *a=2* es positivo, estamos frente al primer caso, entonces:

Intervalo positivo: *C^{+}=(−∞,-2)\cup(1,+∞)*

Intervalo negativo: *C^{-}=(-2,1)*

También podríamos haber determinado estos intervalos a partir de la forma factorizada (como se hizo en la deducción) o desde la gráfica de la función.

Ejercicio 2: Encuentre los intervalos de positividad y negatividad de la función *f(x)=-2x^2+28x-90*

Solución:

Calculamos las raíces de la función:

*x_1=5*

*x_2=9*

Como *a=-2* es negativo, estamos frente al segundo caso. Entonces:

Intervalo positivo: *C^{+}=(5,9)*

Intervalo negativo: *C^{-}=(−∞,5)\cup(9,+∞)*

Ejercicio 3: Determine en qué intervalos la función *f(x)=-9x^2-72x-63* es positiva o es negativa.

Solución:

Determinamos primero las raíces:

*x_1=-7*

*x_2=-1*

Como *a=-9* es negativo, estamos frente al segundo caso:

Intervalo positivo: *C^{+}=(-7,-1)*

Intervalo negativo: *C^{-}=(−∞,-7)\cup(-1,+∞)*

Bibliografía

Chorny, F., Casares, P. y Salpeter, C. (2015). Matemática 4. Editorial Estrada.
Effenberger, P. (2016). Matemática III. Kapelusz Editora.
Entre Números III. (2016). Santillana.
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas (7ma edición). Cengage Learning.
Thomas, G. (2006). Cálculo, una variable (11a edición). Pearson Educación.