Resta de fracciones de igual o distinto denominador
En este artículo desarrollamos la resta de números fraccionarios con igual diferente denominador mediante una guía completa con fórmulas, explicaciones, propiedades y ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
¿Qué es la resta?
Dadas dos fracciones *\dfrac{a}{b}* y *\dfrac{c}{d},* se define a la resta de la siguiente forma:
*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}*
Para realizar esta operación es necesario tener en cuenta los denominadores, pues dependiendo de si son iguales o distintos, se utilizan diferentes métodos.
Restar fracciones con igual denominador
Para restar fracciones con igual denominador (homogéneas) se restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. O sea:
*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}*
Ejemplos:
*\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5-1}{3}=\dfrac{4}{3}*
*\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{2}=\dfrac{1-6}{2}=\dfrac{-5}{2}=-\dfrac{5}{2}*
*\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1-1}{2}=\dfrac{0}{2}=0*
En lo posible es conveniente simplificar las fracciones antes y después de operarlas. Se puede ver que la resta de fracciones, al igual que la suma, puede dar por resultado un número entero. También el resultado puede ser positivo o negativo.
Restar fracciones de distinto denominador
Cuando las fracciones que se necesita restar tienen diferente denominador (son heterogéneas), es necesario recurrir a otros métodos bien sea para igualar los denominadores y operar como antes, o usar la definición de resta.
Forma mariposa
Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, luego el denominador de la primera con el numerador de la segunda (que constituyen las alas de la mariposa), restar los resultados y colocarlos en el numerador. Luego, multiplicar los denominadores y ubicarlo en el denominador.
*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}*
Ejemplos:
*\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 3-2\cdot 1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}*
*\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5\cdot 5-3\cdot 4}{3\cdot 5}=\dfrac{13}{15}*
Hallando equivalencias
Esta forma consiste en buscar fracciones equivalentes a las que queremos restar que tengan igual denominador, proceso conocido como reducción a común denominador.
Para esto, hay que multiplicar el numerador y denominador de cada fracción por el denominador de la otra. De este modo, se obtienen dos fracciones con el mismo denominador que se pueden restar fácilmente.
*\dfrac{a}{\color{green}b}-\dfrac{c}{\color{red}d}=\dfrac{a\cdot {\color{red}d}}{b\cdot {\color{red}d}}-\dfrac{c\cdot {\color{green}b}}{d\cdot \color{green}b}=\dfrac{ad-bc}{bd}*
Ejemplos:
*\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\dfrac{4}{8}-\dfrac{6}{8}=\dfrac{4-6}{8}=\dfrac{-2}{8}=-\dfrac{1}{4}*
*\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{1\cdot 8}{4\cdot 8}-\dfrac{1\cdot 4}{8\cdot 4}=\dfrac{8}{32}-\dfrac{4}{32}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}*
Buscando el mínimo común múltiplo
Este método consiste en:
- Buscar el mínimo común múltiplo entre los denominadores, que será el denominador del resultado.
- Dividir el número hallado entre los denominadores originales y multiplicar por el numerador correspondiente.
- Restar los resultados del paso anterior y ubicarlo en el numerador del resultado.
*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{(MCM(b,d):b)\cdot a-(MCM(b,d):d)\cdot c}{MCM(b,d)}*
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números se siguen los siguientes pasos:
- Descomponer los números en factores primos.
- Seleccionar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
- Multiplicar los números del paso anterior, esto dará como resultado el MCM que buscamos.
Con la siguiente calculadora podrás obtener rápidamente el Mínimo Común Múltiplo (MCM) entre dos o más números:
Ejemplo 1: *\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}*
Calculamos el mínimo común múltiplo entre 4 y 8:
*4=2^2*
*8=2^3*
*MCM(4,8)=2^3=8*
Ahora procedemos como nos dice la fórmula:
*\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{(8:4)\cdot 1-(8:8)\cdot 1}{8}=\dfrac{2-1}{8}=\dfrac{1}{8}*
Usando este método obtenemos el resultado simplificado.
Ejemplo 2: *\dfrac{7}{20}-\dfrac{7}{6}*
Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
*20=2^2\cdot 5*
*6=2\cdot 3*
*MCM(20,6)=2^2\cdot 5\cdot 3=60*
Ahora procedemos como se nos dicta:
*\dfrac{7}{20}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{(60:20)\cdot 7-(60:6)\cdot 7}{60}=\dfrac{21-70}{60}=\dfrac{-49}{60}=-\dfrac{49}{60}*
Restar una fracción a un entero
Para restar un número sin denominador a una fracción, basta con convertirlo a su forma fraccionaria y realizar la operación con cualquiera de los métodos que vimos anteriormente. Una forma de hacerlo es la siguiente:
Para restar una fracción a un entero, se convierte el entero a fracción y se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la otra. Luego, se restan los numeradores conservando el denominador.
*k-\dfrac{a}{b}=\dfrac{k}{1}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{k\cdot b}{1\cdot b}=\dfrac{kb}{b}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{kb-a}{b}*
siendo *k* un número entero.
Ejemplos:
*1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 2}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}*
*2-\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{2\cdot 5}{1\cdot 5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{10}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{10-4}{5}=\dfrac{6}{5}*
Restar un entero a una fracción
Para restar un entero a una fracción, se escribe el entero en su forma fraccionaria y se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la otra fracción. Luego, se restan los numeradores conservando el denominador:
*\dfrac{a}{b}-k=\dfrac{a}{b}-\dfrac{k}{1}=\dfrac{a}{b}-\dfrac{k\cdot b}{1\cdot b}=\dfrac{a}{b}-\dfrac{kb}{b}=\dfrac{a-kb}{b}*
donde *k* es un entero.
Ejemplo:
*\dfrac{1}{2}-3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3\cdot 2}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{2}=\dfrac{1-6}{2}=\dfrac{-5}{2}=-\dfrac{5}{2}*
Restas sucesivas
Si queremos restar más de dos fracciones, los métodos que vimos hasta ahora siguen funcionando. Son más convenientes los de reducción a común denominador y mínimo común múltiplo.
Ejemplo:
*\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{1\cdot 3\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 4}-\dfrac{6\cdot 2\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 4}-\dfrac{5\cdot 2\cdot 3}{4\cdot 2\cdot 3}=\dfrac{12}{24}-\dfrac{48}{24}-\dfrac{30}{24}=\dfrac{12-48-30}{24}=\dfrac{-66}{24}=-\dfrac{11}{4}*
