Cómo hallar la forma canónica de una función cuadrática

En este artículo explicamos cómo encontrar la forma canónica de una función cuadrática con ejercicios resueltos paso a paso

¿Qué es la forma canónica?

La forma canónica o normal de una función cuadrática *f(x)=ax^2+bx+c* con vértice *V(h,k)* es:

*f(x)=a(x-h)^2+k*

Nótese que las coordenadas del vértice son visibles dentro de la ecuación.

Por ejemplo, las siguientes funciones cuadráticas están escritas en su forma canónica:

*f(x)=2(x-3)^2+5*

*g(x)=-4(x+1)^2*

*h(x)=(x-2)^2-1*

¿Cómo hallar la forma canónica?

Para encontrar la forma canónica, podemos primero calcular las coordenadas del vértice y reemplazarlas en la fórmula *f(x)=a(x-h)^2+k.* Otra forma de llegar es a partir de la forma polinómica usando el proceso llamado completar el cuadrado, donde modificaremos la expresión hasta que adquiera la forma que necesitamos.

Comenzamos con la ecuación polinómica:

*f(x)=ax^2+bx+c*

Sacamos factor común *a:*

*f(x)-c=a\left(x^2+\dfrac{bx}{a}\right)*

*f(x)-c=a\left(x^2+\dfrac{bx}{a}{\color{red}+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}}\right)*

Nótese que la suma de los números en rojo es igual a cero, pero su introducción permite construir un binomio al cuadrado porque *\dfrac{b^2}{4a^2}=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2*

*f(x)-c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right]*

(Puede hacer las operaciones para confirmar que las expresiones son equivalentes).

*f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c*

*f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}*

Puede comprobarse que esta expresión no es otra cosa que *f(x)=a(x-h)^2+k* donde el vértice tiene coordenadas *V(h,k):*

*h=\dfrac{-b}{2a}*

*k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}*

Este proceso lo hemos hecho con la ecuación general, pero para cada caso particular podríamos recurrir a completar el cuadrado para hallar su expresión canónica.

Procedimiento para hallar la forma canónica de una función cuadrática

  1. Sacar como factor común al coeficiente principal a.
  2. Dividir el término bx entre 2x y elevar al cuadrado para obtener el número que completa el trinomio cuadrado perfecto.
  3. Sumar y restar el número anterior a la expresión de la función.
  4. Escribir el binomio al cuadrado que tendrá la raíz cuadrada del término principal sumado al término bx dividido entre 2x.
  5. Distribuir el número a y realizar las operaciones necesarias.
  6. La expresión obtenida es la forma canónica de la función.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Escribir a la función *f(x)=2x^2-8x-7* en su forma canónica.

Solución:

Movemos el *7* al otro miembro para facilitar el cálculo:

*f(x)+7=2x^2-8x*

Sacamos factor común *2*

*f(x)+7=2(x^2-4x)*

Al término *-4x* lo dividimos por *2x* y lo elevamos al cuadrado: *\left(\dfrac{-4x}{2x}\right)^2=4*

Este número es el que completa el trinomio cuadrado perfecto que podemos armar así:

*f(x)+7=2({\color{blue}x^2-4x+4}-4)*

*f(x)+7=2[{\color{blue}(x-2)^2}-4]*

*f(x)=2(x-2)^2-8-7*

*f(x)=2(x-2)^2-15*

Esta última es la forma canónica de la función.

Ejercicio 2: Encuentre la forma canónica de la función *f(x)=x^2+8x*

Solución:

Como no tenemos término *c* y *a* vale 1, podemos recorrer un camino más directo.

Dividimos el término *8x* entre *2x* y lo elevamos al cuadrado para obtener el término que completa al trinomio:

*\left(\dfrac{8x}{2x}\right)^2=16*

*f(x)=x^2+8x+16-16*

Recordemos que se suma y se resta el término 16 para que no altere el valor de la expresión (estamos sumando un cero).

Escribimos ahora el binomio al cuadrado que surge de extraer la raíz cuadrada del primer término más el segundo término dividido *2x:*

*f(x)=(x+4)^2-16*

Esta ultima es la forma canónica de la función.

Ejercicio 3: Hallar la forma canónica de la función *f(x)=-4x^2+8x+20*

Solución:

Sacamos factor común *a=-4:*

*f(x)-20=-4(x^2+2x)*

El segundo término lo dividimos entre *2x* y lo elevamos al cuadrado:

*\left(\dfrac{2x}{2x}\right)^2=1*

Este número completa el trinomio. Lo sumamos y restamos:

*f(x)-20=-4(x^2+2x+1-1)*

Escribimos el binomio al cuadrado extrayendo raíz cuadrada del primer término y sumando el segundo dividido entre *2x:*

*f(x)-20=-4[(x+1)^2-1]*

Distribuimos el número *-4* y realizamos las operaciones necesarias:

*f(x)=-4(x+1)^2+4+20*

*f(x)=-4(x+1)^2+24*

Esta última es la forma canónica de la función original.

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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