Hallar una función cuadrática a partir del vértice y un punto

En este artículo veremos cómo hallar una función cuadrática si conocemos el vértice y un punto de la misma.

Deducción del procedimiento

Buscamos hallar la función cuadrática cuyo vértice es *V=(h,k)* y pasa por el punto *P=(x_0,y_0)*

Hallar función cuadrática a partir del vértice y un punto

Podemos recurrir a la forma canónica y completarla con los datos que tenemos:

*f(x)=a(x-h)^2+k*

Nos falta determinar el número *a*

Como la función pasa por el punto *P,* resulta que *f(x_0)=y_0,* o sea:

*f(x_0)=a(x_0-h)^2+k=y_0*

De aquí ya podemos despejar *a*

*a=\dfrac{y_0-k}{(x_0-h)^2}*

Memorizar estas fórmulas no es necesario, ya que con entender la lógica es suficiente para desarrollar los ejercicios. Sin embargo, nos permite plantear el procedimiento general de resolución.

Cómo hallar una función cuadrática dado su vértice y un punto

  1. Reemplazar las coordenadas del vértice en la forma canónica de la función.
  2. Reemplazar los datos del otro punto y despejar el número a.
  3. Escribir nuevamente la forma canónica con el nuevo dato.
  4. Desarrollar, si se necesita, para hallar la forma polinómica de la función.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Hallar la función cuadrática que tiene vértice *V=(5,7)* y pasa por el punto *P(-7,1)*

Solución:

Reemplazamos los datos del vértice en la forma canónica: *h=5,k=7*

*f(x)=a(x-h)^2+k*

*f(x)=a(x-5)^2+7*

Ahora usamos los datos del punto *P,* sabiendo que *f(-7)=1*

*f(-7)=a(-7-5)^2+7=1*

Despejamos *a:*

*a(-12)^2+7=1→a=\dfrac{1-7}{(-12)^2}=\dfrac{-6}{144}=-\dfrac{1}{24}*

Con estos nuevos datos ya tenemos suficiente para hallar la función, la cual es:

*f(x)=-\dfrac{1}{24}(x-5)^2+7*

Desarrollando podemos llegar a la forma general si se requiere:

*f(x)=-\dfrac{x^2}{24}+\dfrac{5x}{12}+\dfrac{143}{24}*

Ejercicio 2: Encontrar la regla de la función cuadrática cuyo vértice es *V=(-1,-3)* y pasa por el punto *(4,9)*

Solución:

Usamos los datos de vértice para la forma canónica: *h=-1, k=-3*

*f(x)=a(x-(-1))^2+(-3)*

*f(x)=a(x+1)^2-3*

Ahora usamos los datos del otro punto para hallar el valor de *a* sabiendo que *f(4)=9*

*f(4)=a(4+1)^2-3=9*

*a(5)^2-3=9→a=\dfrac{9+3}{5^2}=\dfrac{12}{25}*

Ahora estamos en condiciones de escribir la fórmula de la función:

*f(x)=\dfrac{12}{25}(x+1)^2-3*

Ejercicio 3: Determinar la función cuadrática cuyo vértice es *(-1,5)* y corta al eje y en *-3*

Solución:

La gráfica corta al eje vertical en *y=-3,* lo que significa que el punto *(0,-3)* está en la gráfica.

Sustituimos los datos del vértice en la forma canónica: *h=-1, k=5*

*f(x)=a(x-(-1))^2+5*

*f(x)=a(x+1)^2+5*

Ahora usamos el otro dato, sabiendo que *f(0)=-3*

*f(0)=a(0+1)^2+5=-3*

*a(1)^2+5=-3→a=\dfrac{-3-5}{1}=-8*

Con esta información hallamos la fórmula de la función:

*f(x)=-8(x+1)^2+5*

Daniel Machado

Estudiante avanzado del Profesorado de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones.

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